Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Les fonctions $f$ et $g$ considérées ici sont supposées définies, continues et strictement positives sur $[0,1[$.

1. Définir la convergence de l'intégrale de $f$ sur $[0,1]$·
2. On suppose qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que pour tout $x\in[1-\varepsilon ,1[$, $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$. Démontrer que si $\int_0^1 g(t) \mathrm{d}t$ converge, alors $\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t$ converge, et que si $\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t$ diverge, alors $\int_0^1 g(t) \mathrm{d}t$ diverge.
3. On suppose maintenant que $f$ et $g$ sont équivalentes au voisinage de $1^-$ :
   $$\lim_{x\to 1^-} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \;.$$
   Démontrer que $\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t$ converge.
4. Démontrer que pour tout réel $\alpha$, l'intégrale $${\int_0^1 \frac{(-\ln(1-t))^\alpha}{\sqrt{1-t}} \mathrm{d}t}$$ converge.
5. Démontrer que l'intégrale $${\int_0^1 \sqrt{\frac{(-\ln(1-t))}{\sin(\pi t)}} \mathrm{d} t}$$ converge.

Exercice 1 :  

1. Démontrer que pour tout $x>0$, l'intégrale
   $$\int_x^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t$$
   converge. On note $f(x)$ sa valeur.
2. En utilisant deux intégrations par parties successives, vérifier que pour tout $x>0$,
   $$f(x) = \frac{\cos{x}}{x} +\frac{\sin(x)}{x^2} -\int_x^{+\infty} \frac{2\sin(t)}{t^3} \mathrm{d}t\;.$$

3. Démontrer que l'intégrale $${\int_x^{+\infty} \frac{2\sin(t)}{t^3} \mathrm{d}t}$$ est absolument convergente, et retrouver le résultat de la question 1.
4. Démontrer que pour tout $x>0$,
   $$\left\vert f(x)-\frac{\cos(x)}{x}\right\vert \leqslant \frac{2}{x^2}\;.$$
   En déduire que l'intégrale $${\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t}$$ converge.
5. Écrire la dérivée de $f$. En utilisant une intégration par parties, montrer que
   $$\int_0^x f(t) \mathrm{d}t = xf(x)-\cos(x)+1 \;.$$

6. En déduire que $${\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t=1}$$.

Exercice 2 : Le but de l'exercice est de calculer $${\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t}$$.

1. Démontrer que l'intégrale $${\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t^2} \mathrm{d}t}$$ est convergente.
2. En utilisant une intégration par parties et le changement de variable $t\mapsto u=2t$, montrer que :
   $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t^2} \mathrm{d}t = \int_0^{+\i... ...)\cos(t)}{t} \mathrm{d}t = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t\;.$$

3. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose :
   $$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(nt)}{t^2} \mathrm{d}t$$
   En utilisant le changement de variables $t\mapsto u=nt$, montrer que
   $$\lim_{n\to +\infty} \frac{I_n}{n} = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t\;.$$

4. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose :
   $$A_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(nt)}{\sin^2(t)} \mathrm{d}t\;.$$
   Calculer $A_0$ et $A_1$.
5. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$,
   $$\sin^2(nt)-2\sin^2((n+1)t) +\sin^2((n+2)t) = 2\sin^2(t)\cos(2(n+1)t)\;.$$
   En déduire que $A_n-2A_{n+1}+A_{n+2}=0$.
6. Déduire des deux questions précédentes que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $${A_n = n\frac{\pi}{2}}$$.
7. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose :
   $$B_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(nt)}{\tan^2(t)} \mathrm{d}t\;.$$
   Montrer que $A_n-B_n = \displaystyle{\frac{\pi}{4}}$.
8. En utilisant le fait que pour tout $x\in[0,\frac{\pi}{2}[$, $\sin(x)\leqslant x \leqslant \tan(x)$, démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $B_n\leqslant I_n \leqslant A_n$.
9. Déduire de ce qui précède que
   $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} \mathrm{d}t = \frac{\pi}{2}\;.$$