Matrices orthogonales

Définition 9   Une matrice réelle $A$ carrée d'ordre $n$ est dite orthogonale si elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

1. $\tr{A}A=I_n$ ;
2. $A\tr{A}=I_n$ ;
3. $A$ est inversible et $A^{-1}=\tr{A}$.

Interprétation : La propriété 1 (resp. 2) signifie que les vecteurs colonnes (resp. lignes) de la matrice $A$ constituent un système orthonormé pour le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^n$. Ainsi une matrice est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes (resp. ses vecteurs lignes) constituent une base orthonormale de $\mathbb{R}^n$ pour le produit scalaire canonique.

Autrement dit, une matrice est orthogonale si et seulement si c'est la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb{R}^n$ à une base orthonormale de $\mathbb{R}^n$. Plus généralement :

Proposition 9   Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormée de $E$. Une base $(v_1,\dots,v_n)$ de $E$ est orthonormée si et seulement si la matrice de passage de la base $(e_1,\dots,e_n)$ à la base $(v_1,\dots,v_n)$ est orthogonale.

Proposition 10   La transposée et l'inverse d'une matrice orthogonale sont des matrices orthogonales.

Démonstration : La proposition découle immédiatement de la définition et de la relation $(\tr{A})^{-1}=\tr{(A^{-1}})$.$\square$

Proposition 11   Toute matrice orthogonale a un déterminant égal à $\pm 1$.

Démonstration : En utilisant la relation $\tr{A}A=I_n$, on obtient

$$\mathrm{det}(\tr{A}A)=\mathrm{det}(\tr{A})\mathrm{det}(A)=\mathrm{det}(A)^2=\mathrm{det}(I_n)=1$$

d'où $\mathrm{det}(A)=\pm 1$.$\square$

Attention : la réciproque est fausse : une matrice de déterminant $\pm 1$ n'est pas nécesairement orthogonale.

Groupe orthogonal

Proposition 12   L'ensemble des matrices orthogonales d'ordre $n$ constitue un sous-groupe du groupe multiplicatif $GL(n,\mathbb{R})$ des matrices réelles carrées inversibles d'ordre $n$. Ce sous-groupe est appelé groupe orthogonal d'ordre $n$ et noté $O(n)$.

Démonstration : Cet ensemble n'est pas vide, puisqu'il contient la matrice identité, il est stable par passage à l'inverse (proposition 10) et par produit, puisque si $A$ et $B$ sont orthogonales d'ordre $n$, alors $\tr{(AB)}AB=\tr{B}\tr{A}AB=\tr{B}I_n B=I_n$.$\square$

Proposition 13   L'ensemble des matrices orthogonales d'ordre $n$ de déterminant $+1$ constitue un sous-groupe distingué du groupe orthogonal d'ordre $n$. Ce groupe est appelé groupe spécial orthogonal d'ordre $n$ et noté $SO(n)$ ou $O^+(n)$.

Démonstration : Cet ensemble est le noyau de l'homomorphisme de groupes de $O(n)$ dans $\{+1,-1\}$ qui à toute matrice orthogonale associe son déterminant.$\square$

L'ensemble des matrices orthogonales d'ordre $n$ de déterminant -1 est noté $O^-(n)$. Ce n'est pas un sous-groupe de $O(n)$ puisque le produit de deux matrices de $O^-(n)$ appartient à $O^+(n)$.

Orientation d'un espace vectoriel euclidien, produit mixte

Rappels : orientation d'un espace vectoriel réel

Pour tout espace vectoriel réel $E$ de dimension finie, on définit une relation binaire $\mathcal R$ sur l'ensemble des bases de $E$ de la façon suivante : deux bases $\mathcal B$ et $\mathcal B'$ de $E$ sont en relation par $\mathcal R$ si et seulement si le déterminant de la matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B'$ est strictement positif. On montre que cette relation est une relation d'équivalence qui divise l'ensemble des bases de $E$ en exactement deux classes. Orienter $E$ consiste à choisir l'une de ces classes : toutes les bases qui lui appartiennent sont dites directes, les autres indirectes. Deux bases en relation par $\mathcal R$ sont dites de même sens.

Dans le cas d'un espace vectoriel euclidien, deux bases orthonormées sont de même sens si et seulement si la matrice de passage de l'une à l'autre est de déterminant +1.

Rappels : déterminant d'une famille de vecteurs

Le déterminant $\mathrm{det}_{\mathcal B}(v_1,\dots,v_n)$ d'une famille $(v_1,\dots,v_n)$ de $n$ vecteurs relativement à une base $\mathcal B$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ est par définition le déterminant de la matrice carrée d'ordre $n$ dont les colonnes sont les coordonnées de ces vecteurs dans la base $\mathcal B$. Ce déterminant dépend de la base $\mathcal B$. Plus précisément, si $\mathcal B$ et $\mathcal B'$ sont deux bases de $E$, les déterminants d'une famille de $n$ vecteurs de $E$ relativement à ces deux bases sont reliés par la relation :

$$\mathrm{det}_{\mathcal B}(v_1,\dots,v_n)=\mathrm{det}(P) \, \mathrm{det}_{\mathcal B'}(v_1,\dots,v_n)$$

où $P$ est la matrice de passage de la base $\mathcal B$ à la base $\mathcal B'$.

Si $E$ est un espace vectoriel euclidien de dimension $n$, le déterminant dans deux bases orthonormées de même sens d'une famille de $n$ vecteurs est le même, puisque la matrice de passage de l'une de ces bases à l'autre est orthogonale de déterminant +1. C'est ce qui permet de donner la définition suivante :

Définition 10   Soit $E$ un espace vectoriel euclidien orienté de dimension $n$. On appelle produit mixte d'une famille $(v_1,\dots,v_n)$ de $n$ vecteurs de $E$ le déterminant de $(v_1,\dots,v_n)$ dans une base orthonormée directe. Ce réel ne dépend pas du choix d'une telle base et on le notera simplement $\mathrm{det}(v_1,\dots,v_n)$.

Remarque : Sans avoir à supposer l'espace vectoriel euclidien $E$ orienté, on remarque que la valeur absolue du déterminant de $n$ vecteurs est la même dans toute base orthonormée de $E$. Cette valeur absolue ne dépend pas de l'ordre dans lequel sont écrits ces vecteurs et représente, en dimension 2, l'aire du parallélogramme construit sur les 2 vecteurs, en dimension 3, le volume du parallélépipède construit sur les 3 vecteurs.