Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $ f$ une fonction définie et continue sur $ \mathbb{R}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si l'intégrale de $ f$ sur $ [0,+\infty[$ converge, alors son intégrale sur $ \mathbb{R}$ converge.
  2. $ \boxtimes\;$ Si l'intégrale de $ f$ sur $ \mathbb{R}$ converge, alors son intégrale sur $ [0,+\infty[$ converge.
  3. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est une fonction paire, alors son intégrale sur $ \mathbb{R}$ converge si et seulement si son intégrale sur $ [1,+\infty[$ converge.
  4. $ \boxtimes\;$ Si l'intégrale de $ f$ sur $ \mathbb{R}^+$ converge, alors son intégrale sur $ [1,+\infty[$ converge.
  5. $ \square\;$ Si $ f(x)$ tend vers 0 quand $ x$ tend vers $ +\infty$ alors son intégrale sur $ [0,+\infty[$ converge.
  6. $ \square\;$ Si l'intégrale de $ f$ sur $ \mathbb{R}$ converge, alors $ f(x)$ tend vers 0 quand $ x$ tend vers $ +\infty$.
  7. $ \boxtimes\;$ Si $ f(x)$ tend vers $ l\neq 0$ quand $ x$ tend vers $ +\infty$, alors son intégrale sur $ [0,+\infty[$ diverge.
  8. $ \square\;$ Si l'intégrale de $ f$ sur $ [0,x]$ est une fonction bornée de $ x$, alors l'intégrale de $ f$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
  9. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est positive et si l'intégrale de $ f$ sur $ [0,x]$ est une fonction bornée de $ x$, alors l'intégrale de $ f$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
  10. $ \square\;$ Si pour tout $ x\geqslant 1$, $ f(x)\leqslant \frac{1}{x^2}$, alors l'intégrale de $ f$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
  11. $ \square\;$ Si $ f$ est positive et si pour tout $ x\geqslant 1$, $ f(x)\leqslant \frac{1}{x}$, alors l'intégrale de $ f$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
  12. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est positive et si pour tout $ x\geqslant \mathrm{e}$, $ f(x)\leqslant \frac{1}{x(\ln(x))^2}$, alors l'intégrale de $ f$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
  13. $ \boxtimes\;$ Si $ f$ est positive et si pour tout $ x\geqslant 1$, $ f(x)\leqslant x^4$, alors l'intégrale de $ \mathrm{e}^{-x/2}f(x)$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
  14. $ \square\;$ Si pour tout $ x\geqslant 1$, $ f(x)\leqslant x^4$, alors l'intégrale de $ \mathrm{e}^{-x/2}f(x)$ sur $ \mathbb{R}$ converge.
  15. $ \boxtimes\;$ Si pour tout $ x\in \mathbb{R}$, $ 0\leqslant f(x)\leqslant \mathrm{e}^{x}$, alors l'intégrale de $ \mathrm{e}^{-x^2}f(x)$ sur $ \mathbb{R}$ converge.

Vrai-Faux 2   Soit $ f$ une fonction définie et continue sur $ ]0,1]$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si $ f(x)$ tend vers $ l\neq 0$ quand $ x$ tend vers 0, alors son intégrale sur $ ]0,1]$ diverge.
  2. $ \boxtimes\;$ Si l'intégrale de $ f^2$ sur $ ]0,1]$ converge, alors l'intégrale de $ f$ sur $ ]0,1]$ converge.
  3. $ \square\;$ Si l'intégrale de $ f$ sur $ [x,1]$ est une fonction bornée de $ x$ alors l'intégrale de $ f$ sur $ ]0,1]$ converge.
  4. $ \boxtimes\;$ Si pour tout $ x\in]0,1]$, $ f(x)\geqslant -1$ et si l'intégrale de $ f$ sur $ [x,1]$ est une fonction bornée de $ x$ alors l'intégrale de $ f$ sur $ ]0,1]$ converge.
  5. $ \square\;$ Si l'intégrale de $ f$ sur $ ]0,1]$ converge, alors l'intégrale de $ 1/f$ sur $ [1,+\infty[$ converge.
  6. $ \boxtimes\;$ L'intégrale de $ f$ sur $ ]0,1]$ converge si et seulement si l'intégrale de la fonction $ t\mapsto \frac{1}{t^2}f(\frac{1}{t})$ sur $ [1,+\infty[$ converge.
  7. $ \square\;$ Si pour tout $ x\in]0,1]$, $ 0\leqslant f(x)\leqslant \frac{1}{x^2}$, alors l'intégrale de $ f$ sur $ ]0,1]$ converge.
  8. $ \boxtimes\;$ Si pour tout $ x\in]0,1]$, $ -2\leqslant f(x)\leqslant \frac{1}{\sqrt{x}}$, alors l'intégrale de $ f$ sur $ ]0,1]$ converge.

Vrai-Faux 3   Soit $ f$ une fonction définie et continue sur $ \mathbb{R}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ Si $ f(x)$ tend vers 0 quand $ x$ tend vers l'infini, alors l'intégrale de $ \sin(x)f(x)$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
  2. $ \boxtimes\;$ Si pour tout $ x>1$, $ 0\leqslant f(x)\leqslant \frac{1}{x^2}$, alors l'intégrale de $ \sin(x)f(x)$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
  3. $ \square\;$ Si $ f(x)$ est décroissante et si sa limite en $ +\infty$ est nulle, alors l'intégrale de $ \sin^2(x)f(x)$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
  4. $ \boxtimes\;$ Si $ f(x)$ est décroissante et si sa limite en $ +\infty$ est nulle, alors l'intégrale de $ \sin(2x)f(x)$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
  5. $ \boxtimes\;$ Si l'intégrale de $ \mathrm{e}^{2ix}f(x)$ sur $ [0,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $ \sin(2x)f(x)$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
  6. $ \square\;$ Si l'intégrale de $ \sin(2x)f(x)$ sur $ [0,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $ \mathrm{e}^{2ix}f(x)$ sur $ [0,+\infty[$ converge.

Vrai-Faux 4   Les intégrales suivantes convergent : vrai ou faux et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_0^\infty
\frac{\sin(\frac{1}{t^2})}{\arctan(t)} \mathrm{d}t
}$.
  2. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_0^\infty
\sqrt{t}\sin^2(\frac{1}{t}) \mathrm{d}t
}$.
  3. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_0^\infty
\frac{\cos^2(\frac{1}{t})}{t} \mathrm{d}t
}$.
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_0^\infty
\sqrt{t^4+1} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t
}$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_0^\infty
(\mathrm{e}^{t}+t^4) \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t
}$.
  6. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_0^\infty
(\mathrm{e}^{t}+t^4) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t
}$.
  7. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_0^\infty
(\mathrm{e}^{t}+t^4) \mathrm{e}^{-2t} \mathrm{d}t
}$.

Vrai-Faux 5   Les intégrales suivantes convergent : vrai ou faux et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_0^1
\frac{\sin(t)}{\tan^2(t)} \mathrm{d}t
}$.
  2. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_0^1
\frac{\sin(t)}{(\sqrt{\tan(t)})^3} \mathrm{d}t
}$.
  3. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_0^1
\frac{\sin^2(t^2)}{t^{\frac{10}{3}}} \mathrm{d}t
}$.
  4. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_0^{1/2}
\frac{\tan^2(t^3)}{t^{7}\ln(\frac{1}{t})} \mathrm{d}t
}$.
  5. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_0^{1/2}
\frac{\cos^2(t^3)}{t^{2}(\ln(\frac{1}{t}))} \mathrm{d}t
}$.
  6. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_0^{1/2}
\frac{\sin^2(t^3)}{t^{7}(\ln(\frac{1}{t}))^2} \mathrm{d}t
}$.

Vrai-Faux 6   Parmi les intégrales suivantes convergent, mais ne sont pas absolument convergentes : vrai ou faux et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_1^\infty
\frac{\sin^3(t^2)}{t} \mathrm{d}t
}$.
  2. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_1^\infty
\frac{\sin^2(t^2)}{t} \mathrm{d}t
}$.
  3. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_1^\infty
\frac{\sin^3(t^2)}{t^2} \mathrm{d}t
}$.
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_2^\infty
\frac{\sin(t)}{t\ln(t)} \mathrm{d}t
}$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_2^\infty
\frac{\sin(t)}{(\ln(t))^3} \mathrm{d}t
}$.
  6. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_2^\infty
\frac{\sin^2(t)}{(\ln(t))^3} \mathrm{d}t
}$.
  7. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_2^\infty
\frac{\sin^2(t)}{(t\ln(t))^3} \mathrm{d}t
}$.

Vrai-Faux 7   Les intégrales suivantes convergent mais ne sont pas absolument convergentes : vrai ou faux et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{\sin(\frac{1}{t^2})}{\arctan(t)} \mathrm{d}t
}$.
  2. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}
\mathrm{e}^{-t^2}\ln\vert t-1\vert \mathrm{d}t
}$.
  3. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t^2+2t+1}} \mathrm{d}t
}$.
  4. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{1}{(\sqrt{\vert t^2+2t-8\vert})^3} \mathrm{d}t
}$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{\sin(t)}{\sqrt{\vert t^2+2t-8\vert}} \mathrm{d}t
}$.

Vrai-Faux 8   Parmi les égalités suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}
\vert t\vert\mathrm{e}^{-\vert t\vert} \mathrm{d}t=2
}$.
  2. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_{0}^{+\infty}
t^2\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t=1
}$.
  3. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}
t^2\mathrm{e}^{-\vert t\vert} \mathrm{d}t=4
}$.
  4. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_{0}^{+\infty}
\cos(t)\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t=1
}$.
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}
\sin(t)\mathrm{e}^{-\vert t\vert} \mathrm{d}t=0
}$.
  6. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}
\cos(2t)\mathrm{e}^{-\vert t\vert} \mathrm{d}t=\frac{2}{5}
}$.
  7. $ \square\;$ $ \displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{1}{t^2+2t+2} \mathrm{d}t=\frac{\pi}{2}
}$.
  8. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{
\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{1}{t^2+2t+3} \mathrm{d}t=\frac{\pi}{\sqrt{2}}
}$.


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