Quantificateurs

Les quantificateurs sont les deux symboles $\forall$ «quel que soit»  et $\exists$ «il existe». On les utilise pour des énoncés du type :

$$\forall n\in \mathbb{N} ,\;\exists m\in \mathbb{N}\;;\quad n<m\;.$$ (22)

Cette formule se lit : quel que soit $n$ appartenant à $\mathbb{N}$, il existe $m$ appartenant à $\mathbb{N}$ tel que $n<m$. Soit encore : pour tout entier $n$, il existe un entier $m$ strictement plus grand que $n$. Il est crucial de retenir que dans ce cas l'entier $m$ peut dépendre de l'entier $n$. Cette assertion est vraie : pour tout $n$, le nombre $m=n+1$ vérifie bien $n<m$.

L'ordre dans lequel on écrit les quantificateurs est très important. Echangeons dans (22) les deux quantificateurs.

$$\exists m\in \mathbb{N}\;;\quad\forall n\in \mathbb{N}\;,\quad n<m\;.$$

Cette assertion se lit : il existe un entier $m$ tel que tout entier $n$ vérifie $n<m$ (ce qui est faux).

Pour écrire la négation d'une assertion comportant des quantificateurs on change les $\forall$ en $\exists$ et les $\exists$ en $\forall$, puis on écrit la négation de l'assertion qui suit la liste des quantificateurs. Ceci est tout à fait conforme à l'intuition. La négation de «tout les $x$ vérifient $A$»  est bien «il existe un $x$ qui ne vérifie pas $A$». La négation de «il existe un $x$ qui vérifie $A$»  est bien «aucun $x$ ne vérifie $A$»  soit encore «tous les $x$ vérifient $\neg A$». Ecrivons par exemple la négation de l'assertion (22).

$$\exists n\in\mathbb{N} \;;\quad \forall m\in \mathbb{N} ,\; (n\geqslant m)\;.$$

Il existe un entier $n$ supérieur ou égal à tout entier $m$ (ce qui est faux).

Attention, les quantificateurs ne sont pas toujours distributifs par rapport à «et»  et «ou». Par exemple, «il existe un entier supérieur à 7 et inférieur à 6»  (faux) n'est pas équivalent à «il existe un entier supérieur à 7 et il existe un entier inférieur à 6»  (vrai). De même «tout entier est inférieur ou égal à 6, ou bien supérieur ou égal à 7»  (vrai) n'est pas équivalent à «tout entier est inférieur ou égal à 6 ou tout entier est supérieur ou égal à 7»  (faux).

Nous commettrons souvent l'abus de notation consistant à regrouper des quantificateurs de même nature. Par exemple :

$$\forall n\in \mathbb{N} ,\;\forall m\in \mathbb{N}\;,\quad m+n\in\mathbb{N}\;,$$

que l'on pourrait aussi écrire

$$\forall (n,m)\in \mathbb{N}^2\;,\quad m+n\in\mathbb{N}\;,$$

sera plutôt écrit :

$$\forall n,m \in \mathbb{N}\;,\quad m+n\in\mathbb{N}\;.$$

(La somme de deux entiers naturels est un entier naturel.) Ou encore,

$$\exists n\in \mathbb{N} ,\;\exists m\in \mathbb{N} \;;\quad n+m<10\;,$$

deviendra :

$$\exists n,m\in \mathbb{N} \;;\quad n+m<10\;.$$

(Il existe deux entiers dont la somme est inférieure à 10.) Constatez en la lisant à haute voix que la formule suivante définit bien la divisibilité.

$$\forall m,n\in\mathbb{N} ,\;(m \vert n)\;\Longleftrightarrow\; \Big( \exists k\in\mathbb{N} \;;\quad n=km \Big)\;.$$