Orthogonalité, bases orthonormées

Définition 5 Deux vecteurs et d'un espace vectoriel euclidien sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul : $\langle x,y\rangle =0$ .

Deux parties et d'un espace vectoriel euclidien sont dites orthogonales si tout vecteur de est orthogonal à tout vecteur de :

$\displaystyle \langle x,y\rangle =0$ pour tout $\displaystyle (x,y) \in A\times B \, .$

On appelle orthogonal d'une partie de , et on note $A^\perp$ , l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tout vecteur de :

$\displaystyle A^\perp=\{x\in E \mid \la x,y \ra =0$ pour tout $\displaystyle y\in A \}\, .$

Proposition 3

L'orthogonal d'une partie de est un sous-espace vectoriel de .
Si $A\subset B$ sont deux parties de , alors $B^\perp \subset A^\perp$ .
L'orthogonal d'une partie de est égal à l'orthogonal du sous-espace vectoriel $\Vect(A)$ de engendré par cette partie :

$\displaystyle A^\perp = \Vect(A)^\perp \; .$

Démonstration : La propriété 1 provient de la linéarité du produit scalaire en chacune de ses variables, la propriété 2 de la définition de l'orthogonal d'une partie. L'inclusion $\Vect(A)^\perp \subset A^\perp$ provient, grâce à 2, de l'inclusion $A \subset \Vect(A)$ , l'inclusion $A^\perp \subset \Vect(A)^\perp$ de la linéarité du produit scalaire. $\square$

Démonstration : Soit $(v_1,\dots,v_n)$ une famille de vecteurs non nuls deux à deux orthogonaux : $\la v_i,v_j \ra=0$ pour $i\neq j$ , et soit $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i=0$ une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs. Alors, pour tout $j=1,\dots,n$ :

Définition 6 On appelle base orthonormée (ou orthonormale) d'un espace vectoriel euclidien toute base $(e_1,\dots,e_n)$ de vérifiant

$\displaystyle \la e_i,e_j\ra = \delta_{i,j} = \begin{cases}1 &\text{ si }i=j\\ 0 & \text{ sinon.} \end{cases}$

L'intérêt des bases orthonormales vient de ce que le produit scalaire et la norme ont même expression dans toute base orthonormale : si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base orthonormale de

et $x=\sum\limits_{i=1}^n x_i e_i$ et $y=\sum\limits_{i=1}^n y_i e_i$ sont deux vecteurs de

, alors

De plus les coordonnées d'un vecteur

dans une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ sont données par :

Si on note, pour tout vecteur

la matrice colonne $\tr{(x_1,\dots,x_n)}$ des composantes de

dans la base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ , le produit scalaire et la norme s'écrivent matriciellement :

Tout espace vectoriel euclidien possède des bases orthonormées. Plus précisément le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de construire à partir de n'importe quelle base d'un tel espace une base orthonormée.

Proposition 5 Soit un espace vectoriel euclidien et $(v_1,\dots,v_n)$ une base de . Alors il existe une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ de telle que, pour tout $k=1,\dots,n$ , l'espace vectoriel $\Vect (e_1,\dots,e_k)$ engendré par les premiers vecteurs de cette base coïncide avec l'espace vectoriel $\Vect (v_1,\dots,v_k)$ engendré par les premiers vecteurs de la base de départ.

Démonstration : On commence par construire une base orthogonale $(u_1,\dots,u_n)$ vérifiant $\Vect (u_1,\dots,u_k)=\Vect (v_1,\dots,v_k)$ pour tout $k=1,\dots,n$ . Il suffit ensuite de normer cette base en posant $e_k=\dfrac{u_k}{\Vert u_k\Vert}$ pour tout

On construit donc, par récurrence sur

, une famille $(u_1,\dots,u_n)$ de vecteurs deux à deux orthogonaux vérifiant $\Vect (u_1,\dots,u_k)=\Vect (v_1,\dots,v_k)$ pour tout $k=1,\dots,n$ . Pour

, il suffit de poser

. Si la famille $(u_1,\dots,u_k)$ est construite pour un entier

, on cherche $u_{k+1}$ de la forme $u_{k+1}=v_{k+1}-\sum\limits_{i=1}^k \lambda_{k+1,i}u_i$ . En écrivant $\la u_j ,u_{k+1} \ra=0$ , on obtient $\lambda_{k+1,j}=\dfrac{\la u_j,v_{k+1}\ra}{\Vert u_j\Vert^2}$ pour $j=1,\dots,k$ et on vérifie immédiatement que la famille ainsi construite convient. $\square$

La matrice de passage de la base $(v_1,\dots,v_n)$ à la base $(e_1,\dots,e_n)$ est donc triangulaire supérieure. On peut montrer que la base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ vérifiant ces propriétés est unique si on impose de plus à tous les coefficients diagonaux de cette matrice de passage d'être positifs.

Démonstration : Soit $(e_1,\dots,e_k)$ une famille orthonormée. D'après la proposition 4, cette famille est libre. D'après le théorème de la base incomplète, on peut donc la compléter en une base $(e_1,\dots,e_k,v_{k+1},\dots,v_n)$ de

. En orthonormalisant cette base par le procédé de Gram-Schmidt, on obtient une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ dont les

premiers vecteurs coïncident avec ceux de la famille donnée. $\square$

Proposition 6 Soit un espace vectoriel euclidien et un sous-espace vectoriel de . Alors et $F^\perp$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires. En particulier :

$\displaystyle \dim(F^\perp)=\dim(E)-\dim(F) \; .$

On dit que $F^\perp$ est le supplémentaire orthogonal de dans , ou que les sous-espaces vectoriels et $F^\perp$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux.

Démonstration : Soit $(e_1,\dots,e_k)$ une base orthonormée de

. On peut la compléter en une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ de

. Un vecteur $x=\sum\limits_{i=1}^n x_i e_i$ est orthogonal à

si et seulement si il est orthogonal à $e_1,\dots,e_k$ puisque ces vecteurs engendrent

, donc si et seulement si

pour tout $i=1,\dots,k$ . Le sous-espace vectoriel $F^\perp$ est donc le sous-espace vectoriel de

engendré par $e_{k+1},\dots,e_n$ . $\square$

Proposition 7 Pour tout sous-espace vectoriel de , le sous-espace vectoriel $(F^\perp)^\perp$ , appelé biorthogonal de , est égal à .

Plus généralement, pour toute partie de , le biorthogonal $(A^\perp)^\perp$ de est le sous-espace vectoriel $\Vect(A)$ de engendré par .

Démonstration : L'inclusion $F\subset (F^\perp)^\perp$ est claire, puisque, pour tout $x\in F$ et tout $y\in F^\perp$ , on a $\la x,y \ra=0$ . Mais

est une partie quelconque de

, l'orthogonal de

est aussi l'orthogonal de $\Vect(A)$ , d'où

Le sous-espace vectoriel de

orthogonal à un vecteur

non nul est un sous-espace vectoriel de

de dimension $\dim(E)-1$ , i.e. un hyperplan de

. C'est aussi le sous-espace vectoriel de

orthogonal à la droite vectorielle engendrée par ce vecteur.

De même, le sous-espace vectoriel orthogonal à un hyperplan

est une droite vectorielle de

. Tout vecteur non nul de cette droite est dit normal à

Équation d'un hyperplan : Soit

un espace vectoriel euclidien, $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormée de

un hyperplan de

et $v=\sum\limits_{i=1}^n v_i e_i$ un vecteur normal à

. Alors l'équation de

dans la base $(e_1,\dots,e_n)$ s'écrit :

Rappel : si

sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d'un espace vectoriel

, tout vecteur

s'écrit de manière unique sous la forme

, avec $x_F\in F$ et $x_G\in G$ . L'application

qui à

associe

est une application linéaire de

dans

, appelée projection sur

dans la direction

. Elle vérifie $p\circ p=p$ , son image est

et son noyau

. L'application

qui à

associe

est une application linéaire involutive ( $s\circ s=id_E$ ), donc bijective, de

sur

, appelée symétrie par rapport à

dans la direction

. Ces deux applications linéaires sont reliées par la relation $s=2\, p-id_E$ .

Définition 7 Soit un espace vectoriel et un sous-espace vectoriel de . On appelle projection orthogonale sur la projection sur dans la direction $F^\perp$ et symétrie orthogonale par rapport à la symétrie par rapport à dans la direction $F^\perp$ .

Le projeté orthogonal

sur

d'un vecteur

est donc caractérisé par les deux relations $x_F\in F$ et $\la x-x_F,y \ra=0$ pour tout $y\in F$ .

Démonstration : Soit

la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel

d'un espace vectoriel euclidien

. L'orthogonalité des vecteurs

implique $\Vert x\Vert^2=\Vert p(x)\Vert^2+\Vert x-p(x)\Vert^2$ , d'où $\Vert p(x)\Vert \leq \Vert x\Vert$ . $\square$

Une réflexion est donc, dans le plan, une symétrie orthogonale par rapport à une droite et, dans l'espace, une symétrie orthogonale par rapport à un plan.

Soit

un vecteur non nul de

, $D=\mathbb{R}v$ la droite vectorielle engendrée par

l'hyperplan de

orthogonal à

, i.e. le supplémentaire orthogonal de

. Le projeté orthogonal

d'un vecteur

sur

est de la forme $\lambda v$ pour un réel $\lambda$ . En écrivant que $\la x-\lambda v,v \ra=0$ , on obtient $\lambda=\dfrac{\la x,v \ra}{\Vert v\Vert^2}$ , d'où :