Orthogonalité, bases orthonormées

Définition 5   Deux vecteurs $x$ et $y$ d'un espace vectoriel euclidien sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul : $\langle x,y\rangle =0$.

Deux parties $A$ et $B$ d'un espace vectoriel euclidien sont dites orthogonales si tout vecteur de $A$ est orthogonal à tout vecteur de $B$ :

$$\langle x,y\rangle =0$$   pour tout $$(x,y) \in A\times B \, .$$

On appelle orthogonal d'une partie $A$ de $E$, et on note $A^\perp$, l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tout vecteur de $A$:

$$A^\perp=\{x\in E \mid \la x,y \ra =0$$    pour tout $$y\in A \}\, .$$

Proposition 3  

1. L'orthogonal d'une partie de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
2. Si $A\subset B$ sont deux parties de $E$, alors $B^\perp \subset A^\perp$.
3. L'orthogonal d'une partie $A$ de $E$ est égal à l'orthogonal du sous-espace vectoriel $\Vect(A)$ de $E$ engendré par cette partie :
   $$A^\perp = \Vect(A)^\perp \; .$$

Démonstration : La propriété 1 provient de la linéarité du produit scalaire en chacune de ses variables, la propriété 2 de la définition de l'orthogonal d'une partie. L'inclusion $\Vect(A)^\perp \subset A^\perp$ provient, grâce à 2, de l'inclusion $A \subset \Vect(A)$, l'inclusion $A^\perp \subset \Vect(A)^\perp$ de la linéarité du produit scalaire.$\square$

Proposition 4   Toute famille orthogonale constituée de vecteurs non nuls est libre.

Démonstration : Soit $(v_1,\dots,v_n)$ une famille de vecteurs non nuls deux à deux orthogonaux : $\la v_i,v_j \ra=0$ pour $i\neq j$, et soit $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i=0$ une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs. Alors, pour tout $j=1,\dots,n$ :

$$0=\la v_j,\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i v_i \ra= \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \la v_j, v_i \ra= \lambda_j \Vert v_j\Vert^2 \,$$

d'où $\lambda_j=0$ puisque $\Vert v_j\Vert^2>0$. Il en résulte que la famille $(v_1,\dots,v_n)$ est libre.$\square$

Bases orthonormées

Définition 6   On appelle base orthonormée (ou orthonormale) d'un espace vectoriel euclidien $E$ toute base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ vérifiant

$$\la e_i,e_j\ra = \delta_{i,j} = \begin{cases}1 &\text{ si }i=j\\ 0 & \text{ sinon.} \end{cases}$$

L'intérêt des bases orthonormales vient de ce que le produit scalaire et la norme ont même expression dans toute base orthonormale : si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base orthonormale de $E$ et $x=\sum\limits_{i=1}^n x_i e_i$ et $y=\sum\limits_{i=1}^n y_i e_i$ sont deux vecteurs de $E$, alors

$$\la x,y \ra = \sum_{i=1}^n x_iy_i$$

$$\Vert x\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \, .$$

De plus les coordonnées d'un vecteur $x$ dans une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ sont données par :

$$x_i=\la e_i,x \ra$$

pour tout $i=1,\dots,n$.

Si on note, pour tout vecteur $x$ de $E$, $X$ la matrice colonne $\tr{(x_1,\dots,x_n)}$ des composantes de $x$ dans la base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$, le produit scalaire et la norme s'écrivent matriciellement :

$$\la x,y \ra= \tr{X}Y=\tr{Y}X, \quad \Vert x\Vert=(\tr{X}X)^{1/2} \; .$$

Tout espace vectoriel euclidien possède des bases orthonormées. Plus précisément le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de construire à partir de n'importe quelle base d'un tel espace une base orthonormée.

Proposition 5   Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $(v_1,\dots,v_n)$ une base de $E$. Alors il existe une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ telle que, pour tout $k=1,\dots,n$, l'espace vectoriel $\Vect (e_1,\dots,e_k)$ engendré par les $k$ premiers vecteurs de cette base coïncide avec l'espace vectoriel $\Vect (v_1,\dots,v_k)$ engendré par les $k$ premiers vecteurs de la base de départ.

Démonstration : On commence par construire une base orthogonale $(u_1,\dots,u_n)$ vérifiant $\Vect (u_1,\dots,u_k)=\Vect (v_1,\dots,v_k)$ pour tout $k=1,\dots,n$. Il suffit ensuite de normer cette base en posant $e_k=\dfrac{u_k}{\Vert u_k\Vert}$ pour tout $k$.

On construit donc, par récurrence sur $k$, une famille $(u_1,\dots,u_n)$ de vecteurs deux à deux orthogonaux vérifiant $\Vect (u_1,\dots,u_k)=\Vect (v_1,\dots,v_k)$ pour tout $k=1,\dots,n$. Pour $k=1$, il suffit de poser $u_1=v_1$. Si la famille $(u_1,\dots,u_k)$ est construite pour un entier $k<n$, on cherche $u_{k+1}$ de la forme $u_{k+1}=v_{k+1}-\sum\limits_{i=1}^k \lambda_{k+1,i}u_i$. En écrivant $\la u_j ,u_{k+1} \ra=0$, on obtient $\lambda_{k+1,j}=\dfrac{\la u_j,v_{k+1}\ra}{\Vert u_j\Vert^2}$ pour $j=1,\dots,k$ et on vérifie immédiatement que la famille ainsi construite convient.$\square$

La matrice de passage de la base $(v_1,\dots,v_n)$ à la base $(e_1,\dots,e_n)$ est donc triangulaire supérieure. On peut montrer que la base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ vérifiant ces propriétés est unique si on impose de plus à tous les coefficients diagonaux de cette matrice de passage d'être positifs.

Corollaire 1   Toute famille orthonormée d'un espace vectoriel euclidien peut être complétée en une base orthonormée.

Démonstration : Soit $(e_1,\dots,e_k)$ une famille orthonormée. D'après la proposition 4, cette famille est libre. D'après le théorème de la base incomplète, on peut donc la compléter en une base $(e_1,\dots,e_k,v_{k+1},\dots,v_n)$ de $E$. En orthonormalisant cette base par le procédé de Gram-Schmidt, on obtient une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ dont les $k$ premiers vecteurs coïncident avec ceux de la famille donnée.$\square$

Proposition 6   Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $F$ et $F^\perp$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires. En particulier :

$$\dim(F^\perp)=\dim(E)-\dim(F) \; .$$

On dit que $F^\perp$ est le supplémentaire orthogonal de $F$ dans $E$, ou que les sous-espaces vectoriels $F$ et $F^\perp$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux.

Démonstration : Soit $(e_1,\dots,e_k)$ une base orthonormée de $F$. On peut la compléter en une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$. Un vecteur $x=\sum\limits_{i=1}^n x_i e_i$ est orthogonal à $F$ si et seulement si il est orthogonal à $e_1,\dots,e_k$ puisque ces vecteurs engendrent $F$, donc si et seulement si $x_i=0$ pour tout $i=1,\dots,k$. Le sous-espace vectoriel $F^\perp$ est donc le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par $e_{k+1},\dots,e_n$. $\square$

Proposition 7   Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, le sous-espace vectoriel $(F^\perp)^\perp$, appelé biorthogonal de $F$, est égal à $F$.

Plus généralement, pour toute partie $A$ de $E$, le biorthogonal $(A^\perp)^\perp$ de $A$ est le sous-espace vectoriel $\Vect(A)$ de $E$ engendré par $A$.

Démonstration : L'inclusion $F\subset (F^\perp)^\perp$ est claire, puisque, pour tout $x\in F$ et tout $y\in F^\perp$, on a $\la x,y \ra=0$. Mais

$$\dim((F^\perp)^\perp)=\dim(E)-\dim(F^\perp)=\dim(E)-[\dim(E)-\dim(F)]=\dim(F)$$

d'où $F=(F^\perp)^\perp$.

Si $A$ est une partie quelconque de $E$, l'orthogonal de $A$ est aussi l'orthogonal de $\Vect(A)$, d'où

$$(A^\perp)^\perp=(\Vect(A)^\perp)^\perp=\Vect(A) \; .$$

$\square$

Exemple : orthogonal d'un vecteur, vecteur normal à un hyperplan

Le sous-espace vectoriel de $E$ orthogonal à un vecteur $v$ non nul est un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $\dim(E)-1$, i.e. un hyperplan de $E$. C'est aussi le sous-espace vectoriel de $E$ orthogonal à la droite vectorielle engendrée par ce vecteur.

De même, le sous-espace vectoriel orthogonal à un hyperplan $H$ de $E$ est une droite vectorielle de $E$. Tout vecteur non nul de cette droite est dit normal à $H$.

Équation d'un hyperplan : Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormée de $E$, $H$ un hyperplan de $E$ et $v=\sum\limits_{i=1}^n v_i e_i$ un vecteur normal à $H$. Alors l'équation de $H$ dans la base $(e_1,\dots,e_n)$ s'écrit :

$$\sum\limits_{i=1}^n v_i x_i=0 \, .$$

Projection et symétrie orthogonales

Rappel : si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d'un espace vectoriel $E$, tout vecteur $x$ de $E$ s'écrit de manière unique sous la forme $x=x_F+x_G$, avec $x_F\in F$ et $x_G\in G$. L'application $p$ qui à $x$ associe $x_F$ est une application linéaire de $E$ dans $E$, appelée projection sur $F$ dans la direction $G$. Elle vérifie $p\circ p=p$, son image est $F$ et son noyau $G$. L'application $s$ qui à $x$ associe $x_F-x_G$ est une application linéaire involutive ( $s\circ s=id_E$), donc bijective, de $E$ sur $E$, appelée symétrie par rapport à $F$ dans la direction $G$. Ces deux applications linéaires sont reliées par la relation $s=2\, p-id_E$.

Définition 7   Soit $E$ un espace vectoriel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On appelle projection orthogonale sur $F$ la projection sur $F$ dans la direction $F^\perp$ et symétrie orthogonale par rapport à $F$ la symétrie par rapport à $F$ dans la direction $F^\perp$.

Le projeté orthogonal $x_F$ sur $F$ d'un vecteur $x$ de $E$ est donc caractérisé par les deux relations $x_F\in F$ et $\la x-x_F,y \ra=0$ pour tout $y\in F$.

Proposition 8   Toute projection vectorielle orthogonale $p$ est 1-Lipschitzienne : $\Vert p(x)\Vert \leq \Vert x\Vert$ pour tout vecteur $x$.

Démonstration : Soit $p$ la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel $F$ d'un espace vectoriel euclidien $E$. L'orthogonalité des vecteurs $p(x)$ et $x-p(x)$ implique $\Vert x\Vert^2=\Vert p(x)\Vert^2+\Vert x-p(x)\Vert^2$, d'où $\Vert p(x)\Vert \leq \Vert x\Vert$.$\square$

Définition 8   On appelle réflexion toute symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.

Une réflexion est donc, dans le plan, une symétrie orthogonale par rapport à une droite et, dans l'espace, une symétrie orthogonale par rapport à un plan.

Exemple : cas d'une droite, d'un hyperplan

Soit $v$ un vecteur non nul de $E$, $D=\mathbb{R}v$ la droite vectorielle engendrée par $v$ et $H$ l'hyperplan de $E$ orthogonal à $v$, i.e. le supplémentaire orthogonal de $D$. Le projeté orthogonal $x_D$ d'un vecteur $x$ de $E$ sur $D$ est de la forme $\lambda v$ pour un réel $\lambda$. En écrivant que $\la x-\lambda v,v \ra=0$, on obtient $\lambda=\dfrac{\la x,v \ra}{\Vert v\Vert^2}$, d'où :

$$x_D=\dfrac{\la x,v \ra}{\Vert v\Vert^2} v \, .$$

Le projeté orthogonal de $x$ sur $H$ est donc :

$$x_H=x-x_D=x-\dfrac{\la x,v \ra}{\Vert v\Vert^2} v \, .$$

L'image de $x$ par la réflexion $s_H$ d'hyperplan $H$ est donc

$$s_H(x)=2 \, x_H -x= x-2\, \dfrac{\la x,v \ra}{\Vert v\Vert^2} v \, .$$

Si $X$ (resp. $X'$, $V$) est la matrice colonne des composantes de $x$ (resp. $s_H(x)$, $v$) dans une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$, cette relation s'écrit

$$X'=X-\dfrac{2\, \tr{V}X}{\tr{V}V} V \, .$$

La matrice dans la base $(e_1,\dots,e_n)$ de la réflexion $s_H$ est donc $I_n - \dfrac{2}{\tr{V}V} V\tr{V}$, où $I_n$ est la matrice identité d'ordre $n=\dim(E)$.

Ces matrices jouent un rôle important en analyse numérique, où elles sont appelées matrices de Householder.