Exercices

Exercice 1   Pour chacun des ensembles de réels suivants :

$$\left\{(-1)^n ,\;n\in\mathbb{N}\right\} ,\; \left\{(-1)^n/n ,\;n\in\mathbb{N}^*\right\} ,\; \left\{(-1)^nn ,\;n\in\mathbb{N}\right\} ,\;$$

$$\left\{\frac{n+1}{n+2} ,\;n\in\mathbb{N}\right\} ,\; \left\{\fr... ...b{N}\right\} ,\; \left\{\frac{2n+(-1)^n}{n+2} ,\;n\in\mathbb{N}\right\} ,\;$$

$$\left\{\frac{m+n}{m+2n} , m,n\in\mathbb{N}^*\right\} ,\; \left... ...bb{N}^*\right\} ,\; \left\{\frac{m-n}{m+2n} , m,n\in\mathbb{N}^*\right\}\;.$$

1. L'ensemble est-il majoré ? minoré ?
2. L'ensemble admet-il un plus grand élément ? un plus petit élément ?
3. Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de l'ensemble.

Exercice 2   On considère les ensembles de réels suivants :

$$\left\{x\in\mathbb{R} ,\;\vert x\vert> 1\right\} ,\; \left\{x\i... ...bb{R} ,\;x^2\leqslant 1\right\} ,\; \left\{x\in\mathbb{R} ,\;x^3<1 \right\}$$

$$\left\{x\in\mathbb{R}^* ,\;1/x\leqslant 1\right\} ,\; \left\{x\... ...thbb{R}^* ,\;1/x> 1\right\} ,\; \left\{x\in\mathbb{R}^* ,\;1/x^2< 1\right\}$$

$$\left\{x\in\mathbb{R}^{+}, \sin x \leqslant 0\right\} ,\; \left... ...{x\in\mathbb{R}^{+*}, \vert\sin\frac{1}{x}\vert<\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}\;.$$

1. Ecrire l'ensemble comme un intervalle ou une réunion d'intervalles disjoints.
2. L'ensemble est-il majoré ? minoré ?
3. L'ensemble admet-il un plus grand élément ? un plus petit élément ?
4. Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de l'ensemble.

Exercice 3   Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et bornées de $\mathbb{R}$.

1. Montrer que $A\subset B$ implique $\sup(A)\leqslant\sup(B)$ et $\inf(A)\geqslant \inf(B)$.
2. Montrer que $A\cup B$ admet une borne supérieure et une borne inférieure finies. Montrer que
   $$\sup(A\cup B) = \max\{\sup(A),\sup(B)\}$$   et$$\quad \inf(A\cup B) = \min\{\inf(A),\inf(B)\}\;.$$

3. Montrer que si l'intersection $A\cap B$ est non vide, alors elle admet une borne supérieure et une borne inférieure finies. Montrer que
   $$\sup(A\cap B) \leqslant \min\{\sup(A),\sup(B)\}$$   et$$\quad \inf(A\cap B) \geqslant \max\{\inf(A),\inf(B)\}\;.$$

4. On note $A+B=\{a+b ,\;a\in A, b\in B\}$. Montrer que $A+B$ admet une borne supérieure et une borne inférieure finies. Montrer que
   $$\sup(A+B) = \sup(A)+\sup(B)$$   et$$\quad \inf(A+B) = \inf(A)+\inf(B)\;.$$

5. On note $AB=\{ab ,\;a\in A ,\; b\in B\}$. Montrer que $AB$ admet une borne supérieure et une borne inférieure. Montrer que, si $A$ et $B$ sont inclus dans $\mathbb{R}^+$, alors
   $$\sup(AB) = \sup(A) \sup(B)$$   et$$\quad \inf(AB) = \inf(A) \inf(B)\;.$$

Exercice 4   Soient $A$ et $B$ deux intervalles de $\mathbb{R}$.

1. Montrer que $A\cap B$ est un intervalle.
2. Montrer que si $A\cap B$ est non vide, alors $A\cup B$ est un intervalle.
3. Montrer par un exemple que $A\cup B$ peut être un intervalle même si $A\cap B$ est vide.
4. On note $A+B=\{a+b ,\;a\in A, b\in B\}$. Montrer que $A+B$ est un intervalle.
5. On note $AB=\{ab ,\;a\in A ,\; b\in B\}$. Montrer que $AB$ est un intervalle.

Exercice 5   Soient $x$ et $y$ deux rationnels distincts tels que $\sqrt{x}$ et $\sqrt{y}$ soient irrationnels.

1. On considère les deux réels $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ et $\sqrt{x}-\sqrt{y}$. Montrer que leur produit est rationnel, leur somme irrationnelle. En déduire qu'ils sont irrationnels.
2. Soient $r$ et $s$ deux rationnels. Montrer que $r\sqrt{x}+s \sqrt{y}$ est irrationnel.
3. Montrer par des exemples que $\sqrt{x}\sqrt{y}$ peut être rationnel ou irrationnel.
4. Montrer que les réels suivants sont irrationnels.
   $$1+\sqrt{2} ,\; \sqrt{2}+\sqrt{3} ,\; (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 ,\;$$
   $$\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6} ,\; \sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{6} ,\; (\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6})^2\;.$$

Exercice 6   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ contenant deux points distincts. Montrer que $I$ contient :

1. une infinité de rationnels,
2. une infinité d'irrationnels,
3. une infinité de nombres décimaux,
4. une infinité de nombres multiples entiers d'une certaine puissance négative de $2$ (nombres dyadiques).