Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :  

1. Rappeler la définition de l'orthogonal d'une partie d'un espace vectoriel euclidien . Donner une relation entre les dimensions d'un et de son orthogonal.

2. Rappeler les définitions du produit mixte et du produit vectoriel dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur deux vecteurs pour que la norme de leur produit vectoriel soit nulle (resp. égale au produit de leurs normes).

3. Énoncer le théorème de diagonalisation des endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien . Caractériser la plus grande et la plus petite valeur propre d'un endomorphisme symétrique $f$ d'un tel espace $E$ en fonction des produits scalaires $\la x,f(x) \ra$ pour $x\in E$.

4. Soient $a,b,c,a',b',c',a'',b'',c''$ des réels. Montrer l'équivalence des deux propriétés :
   $$(\mathcal P_1)\quad \begin{cases} a^2+b^2+c^2=a'^2+b'^2+c'^2=... ...1\\ aa'+bb'+cc'=a'a''+b'b''+c'c''=aa''+bb''+cc''=0 \end{cases}$$
   et
   $$(\mathcal P_2)\quad \begin{cases} a^2+a'^2+a''^2=b^2+b'^2+b''... ...ab+a'b'+a''b''=bc+b'c'+b''c''=ac+a'c'+a''c''=0 \; . \end{cases}$$

5. Donner l'écriture complexe d'une similitude directe du plan complexe. Déterminer les éléments caractéristiques (rapport, angle, points fixes) d'une similitude directe donnée sous forme complexe.

Exercice 1 : Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan affine euclidien $E$ et $k$ un réel strictement positif différent de 1. On se propose d'étudier l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ de $E$ vérifiant $\dfrac{MA}{MB}=k$:

$$\Gamma=\left\{ M\in E \, \Bigl\lvert \Bigr. \, \dfrac{MA}{MB}=k \right\} \, .$$

1. Montrer qu'un point $M$ du plan appartient à $\Gamma$ les vecteurs $\vv{MA}-k\vv{MB}$ et $\vv{MA}+k\vv{MB}$ sont orthogonaux.

2. Montrer qu'il existe un point $J$ (resp. $K$) du plan et un seul tel que $\vv{JA}-k\vv{JB}=\0$ (resp. $\vv{KA}+k\vv{KB}=\0$). Exprimer, pour tout point $M$ du plan, le vecteur $\vv{MA}-k\vv{MB}$ (resp. $\vv{MA}+k\vv{MB}$) en fonction du vecteur $\vv{MJ}$ (resp. $\vv{MK}$).

3. En déduire que $\Gamma$ est un cercle dont on précisera le centre.

4. Soit $G$ le barycentre du système pondéré $[(A,1),\, (B,-k^2)]$. Exprimer, pour tout point $M$ du plan, $MA^2-k^2 \, MB^2$ en fonction de $MG^2$, $GA^2$ et $GB^2$. Retrouver ainsi le résultat de la question précédente.

5. Montrer que la puissance $p_{\Gamma}(I)$ du milieu $I$ de $[AB]$ par rapport au cercle $\Gamma$ est égale à $IA^2$. En déduire que le cercle $\Gamma$ et le cercle de diamètre $[AB]$ sont orthogonaux.

6. Montrer que tout cercle passant par les deux points $A$ et $B$ est orthogonal à $\Gamma$.

Exercice 2 :

Le but de cet exercice est d'étudier le groupe des isométries du tétraèdre régulier et en particulier de montrer que ce groupe est isomorphe au groupe $\mathcal S_4$ des permutations de quatre éléments. On considère donc un tétraèdre régulier $ABCD$ de l'espace affine euclidien $E$ de dimension 3 et on note $G$ le groupe des isométries de $E$ laissant globalement invariant l'ensemble $\{A,\, B,\, C,\, D\}$ des sommets de ce tétraèdre. On note $G^+$ le sous-ensemble de $G$ constitué des isométries directes et $G^-$ le sous-ensemble de $G$ constitué des isométries indirectes.

1. Montrer qu'il existe un point $O$ de $E$ fixe par tout élément de $G$.

2. Montrer que tout élément $g$ de $G$ induit une permutation $\varphi (g)$ des sommets du tétraèdre et que l'application $\varphi$ ainsi définie est un homomorphisme injectif du groupe $G$ dans le groupe $\mathcal S$ des permutations de ces sommets.

3. Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Montrer que le plan $(CDI)$ est le plan médiateur de $[AB]$. En déduire qu'il existe dans $G$ une réflexion échangeant les points $A$ et $B$ et laissant fixes $C$ et $D$.

4. Montrer que l'image $\varphi (G)$ de $\varphi$ contient toutes les transpositions des sommets. En déduire que $\varphi$ est surjectif. On rappelle qu'une transposition est une permutation échangeant deux éléments et laissant les autres fixes et que les transpositions engendrent le groupe symétrique.

5. En déduire les cardinaux de $G$, $G^+$ et $G^-$ et montrer que l'image $\varphi (G^+)$ de $G^+$ par $\varphi$ est égale au groupe alterné (sous-groupe de $\mathcal S$ constitué des permutations de signature +1).

6. Montrer que tous les éléments de $G^+$ autres que l'identité sont des rotations. Préciser les axes et les angles de ces rotations.

7. Montrer que $G^-$ contient exactement 6 réflexions dont on précisera les plans. Donner la nature géométrique et l'ordre dans le groupe $G$ des autres éléments de $G^-$.