Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge, alors son intégrale sur $\mathbb{R}$ converge.
2. $\boxtimes\;$ Si l'intégrale de $f$ sur $\mathbb{R}$ converge, alors son intégrale sur $[0,+\infty[$ converge.
3. $\boxtimes\;$ Si $f$ est une fonction paire, alors son intégrale sur $\mathbb{R}$ converge si et seulement si son intégrale sur $[1,+\infty[$ converge.
4. $\boxtimes\;$ Si l'intégrale de $f$ sur $\mathbb{R}^+$ converge, alors son intégrale sur $[1,+\infty[$ converge.
5. $\square\;$ Si $f(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$ alors son intégrale sur $[0,+\infty[$ converge.
6. $\square\;$ Si l'intégrale de $f$ sur $\mathbb{R}$ converge, alors $f(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$.
7. $\boxtimes\;$ Si $f(x)$ tend vers $l\neq 0$ quand $x$ tend vers $+\infty$, alors son intégrale sur $[0,+\infty[$ diverge.
8. $\square\;$ Si l'intégrale de $f$ sur $[0,x]$ est une fonction bornée de $x$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge.
9. $\boxtimes\;$ Si $f$ est positive et si l'intégrale de $f$ sur $[0,x]$ est une fonction bornée de $x$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge.
10. $\square\;$ Si pour tout $x\geqslant 1$, $f(x)\leqslant \frac{1}{x^2}$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge.
11. $\square\;$ Si $f$ est positive et si pour tout $x\geqslant 1$, $f(x)\leqslant \frac{1}{x}$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge.
12. $\boxtimes\;$ Si $f$ est positive et si pour tout $x\geqslant \mathrm{e}$, $f(x)\leqslant \frac{1}{x(\ln(x))^2}$, alors l'intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge.
13. $\boxtimes\;$ Si $f$ est positive et si pour tout $x\geqslant 1$, $f(x)\leqslant x^4$, alors l'intégrale de $\mathrm{e}^{-x/2}f(x)$ sur $[0,+\infty[$ converge.
14. $\square\;$ Si pour tout $x\geqslant 1$, $f(x)\leqslant x^4$, alors l'intégrale de $\mathrm{e}^{-x/2}f(x)$ sur $\mathbb{R}$ converge.
15. $\boxtimes\;$ Si pour tout $x\in \mathbb{R}$, $0\leqslant f(x)\leqslant \mathrm{e}^{x}$, alors l'intégrale de $\mathrm{e}^{-x^2}f(x)$ sur $\mathbb{R}$ converge.

Vrai-Faux 2   Soit $f$ une fonction définie et continue sur $]0,1]$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $f(x)$ tend vers $l\neq 0$ quand $x$ tend vers 0, alors son intégrale sur $]0,1]$ diverge.
2. $\boxtimes\;$ Si l'intégrale de $f^2$ sur $]0,1]$ converge, alors l'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ converge.
3. $\square\;$ Si l'intégrale de $f$ sur $[x,1]$ est une fonction bornée de $x$ alors l'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ converge.
4. $\boxtimes\;$ Si pour tout $x\in]0,1]$, $f(x)\geqslant -1$ et si l'intégrale de $f$ sur $[x,1]$ est une fonction bornée de $x$ alors l'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ converge.
5. $\square\;$ Si l'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ converge, alors l'intégrale de $1/f$ sur $[1,+\infty[$ converge.
6. $\boxtimes\;$ L'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ converge si et seulement si l'intégrale de la fonction $t\mapsto \frac{1}{t^2}f(\frac{1}{t})$ sur $[1,+\infty[$ converge.
7. $\square\;$ Si pour tout $x\in]0,1]$, $0\leqslant f(x)\leqslant \frac{1}{x^2}$, alors l'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ converge.
8. $\boxtimes\;$ Si pour tout $x\in]0,1]$, $-2\leqslant f(x)\leqslant \frac{1}{\sqrt{x}}$, alors l'intégrale de $f$ sur $]0,1]$ converge.

Vrai-Faux 3   Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $f(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers l'infini, alors l'intégrale de $\sin(x)f(x)$ sur $[0,+\infty[$ converge.
2. $\boxtimes\;$ Si pour tout $x>1$, $0\leqslant f(x)\leqslant \frac{1}{x^2}$, alors l'intégrale de $\sin(x)f(x)$ sur $[0,+\infty[$ converge.
3. $\square\;$ Si $f(x)$ est décroissante et si sa limite en $+\infty$ est nulle, alors l'intégrale de $\sin^2(x)f(x)$ sur $[0,+\infty[$ converge.
4. $\boxtimes\;$ Si $f(x)$ est décroissante et si sa limite en $+\infty$ est nulle, alors l'intégrale de $\sin(2x)f(x)$ sur $[0,+\infty[$ converge.
5. $\boxtimes\;$ Si l'intégrale de $\mathrm{e}^{2ix}f(x)$ sur $[0,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $\sin(2x)f(x)$ sur $[0,+\infty[$ converge.
6. $\square\;$ Si l'intégrale de $\sin(2x)f(x)$ sur $[0,+\infty[$ converge, alors l'intégrale de $\mathrm{e}^{2ix}f(x)$ sur $[0,+\infty[$ converge.

Vrai-Faux 4   Les intégrales suivantes convergent : vrai ou faux et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^\infty \frac{\sin(\frac{1}{t^2})}{\arctan(t)} \mathrm{d}t }$$.
2. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^\infty \sqrt{t}\sin^2(\frac{1}{t}) \mathrm{d}t }$$.
3. $\square\;$ $${ \int_0^\infty \frac{\cos^2(\frac{1}{t})}{t} \mathrm{d}t }$$.
4. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^\infty \sqrt{t^4+1} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t }$$.
5. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^\infty (\mathrm{e}^{t}+t^4) \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t }$$.
6. $\square\;$ $${ \int_0^\infty (\mathrm{e}^{t}+t^4) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t }$$.
7. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^\infty (\mathrm{e}^{t}+t^4) \mathrm{e}^{-2t} \mathrm{d}t }$$.

Vrai-Faux 5   Les intégrales suivantes convergent : vrai ou faux et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${ \int_0^1 \frac{\sin(t)}{\tan^2(t)} \mathrm{d}t }$$.
2. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^1 \frac{\sin(t)}{(\sqrt{\tan(t)})^3} \mathrm{d}t }$$.
3. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^1 \frac{\sin^2(t^2)}{t^{\frac{10}{3}}} \mathrm{d}t }$$.
4. $\square\;$ $${ \int_0^{1/2} \frac{\tan^2(t^3)}{t^{7}\ln(\frac{1}{t})} \mathrm{d}t }$$.
5. $\square\;$ $${ \int_0^{1/2} \frac{\cos^2(t^3)}{t^{2}(\ln(\frac{1}{t}))} \mathrm{d}t }$$.
6. $\boxtimes\;$ $${ \int_0^{1/2} \frac{\sin^2(t^3)}{t^{7}(\ln(\frac{1}{t}))^2} \mathrm{d}t }$$.

Vrai-Faux 6   Parmi les intégrales suivantes convergent, mais ne sont pas absolument convergentes : vrai ou faux et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${ \int_1^\infty \frac{\sin^3(t^2)}{t} \mathrm{d}t }$$.
2. $\square\;$ $${ \int_1^\infty \frac{\sin^2(t^2)}{t} \mathrm{d}t }$$.
3. $\square\;$ $${ \int_1^\infty \frac{\sin^3(t^2)}{t^2} \mathrm{d}t }$$.
4. $\boxtimes\;$ $${ \int_2^\infty \frac{\sin(t)}{t\ln(t)} \mathrm{d}t }$$.
5. $\boxtimes\;$ $${ \int_2^\infty \frac{\sin(t)}{(\ln(t))^3} \mathrm{d}t }$$.
6. $\square\;$ $${ \int_2^\infty \frac{\sin^2(t)}{(\ln(t))^3} \mathrm{d}t }$$.
7. $\square\;$ $${ \int_2^\infty \frac{\sin^2(t)}{(t\ln(t))^3} \mathrm{d}t }$$.

Vrai-Faux 7   Les intégrales suivantes convergent mais ne sont pas absolument convergentes : vrai ou faux et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(\frac{1}{t^2})}{\arctan(t)} \mathrm{d}t }$$.
2. $\boxtimes\;$ $${ \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2}\ln\vert t-1\vert \mathrm{d}t }$$.
3. $\square\;$ $${ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t^2+2t+1}} \mathrm{d}t }$$.
4. $\square\;$ $${ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(\sqrt{\vert t^2+2t-8\vert})^3} \mathrm{d}t }$$.
5. $\boxtimes\;$ $${ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{\sqrt{\vert t^2+2t-8\vert}} \mathrm{d}t }$$.

Vrai-Faux 8   Parmi les égalités suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ $${ \int_{-\infty}^{+\infty} \vert t\vert\mathrm{e}^{-\vert t\vert} \mathrm{d}t=2 }$$.
2. $\square\;$ $${ \int_{0}^{+\infty} t^2\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t=1 }$$.
3. $\boxtimes\;$ $${ \int_{-\infty}^{+\infty} t^2\mathrm{e}^{-\vert t\vert} \mathrm{d}t=4 }$$.
4. $\square\;$ $${ \int_{0}^{+\infty} \cos(t)\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t=1 }$$.
5. $\boxtimes\;$ $${ \int_{-\infty}^{+\infty} \sin(t)\mathrm{e}^{-\vert t\vert} \mathrm{d}t=0 }$$.
6. $\boxtimes\;$ $${ \int_{-\infty}^{+\infty} \cos(2t)\mathrm{e}^{-\vert t\vert} \mathrm{d}t=\frac{2}{5} }$$.
7. $\square\;$ $${ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t^2+2t+2} \mathrm{d}t=\frac{\pi}{2} }$$.
8. $\boxtimes\;$ $${ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t^2+2t+3} \mathrm{d}t=\frac{\pi}{\sqrt{2}} }$$.