Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$. Soit $a$ un réel.

1. Quand dit-on que $a$ est un majorant de $A$ ?
2. Quand dit-on que $a$ est le plus grand élément de $A$ ?
3. Quand dit-on que $a$ est la borne supérieure de $A$ ?
4. Quand dit-on que $A$ est un intervalle ?
5. Démontrer que si $A$ est un intervalle majoré, non minoré, et si $a$ est la borne supérieure de $A$, alors $A=]-\infty,a [$ ou bien $A=]-\infty,a ]$.

Exercice 1 : Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}^+$ et $B$ une partie non vide de $\mathbb{R}^{+*}$. On note $A\!:\!B$ l'ensemble des quotients d'un élément de $A$ par un élément de $B$.

$$A\!:\!B = \big\{ a/b ,\;a\in A , b\in B \big\}\;.$$

1. Montrer que si $m$ est un minorant de $A$ et $M$ un majorant de $B$ alors $m/M$ est un minorant de $A\!:\!B$.
2. Montrer que si $B$ n'est pas majorée alors :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists x\in A\!:\!B\;,\quad x<\varepsilon \;.$$

3. Montrer que si $B$ n'est pas majorée, alors $\inf(A\!:\!B)=0$.
4. Montrer que si $A\neq \{0\}$ et si $\inf(B)=0$ alors $A\!:\!B$ n'est pas majoré.
5. On suppose que $A$ et $B$ sont deux intervalles. Montrer que $A\!:\!B$ est un intervalle.
6. Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif quelconque. On pose et $A=B=]0,\varepsilon ]$. Montrer que $A\!:\!B=\mathbb{R}^{+*}$.

Exercice 2 : Dans tout l'exercice, $x\in\mathbb{R}^+\setminus\mathbb{Q}$ désigne un irrationnel positif.

1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$ est irrationnel.
2. Montrer par un exemple que $x^2$ peut être rationnel.
3. Montrer que si $x^2$ est rationnel, alors pour tout $n\in\mathbb{N}$, $x^{2n}$ est rationnel et $x^{2n+1}$ est irrationnel.
4. Soient $a,b\in\mathbb{Q}$ deux rationnels. Montrer que $ax+b$ est rationnel si et seulement si $a=0$.
5. Soient $a,b,c,d\in\mathbb{Q}$ quatre rationnels. On suppose que $c$ et $d$ ne sont pas tous les deux nuls. Montrer que $(ax+b)/(cx+d)$ est rationnel si et seulement si $ad-bc=0$.

Exercice 3 : Soient $x$ et $y$ deux réels quelconques.

1. Montrer, en utilisant l'inégalité triangulaire, que $2\vert x\vert\leqslant \vert x+y\vert+\vert x-y\vert$.
2. En déduire que $\vert x\vert+\vert y\vert\leqslant \vert x+y\vert+\vert x-y\vert$.

Exercice 4 :  

1. Soit $x$ un réel et $n$ un entier. Montrer que $\lfloor n+x\rfloor = n+\lfloor x\rfloor$.
2. Soient $x$ et $y$ deux réels. Montrer que $\lfloor x+y\rfloor-\lfloor x\rfloor -\lfloor y\rfloor\in\{0,1\}$.