Exercices

Exercice 1   Pour chacune des fonctions $f : t\longmapsto f(t)$ suivantes :

$$f(t) = \frac{1}{t(t+1)} \quad;\quad f(t)= \frac{1}{t(t+1)(t+2)}\;;$$

$$f(t) = \frac{1}{t\ln^2(t)} \quad;\quad f(t) = \frac{1}{t\ln(t)(\ln(\ln(t))^3}\;.$$

1. Calculer pour tout $x\geqslant 1$, $${\int_1^x f(t) \mathrm{d}t}$$.
2. En déduire $${\int_1^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t}$$.

Exercice 2   Pour chacune des fonctions $f : t\longmapsto f(t)$ suivantes :

$$f(t) = \mathrm{e}^{-t}\cos(t) \quad;\quad f(t)= \mathrm{e}^{-t}\sin(t)\;;$$

$$f(t) = t\mathrm{e}^{-t} \quad;\quad f(t) = \frac{1}{\cosh(t)}\;.$$

1. Calculer pour tout $x\geqslant 0$, $${\int_0^x f(t) \mathrm{d}t}$$.
2. En déduire $${\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t}$$.

Exercice 3   Soit $x$ un réel strictement compris entre 0 et $1$.

1. Calculer $${\int_{\frac{1}{2}}^x \frac{2}{1-t^2} \mathrm{d}t}$$.
2. En utilisant une intégration par parties, en déduire $I(x)=\displaystyle{\int_{\frac{1}{2}}^x \frac{\ln(1-t^2)}{t^2} \mathrm{d}t}$.
3. Quelle est la limite à droite en 0 de $I(x)$ ?
4. Quelle est la limite à gauche en $1$ de $I(x)$ ?

Exercice 4   Démontrer les résultats suivants

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t \;$$ converge.$$\qquad \int_{-\infty}^{+\infty} t^4\mathrm{e}^{-t^2+t} \mathrm{d}t \;$$ converge.$$$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2+2t+3} \mathrm{d}t \;$$ converge.$$\qquad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2+2t} \mathrm{d}t \;$$ diverge.$$$$

$$\int_0^\infty t^{-1}(\ln(t))^{-2} \mathrm{d}t \;$$ diverge.$$\qquad \int_0^\pi \frac{\cos(t)}{\sqrt{\sin(t)}} \mathrm{d}t \;$$ converge.$$$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^3(t)}{\sqrt{t^4+2t^8}} \mathrm{d}t \;$$ converge.$$\qquad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{\sqrt{t^2+2}} \mathrm{d}t \;$$ diverge.

$$\int_0^1 \frac{1}{t\sqrt{1-t}} \mathrm{d}t \;$$ diverge.$$\qquad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^2+1}{\sqrt{\vert t\vert}}\mathrm{e}^{-\vert t\vert} \mathrm{d}t \;$$ converge.

Exercice 5   Démontrer que les intégrales suivantes convergent et calculer leur valeur.

$$\int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)\sqrt{1-t^2}} \mathrm{d}t \quad;\quad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2+\sin(t)}{t^2+1} \mathrm{d}t\;;$$

$$\int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{t} \sin(\frac{1}{t^2})}{\ln(1+t)} \mathrm{d}t \quad;\quad \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t\ln(t)} \mathrm{d}t\;.$$

Exercice 6   Étudier la convergence des intégrales suivantes.

$$\int_1^{+\infty}\frac{\ln(t)}{t+\mathrm{e}^{-t}} \mathrm{d}t \quad;\quad \int_1^{+\infty} \frac{\vert\sin(t)\vert}{t^2+1} \mathrm{d}t \;;$$

$$\int_1^{+\infty} \frac{\ln(t)}{t}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t \quad;\quad \int_0^{+\infty} \left(t+2-\sqrt{t^2+4t+1}\right) \mathrm{d}t \;;$$

$$\int_0^{+\infty}\left(\sqrt[3]{t^3+1}-\sqrt{t^2+1}\right) \mathrm{d}t \quad;\quad \int_1^{+\infty} \mathrm{e}^{-\sqrt{t^2-t}}\mathrm{d}t \;;$$

$$\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{(\ln(t))^3} \mathrm{d}t \quad;\q... ...nt_1^{+\infty} \frac{2+ \sin(t)+\sin^2(t)}{\sqrt[3]{t^4+t^3}} \mathrm{d}t \;;$$

$$\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t \quad;\quad \int_0^{+\infty} t^2\mathrm{e}^{-t^2+2t} \mathrm{d}t \;;$$

$$\int_2^{+\infty} \frac{\sqrt{t}}{(\ln(t))^3} \mathrm{d}t \quad;\quad \int_1^{+\infty} t^{-\frac{t}{t+1}} \mathrm{d}t \;;$$

$$\int_0^{+\infty}{\sqrt{t+2}}\;{\sin\left(\frac{3}{(t+1)^2}\right)... ...+\infty}{\sqrt{t^2+2t}}\;{\sin\left(\frac{2}{(t+1)^2}\right)} \mathrm{d}t \;;$$

$$\int_0^1 \frac{\sqrt{\ln(1+t)}}{\arctan(t+t^2)} \mathrm{d}t \quad;\quad \int_0^1 \frac{\sqrt{\ln(1+t)}}{\arctan(t^2+t^3)} \mathrm{d}t \quad;$$

$$\int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(t)}}{\arctan(t^2+t-2)} \mathrm{d}t \quad;\quad \int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(t)}}{\arctan(t^2-2t+1)} \mathrm{d}t \;.$$

Exercice 7   Étudier la convergence des intégrales suivantes.

$$\int_0^1 \frac{\ln(t)}{1-t} \mathrm{d}t \quad;\quad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2+\sin(t)}{t^2+1} \mathrm{d}t\;;$$

$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t\ln(t)} \mathrm{d}t \quad;\quad... ..._{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t(1-t^2)\ln\vert t\vert} \mathrm{d}t\;.$$

Exercice 8   Dans chacun des cas suivants, la fonction $f$ est supposée continue sur $\mathbb{R}^+$, affine par morceaux, et nulle en 0.

$$\forall n\in\mathbb{N}^*\;,\quad f(n)=1 ,\; f(n-1/n)=f(n+1/n)=0$$ (a)

$$\forall n\in\mathbb{N}^*\;,\quad f(n)=1/n ,\; f(n-1/n)=f(n+1/n)=0$$ (b)

$$\forall n\in\mathbb{N}^*\;,\quad f(n)=n ,\; f(n-1/n^2)=f(n+1/n^2)=0$$ (c)

$$\forall n\in\mathbb{N}^*\;,\quad f(n)=n ,\; f(n-1/n^3)=f(n+1/n^3)=0$$ (d)

Pour chacun de ces cas.

1. La fonction $f$ admet-elle une limite en $+\infty$ ?
2. L'intégrale $${\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t}$$ est-elle convergente ?

Exercice 9   On rappelle la tangente hyperboliques est définie par :

$$\tanh(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\;.$$

1. Vérifier que $${\tanh(x)=1-\frac{2}{\mathrm{e}^{2x}+1}}$$.
2. Déterminer les deux réels $a$ et $b$ tels que la fonction $f : x\longmapsto x\tanh(x)-(ax+b)$ soit d'intégrale convergente sur $[0,+\infty[$.

Exercice 10   On rappelle que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\arctan(x)$ est défini comme l'unique angle $\theta\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ tel que $\tan(\theta)=x$.

1. Vérifier que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\arctan(x)=-\arctan(-x)$, et que pour tout $x>0$, $\arctan(x)+\arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}$.
2. Déterminer les deux réels $a$ et $b$ tels que l'intégrale de la fonction $f : x\longmapsto \arctan(x^2)-(ax+b)$ soit convergente sur $\mathbb{R}$.

Exercice 11   Pour tout $n\geqslant 1$, on pose :

$$u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\vert\sin(t)\vert}{t} \mathrm{d}t\;.$$

1. Déterminer un réel $a>0$ tel que pour tout $x\in [n\pi+\frac{\pi}{4},n\pi+\frac{3\pi}{4}]$, $\sin(x)\geqslant a$.
2. En déduire un réel $b>0$ tel que $u_n\geqslant \frac{b}{n+1}$.
3. En déduire que l'intégrale $${\int_\pi^{+\infty} \frac{\vert\sin(t)\vert}{t} \mathrm{d}t}$$ est divergente.

Exercice 12   Soit $a$ un nombre réel.

1. Discuter, en fonction de $a$, la nature de l'intégrale $${\int_0^1 \frac{1}{a-t}\sqrt{\frac{1-t}{t}} \mathrm{d}t}$$.
2. Utiliser le changement de variable $t\mapsto u=\sqrt{\frac{1-t}{t}}$ pour calculer cette intégrale pour $a=2$.

Exercice 13   Soient $a$ et $b$ deux réels. Discuter en fonction de $a$ et $b$ la nature de l'intégrale suivante.

$$\int_0^1 t^{-a}(1-t)^{-b} \mathrm{d}t\;.$$

Exercice 14   Soient $a$ et $b$ deux réels. Discuter en fonction de $a$ et $b$ la nature de l'intégrale suivante.

$$\int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+t^a)}{t^b} \mathrm{d}t\;.$$

Exercice 15   Soient $a,b,c$ trois réels. Discuter en fonction de $a,b,c$ la nature de l'intégrale suivante.

$$\int_0^1 \frac{t^c}{(1-t)^a\vert\ln(1-t)\vert^b} \mathrm{d}t\;.$$

Exercice 16   Utiliser le théorème d'Abel pour démontrer que les intégrales suivantes convergent. Montrer qu'elles ne convergent pas absolument.

$$\int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{\sqrt{t^2+t}} \mathrm{d}t \;,\qu... ...rm{d}t \;,\quad \int_3^{+\infty} \frac{\sin^5(t)}{\ln(\ln(t))} \mathrm{d}t\;.$$

Exercice 17   Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$, périodique de période $1$ et telle que $${\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t=0}$$.

1. Appliquer le critère d'Abel pour démontrer que $${\int_0^{+\infty} \frac{f(t)}{t^a} \mathrm{d}t}$$ converge pour tout $a$ tel que $0<a<1$.
2. En utilisant le changement de variable $t\mapsto u=t^\alpha$, démontrer que l'intégrale $${\int_0^{+\infty} f(t^\alpha) \mathrm{d}t}$$ converge pour tout $\alpha>1$.