Applications

Les fonctions et les applications sont des correspondances entre ensembles. Pour définir une fonction $f$, il faut d'abord un ensemble de départ $E$ (la source) et un ensemble d'arrivée $F$ (le but). Il faut ensuite un sous-ensemble $\Gamma$ du produit cartésien de $E\times F$, c'est-à-dire un ensemble de couples $(x,y)$ où $x\in E$ et $y\in F$. L'ensemble $\Gamma$ s'appelle le graphe de la fonction. La règle de base est qu'un élément de $E$ ne peut pas correspondre à deux éléments de $F$. Ceci s'écrit :

$$\Big(((x,y)\in\Gamma)\wedge((x,z)\in \Gamma)\Big) \;\Longrightarrow\; y=z\;.$$

La donnée de l'ensemble de départ, de l'ensemble d'arrivée et du graphe définit la fonction $f$. Si $(x,y)\in \Gamma$, on dit que $y$ est l'image de $x$ : $y=f(x)$. La notation standard pour une fonction est la suivante.

$$\begin{array}{rcl} &f&\\ E&\longrightarrow&F\\ x& \longmapsto& f(x) \end{array}$$

Elle se lit «fonction $f$ de $E$ vers $F$ qui à $x$ associe $f(x)$».

On utilise le plus souvent fonction et application comme des synonymes. En toute rigueur une application est une fonction telle que tout élément de l'ensemble de départ admet une image (et une seule). Pour une fonction, le sous-ensemble de l'ensemble de départ formé des éléments qui ont effectivement une image s'appelle le domaine de définition. Dans ce chapitre, nous nous limiterons aux applications.

Définition 3   Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f$ une application de $E$ dans $F$.

1. Soit $A$ un sous-ensemble de $E$. On appelle image de $A$ par $f$ et on note $f(A)$ l'ensemble des images des éléments de $A$.
   $$f(A) = \{ y\in F\;;\quad \exists x\in A ,\;f(x)=y \}\;.$$

2. Soit $B$ un sous-ensemble de $F$. On appelle image réciproque de $B$ par $f$ et on note $f^{-1}(B)$ l'ensemble des éléments de $E$ dont l'image appartient à $B$.
   $$f^{-1}(B) = \{ x\in E\;;\quad f(x)\in B \}\;.$$

Attention à la notation $f^{-1}$ : elle ne signifie pas que $f$ est inversée. C'est une convention pour désigner un sous-ensemble de l'espace de départ. Un élément $x$ de $E$ tel que $f(x)=y$ s'appelle un antécédent de $y$. D'après la définition 3, l'ensemble des antécédents de $y$ est $f^{-1}(\{y\})$.

Soit $E=\{0,1,2,3\}$ et $F=\{0,1,2\}$. Considérons l'application qui à un nombre associe le reste de sa division euclidienne par 2 : 0 s'il est pair, 1 s'il est impair. Le graphe de cette application est :

$$\Gamma = \{ (0,0),(1,1),(2,0),(3,1) \}\;.$$

Il est parfois commode de représenter un graphe par un ensemble de flèches entre deux diagrammes de Venn (figure 2). L'image de $\{0,2\}$ est le singleton $\{0\}$. L'image réciproque de $\{1\}$ est $\{1,3\}$. L'image réciproque de $\{2\}$ est l'ensemble vide.

Figure 2: Représentation graphique d'une application de $\{0,1,2,3\}$ vers $\{0,1,2\}$.

Soient $E$, $F$, et $G$ trois ensembles, $f$ une application de $E$ vers $F$ et $g$ une application de $F$ vers $G$. On définit la composée de $f$ par $g$ , notée $g\circ f$, comme l'application de $E$ vers $G$ qui à $x$ associe $g\circ f(x)=g(f(x))$. Attention à l'ordre des applications dans l'écriture $g\circ f$ : c'est l'ordre inverse des flèches dans le schéma ci-dessous.

$$\begin{array}{ccccl} &f&&g&\\ E&\longrightarrow&F&\longrigh... ...\longmapsto&f(x)&\longmapsto&g\circ f(x)=g(f(x))\;. \end{array}$$

Définition 4   Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f$ une application de $E$ vers $F$. On dit que $f$ est :

1. injective si tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au plus un antécédent dans l'ensemble de départ.
   $$\forall x_1,x_2\in E\;,\quad \Big(f(x_1)=f(x_2)\Big)\;\Longrightarrow\; x_1=x_2\;.$$

2. surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent dans l'ensemble de départ.
   $$\forall y\in F ,\;\exists x\in E \;;\quad\; f(x)=y\;.$$

3. bijective si tout élément de l'ensemble d'arrivée possède exactement un antécédent dans l'ensemble de départ.

Une application bijective, ou bijection, est donc à la fois injective et surjective (voir figure 3).

Figure 3: Représentations graphiques d'une injection, d'une surjection et d'une bijection.

Voici comment les applications injectives, surjectives et bijectives se comportent vis-à-vis de la composition. La démonstration de cette assertion est laissée au lecteur à titre d'exercice.

Proposition 3   Soient $E$, $F$, et $G$ trois ensembles, $f$ une application de $E$ vers $F$ et $g$ une application de $F$ vers $G$.

1. Si $f$ et $g$ sont injectives alors $g\circ f$ est injective.
2. Si $f$ et $g$ sont surjectives alors $g\circ f$ est surjective.
3. Si $f$ et $g$ sont bijectives alors $g\circ f$ est bijective.
4. Si $g\circ f$ est injective alors $f$ est injective.
5. Si $g\circ f$ est surjective alors $g$ est surjective.

Si une application de $E$ vers $F$ est bijective, tout élément de $F$ a un antécédent et un seul. On peut alors définir l'application réciproque de $f$, notée $f^{-1}$ :

$$f(x) = y \;\Longleftrightarrow\; x=f^{-1}(y)\;.$$

Si $f$ est bijective, la composée de $f$ par son application réciproque $f^{-1}$ est l'application qui à $x$ associe $x$, de $E$ vers $E$. On l'appelle application identique, ou identité.

$$\begin{array}{ccccl} &f&&f^{-1}&\\ E&\longrightarrow&F&\lon... ...f(x)&\longmapsto&f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}(f(x))=x\;. \end{array}$$

Les notations pour l'application réciproque et pour l'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée $F$ sont liées par la relation :

$$f^{-1}(\{y\})=\{f^{-1}(y)\}\;.$$

On prendra garde au fait que si l'image réciproque d'une partie est définie pour toute application, l'application réciproque, quant à elle, n'est définie que pour une application bijective.