Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ . Soit un réel.

Quand dit-on que est un majorant de ?
Quand dit-on que est le plus grand élément de ?
Quand dit-on que est la borne supérieure de ?
Quand dit-on que est un intervalle ?
Démontrer que si est un intervalle majoré, non minoré, et si est la borne supérieure de , alors $A=]-\infty,a [$ ou bien $A=]-\infty,a ]$ .

Exercice 1 : Soit

une partie non vide de $\mathbb{R}^+$ et

une partie non vide de $\mathbb{R}^{+*}$ . On note $A\!:\!B$ l'ensemble des quotients d'un élément de

par un élément de

$\displaystyle A\!:\!B = \big\{ a/b ,\;a\in A , b\in B \big\}\;.$

Montrer que si est un minorant de et un majorant de alors est un minorant de $A\!:\!B$ .
Montrer que si n'est pas majorée alors :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists x\in A\!:\!B\;,\quad x<\varepsilon \;.$
Montrer que si n'est pas majorée, alors $\inf(A\!:\!B)=0$ .
Montrer que si $A\neq \{0\}$ et si $\inf(B)=0$ alors $A\!:\!B$ n'est pas majoré.
On suppose que et sont deux intervalles. Montrer que $A\!:\!B$ est un intervalle.
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif quelconque. On pose et $A=B=]0,\varepsilon ]$ . Montrer que $A\!:\!B=\mathbb{R}^{+*}$ .

Exercice 2 : Dans tout l'exercice, $x\in\mathbb{R}^+\setminus\mathbb{Q}$ désigne un irrationnel positif.

Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$ est irrationnel.
Montrer par un exemple que peut être rationnel.
Montrer que si est rationnel, alors pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $x^{2n}$ est rationnel et $x^{2n+1}$ est irrationnel.
Soient $a,b\in\mathbb{Q}$ deux rationnels. Montrer que est rationnel si et seulement si .
Soient $a,b,c,d\in\mathbb{Q}$ quatre rationnels. On suppose que et ne sont pas tous les deux nuls. Montrer que est rationnel si et seulement si .

Exercice 3 : Soient

deux réels quelconques.

Montrer, en utilisant l'inégalité triangulaire, que $2\vert x\vert\leqslant \vert x+y\vert+\vert x-y\vert$ .
En déduire que $\vert x\vert+\vert y\vert\leqslant \vert x+y\vert+\vert x-y\vert$ .

Exercice 4 :

Soit un réel et un entier. Montrer que $\lfloor n+x\rfloor = n+\lfloor x\rfloor$ .
Soient et deux réels. Montrer que $\lfloor x+y\rfloor-\lfloor x\rfloor -\lfloor y\rfloor\in\{0,1\}$ .