Devoir

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Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Les fonctions et considérées ici sont supposées définies, continues et strictement positives sur .

Définir la convergence de l'intégrale de sur ·
On suppose qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que pour tout $x\in[1-\varepsilon ,1[$ , $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ . Démontrer que si $\int_0^1 g(t) \mathrm{d}t$ converge, alors $\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t$ converge, et que si $\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t$ diverge, alors $\int_0^1 g(t) \mathrm{d}t$ diverge.
On suppose maintenant que et sont équivalentes au voisinage de :

$\displaystyle \lim_{x\to 1^-} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \;.$
Démontrer que $\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t$ converge.
Démontrer que pour tout réel $\alpha$ , l'intégrale $\displaystyle{\int_0^1 \frac{(-\ln(1-t))^\alpha}{\sqrt{1-t}} \mathrm{d}t}$ converge.
Démontrer que l'intégrale $\displaystyle{\int_0^1 \sqrt{\frac{(-\ln(1-t))}{\sin(\pi t)}} \mathrm{d} t}$ converge.

Exercice 1 :

Démontrer que pour tout , l'intégrale

$\displaystyle \int_x^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t$
converge. On note sa valeur.
En utilisant deux intégrations par parties successives, vérifier que pour tout ,

$\displaystyle f(x) = \frac{\cos{x}}{x} +\frac{\sin(x)}{x^2} -\int_x^{+\infty} \frac{2\sin(t)}{t^3} \mathrm{d}t\;.$
Démontrer que l'intégrale $\displaystyle{\int_x^{+\infty} \frac{2\sin(t)}{t^3} \mathrm{d}t}$ est absolument convergente, et retrouver le résultat de la question 1.
Démontrer que pour tout ,

$\displaystyle \left\vert f(x)-\frac{\cos(x)}{x}\right\vert \leqslant \frac{2}{x^2}\;.$
En déduire que l'intégrale $\displaystyle{\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t}$ converge.
Écrire la dérivée de . En utilisant une intégration par parties, montrer que

$\displaystyle \int_0^x f(t) \mathrm{d}t = xf(x)-\cos(x)+1 \;.$
En déduire que $\displaystyle{\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t=1}$ .

Exercice 2 : Le but de l'exercice est de calculer $\displaystyle{\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t}$ .

Démontrer que l'intégrale $\displaystyle{\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t^2} \mathrm{d}t}$ est convergente.
En utilisant une intégration par parties et le changement de variable $t\mapsto u=2t$ , montrer que :

$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t^2} \mathrm{d}t = \int_0^{+\i... ...)\cos(t)}{t} \mathrm{d}t = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t\;.$
Pour tout $n\in \mathbb{N}$ , on pose :

$\displaystyle I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(nt)}{t^2} \mathrm{d}t$
En utilisant le changement de variables $t\mapsto u=nt$ , montrer que

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{I_n}{n} = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t\;.$
Pour tout $n\in \mathbb{N}$ , on pose :

$\displaystyle A_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(nt)}{\sin^2(t)} \mathrm{d}t\;.$
Calculer et .
Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ ,

$\displaystyle \sin^2(nt)-2\sin^2((n+1)t) +\sin^2((n+2)t) = 2\sin^2(t)\cos(2(n+1)t)\;.$
En déduire que $A_n-2A_{n+1}+A_{n+2}=0$ .
Déduire des deux questions précédentes que pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $\displaystyle{A_n = n\frac{\pi}{2}}$ .
Pour tout $n\in \mathbb{N}$ , on pose :

$\displaystyle B_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(nt)}{\tan^2(t)} \mathrm{d}t\;.$
Montrer que $A_n-B_n = \displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ .
En utilisant le fait que pour tout $x\in[0,\frac{\pi}{2}[$ , $\sin(x)\leqslant x \leqslant \tan(x)$ , démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $B_n\leqslant I_n \leqslant A_n$ .
Déduire de ce qui précède que

$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t = \frac{\pi}{2}\;.$

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