Nombres incommensurables

Pour les Grecs, les nombres représentaient des longueurs. Or ils avaient compris qu'il existait des longueurs, comme le côté et la diagonale d'un carré, qui ne pouvaient pas être mesurées en nombres entiers dans la même unité. C'est la raison pour laquelle on dit que deux réels dont le rapport n'est pas rationnel sont incommensurables. C'est le cas de

et $\sqrt{2}$ , mais aussi de $\sqrt{2}$ et $\pi$ , de $\pi$ et $\mathrm{e}$ , etc...

Supposons que l'on utilise un nombre comme unité pour mesurer les multiples d'un autre : $\{nx ,\;n\in\mathbb{N}\}$ . Pour tout , on trouve un nombre entier d'unités, $\lfloor nx/y\rfloor$ , puis un reste qui est inférieur à . Si est rationnel, il n'y a qu'un nombre fini de restes possibles. Par contre si $x/y\not\in \mathbb{Q}$ , non seulement il y a une infinité de restes possibles, mais ces restes sont denses dans l'intervalle . Nous commençons par le cas particulier .

Proposition 6 Soit un irrationnel. L'ensemble des parties décimales des multiples de est dense dans .

En d'autres termes, pour tout intervalle inclus dans

, il existe un entier

tel que $D(nx)=nx-\lfloor nx \rfloor$ appartient à cet intervalle. Démonstration : Soit $A=\{D(nx) ,\;n\in\mathbb{N}^*\}$ . Nous allons montrer que la borne inférieure de

est 0. Le fait que

soit irrationnel entraîne que

ne contient ni 0 ni

, et aussi que les éléments de

sont tous différents. Commençons par la règle d'addition suivante, valable pour deux réels

quelconques :

$\begin{displaymath} D(y+z) = \left\{ \begin{array}{lll} D(y)+D(z)&\mbox{si}&D(y... ... D(y)+D(z)-1&\mbox{si}&D(y)+D(z)\geqslant 1 \end{array}\right. \end{displaymath}$

Pour un

donné, notons $\delta$ la partie décimale de

et $k=\lfloor 1/\delta\rfloor$ . Comme

est irrationnel, $1/\delta$ l'est aussi et on a $k\delta<1<(k+1)\delta$ , donc $0<(k+1)\delta-1<\delta$ . La partie décimale de

est $(k+1)\delta-1<\delta$ . Ceci entraîne que l'ensemble

ne peut pas avoir de plus petit élément. Notons

sa borne inférieure. C'est aussi la borne inférieure de $A_n=\{D(mx) ,\;m>n\}$ , puisque

n'a pas de plus petit élément.

Fixons $\varepsilon >0$ . Il existe tel que $a<D(nx)<a+\varepsilon$ . Mais aussi, il existe tel que , donc $0<D(nx)-D(mx)<\varepsilon$ . Posons $\delta=D(nx)-D(mx)$ et $k=\lfloor 1/\delta\rfloor$ . Toujours parce que est irrationnel, $1/\delta$ ne peut pas être entier. Ecrivons :

$\displaystyle k(m-n)x = k(\lfloor mx\rfloor-\lfloor nx\rfloor)-1 +(1-k\delta)\;.$

Cette écriture montre que $D(k(m-n)x)=1-k\delta<\delta<\varepsilon$ . Comme $\varepsilon$ est quelconque, nous avons montré que la borne inférieure de

est 0.

Soient et deux réels tels que , et $\varepsilon <b-a$ . Soit un entier tel que $D(nx)=\delta<\varepsilon$ . Soit le plus petit entier tel que $a<k\delta<b$ . On a , ce qui montre que l'ensemble est dense dans . $\square$

Considérons maintenant deux réels et incommensurables. Si est un réel, on notera $z \mod y$ (« modulo »), le réel , qui appartient à l'intervalle . Si et sont incommensurables, alors l'ensemble $\{ nx\mod y ,\;n\in\mathbb{N}\}$ est dense dans . Ceci découle de la proposition 6 appliquée à .

Par exemple, puisque $\pi$ est irrationnel, $2\pi$ et $1/(2\pi)$ le sont aussi. Donc et $2\pi$ sont incommensurables. D'après ce qui précède, $\{n\mod 2\pi ,\;n\in\mathbb{N}\}$ est dense dans $[0,2\pi]$ . On déduit de la continuité des fonctions $\sin$ et $\cos$ que $\{\sin(n) ,\;n\in\mathbb{N}\}$ et $\{\cos(n) ,\;n\in\mathbb{N}\}$ sont denses dans .