Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $A$ possède une borne supérieure, finie ou infinie.
2. $\boxtimes\;$ Si $A$ est minorée, alors $A$ possède une borne inférieure finie.
3. $\square\;$ Si $x\leqslant \sup(A)$ alors $x\in A$.
4. $\square\;$ Si $A$ contient au moins $2$ réels distincts, alors $A$ contient un rationnel.
5. $\square\;$ Si $A$ est infinie, alors $A$ contient une infinité d'irrationnels.
6. $\boxtimes\;$ Si $A$ contient un intervalle de $\mathbb{R}$, contenant lui-même deux points distincts, alors $A$ contient une infinité d'irrationnels.
7. $\square\;$ Si $A$ contient un intervalle de $\mathbb{R}$, alors $A$ contient une infinité de rationnels.

Vrai-Faux 2   Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$. On note $\vert A\vert=\{\vert x\vert ,\;x\in A\}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $A$ est majorée, alors $\vert A\vert$ possède une borne supérieure finie.
2. $\boxtimes\;$ 0 est un minorant de $\vert A\vert$.
3. $\boxtimes\;$ $\vert A\vert$ possède toujours une borne inférieure finie.
4. $\square\;$ $\vert A\vert$ possède toujours une borne supérieure finie.
5. $\boxtimes\;$ $A$ est bornée si et seulement si $\vert A\vert$ est majorée.
6. $\boxtimes\;$ Si $A$ est un intervalle, alors $\vert A\vert$ est un intervalle.
7. $\square\;$ Si $\vert A\vert$ est un intervalle, alors $A$ est un intervalle.
8. $\square\;$ Si $A$ est un intervalle ouvert, alors $\vert A\vert$ est un intervalle ouvert.
9. $\boxtimes\;$ Si $A$ est un intervalle fermé, alors $\vert A\vert$ est un intervalle fermé.

Vrai-Faux 3   Soit $a$ un réel quelconque. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si ( $\forall \varepsilon >0 ,\;a<\varepsilon$), alors $a<0$.
2. $\boxtimes\;$ Si ( $\forall \varepsilon >0 ,\;a>1-\varepsilon$), alors $a\geqslant 1$.
3. $\boxtimes\;$ Si ( $\forall \varepsilon >0 ,\;a>1-\varepsilon ^2$), alors ( $\forall \varepsilon >0 ,\;a> 1-2\varepsilon$).
4. $\square\;$ Si $(\forall \varepsilon >0 ,\;a>1-\varepsilon$), alors ( $\forall\varepsilon \geqslant 0 ,\;a> 1-\varepsilon ^2$).
5. $\boxtimes\;$ Si ( $\forall n\in\mathbb{N}^* ,\;a>1/\sqrt{n}$), alors $a>1$.
6. $\square\;$ Si ( $\forall n\in\mathbb{N}^* ,\;a<1/\sqrt{n}$), alors $a<0$.
7. $\boxtimes\;$ Si ( $\forall n\in\mathbb{N}^* ,\;a>1-1/\sqrt{n}$), alors $(\forall \varepsilon >0 ,\;a>1-\varepsilon )$.

Vrai-Faux 4   Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $a+b$ est rationnel, alors soit $a$ est rationnel soit $b$ est rationnel.
2. $\boxtimes\;$ Si $a+b$ est irrationnel, alors soit $a$ est irrationnel soit $b$ est irrationnel.
3. $\boxtimes\;$ Si $a$ est rationnel, alors sa partie décimale est rationnelle.
4. $\square\;$ Si $a$ est irrationnel, alors la partie décimale de $a+b$ est irrationnelle.
5. $\boxtimes\;$ Si la partie décimale de $a$ est rationnelle, alors $a$ est rationnel.

Vrai-Faux 5   Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $\vert ab\vert=\vert a\vert \vert b\vert$.
2. $\boxtimes\;$ $\vert a\vert-\vert b\vert\leqslant \vert a-b\vert$.
3. $\square\;$ $\vert a-b\vert\leqslant \max\{\vert a\vert,\vert b\vert\}$.
4. $\boxtimes\;$ $\vert a-b\vert=\vert a-(a+b)/2\vert+\vert(a+b)/2-b\vert$.
5. $\square\;$ $\vert a-b\vert=\vert a-(a+b)\vert+\vert(a+b)-b\vert$.
6. $\square\;$ Si $\vert a-b\vert<\vert a\vert$, alors $\vert ab\vert=ab$.
7. $\square\;$ $\lfloor a+b \rfloor = \lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor$.
8. $\boxtimes\;$ $\lfloor a+b \rfloor \geqslant \lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor$.
9. $\boxtimes\;$ $\lfloor a+b \rfloor \leqslant \lfloor a\rfloor+\lfloor b\rfloor+1$.
10. $\square\;$ $D(a+b)=D(a)+D(b)$.