La constante de Ramanujan

Le mathématicien indien S. Ramanujan (1887-1920) a donné dans sa courte vie beaucoup d'énoncés justes et très peu d'explications sur sa démarche. Contrairement à la légende, il n'a jamais affirmé :

$$\mathrm{e}^{\pi\sqrt{163}}\in \mathbb{N}\;.$$

Les trois nombres $\mathrm{e}$, $\pi$ et $\sqrt{163}$ sont irrationnels. Il n'est bien sûr pas exclu qu'en combinant des irrationnels on tombe sur des rationnels ou même des entiers. L'exemple le plus célèbre est celui de la formule d'Euler : $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1$.

Il s'en faut de très peu que l'affirmation supposée de Ramanujan soit vraie. Voici les $30$ premiers chiffres significatifs de $\mathrm{e}^{\pi\sqrt{163}}$ :

$$\mathrm{e}^{\pi\sqrt{163}} = 262537412640768743.999999999999\ldots$$

La partie entière a $18$ chiffres, et les $12$ premières décimales valent $9$. Mais la treizième décimale vaut $2$ et le nombre n'est pas entier. Ce fait était connu bien avant Ramanujan, par Hermite en 1859. Pourquoi alors le nombre $\mathrm{e}^{\pi\sqrt{163}}$ porte-t-il le nom de «constante de Ramanujan» ? À cause d'un poisson d'avril monté par M. Gardner en 1975 : on ne prête qu'aux riches !