QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soient $x$ et $y$ deux réels quelconques.

Si $x<y$ alors $x^2\leqslant y^2$.

Si $0<x<y$ alors $0<1/y<1/x$.

Si $x<y$ alors $1-x>1-y$.

Si $x<y$ alors $x^2<xy$.

Si $0<x<y$ alors $xy^2<x^2y$.

Question 2   On considère l'ensemble $A$ suivant.

$$A= \big\{ (-2)^n ,\;n\in\mathbb{Z} \big\}\;.$$

L'ensemble $A$ est majoré.

L'ensemble $A$ possède une borne inférieure finie.

L'ensemble $A$ possède un plus petit élément.

$\sup(A) = +\infty$.

$\inf(A\cap \mathbb{R}^+)=0$.

Question 3   On considère l'ensemble $A$ suivant.

$$A= \big\{ 1+(-1)^{n+1}+(-1/2)^n ,\;n\in\mathbb{N} \big\}\;.$$

L'ensemble $A$ est majoré.

L'ensemble $A$ possède un plus grand élément.

$\sup(A)=2$.

$1$ est un minorant de $A$.

$\inf(A\cap \mathbb{R}^+)=-1$.

Question 4   Soit $x$ un réel.

Si pour tout $\varepsilon$ strictement positif $x<\varepsilon$, alors $x=0$.

Si pour tout $\varepsilon$ strictement positif $x^2<\varepsilon$, alors $x=0$.

Si pour tout entier $n$ strictement positif $x<n$, alors $x\leqslant 0$.

Si pour tout entier $n$ strictement positif $x<2^{-n}$, alors $x\leqslant 0$.

Si pour tout entier $n$ strictement positif $x<n^{-2}$, alors $x=0$.

Question 5   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$.

Si $I$ contient $-3$ et $1$, alors $[0,1]\subset I$.

Si $I$ contient $-3$ et $1$, alors $I$ est borné.

Si $I$ est majoré, alors il admet un plus grand élément.

Si $I$ contient sa borne supérieure, alors il contient au moins deux réels.

Si $I$ est non vide et non majoré, alors il contient au moins deux réels.

Question 6   Soit $x$ un réel.

Si $\sqrt{x}$ est irrationnel, alors $\sqrt[4]{x}$ est irrationnel.

Si $\sqrt{x}$ est rationnel, alors $\sqrt[3]{x}$ est irrationnel.

Si $\sqrt{x}$ est irrationnel, alors $\sqrt{3x}$ est irrationnel.

Si $\sqrt{x}$ est rationnel, alors $x^3$ est rationnel.

Si $\sqrt[4]{x}$ est irrationnel, alors $\sqrt[3]{x}$ est irrationnel.

Question 7   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$.

Si $I$ est non vide, alors il contient au moins un rationnel.

Si $I$ contient au moins deux réels distincts, alors il contient au moins deux irrationnels.

Si $I$ contient un rationnel et un irrationnel, alors il contient un nombre décimal.

Si $I$ contient un nombre rationnel, alors il contient un nombre décimal.

Si $I$ contient un multiple entier d'une puissance négative de $2$, alors il contient un irrationnel.

Question 8   Soient $x$ et $y$ deux réels quelconques.

$\vert x-y\vert\leqslant \vert x\vert+\vert y\vert$.

$\vert x\vert-\vert y\vert\leqslant \vert x-y\vert$.

$\vert x-y\vert\leqslant \big\vert \vert x\vert-\vert y\vert \big\vert$.

$\vert x+y\vert<\vert x\vert+\vert y\vert$.

$\vert x+y\vert<\vert x-y\vert+2\vert y\vert$.

Question 9   Soit $a$ un réel et $\varepsilon$ un réel strictement positif.

$\big\{ x\in\mathbb{R} ,\;\vert x\vert<\vert a-\varepsilon \vert \big\}=]a-\varepsilon ,a+\varepsilon [$.

$\big\{ x\in\mathbb{R} ,\;\vert x-a\vert>\varepsilon \big\}=]a-\varepsilon ,a+\varepsilon [$.

$\big\{ x\in\mathbb{R} ,\;\vert a-x\vert\leqslant\varepsilon \big\}=[a-\varepsilon ,a+\varepsilon ]$.

$\big\{ x\in\mathbb{R} ,\;x-a>\varepsilon \big\}=]-\infty,a+\varepsilon [$.

$\big\{ x\in\mathbb{R} ,\;\vert x\vert<\vert a-\varepsilon \vert \big\}=]-\vert a-\varepsilon \vert,\vert a-\varepsilon \vert[$.

Question 10   Soit $x\in\mathbb{R}^+\setminus\mathbb{N}$ un réel positif non entier.

$\lfloor -x\rfloor=-\lfloor x\rfloor$.

$\lfloor 1-x\rfloor=-\lfloor x\rfloor$.

$x+D(x)=\lfloor x\rfloor$.

$D(2-x)=2-D(x)$.

$D(-x)=1-D(x)$.