Corrigé du devoir

Questions de cours :  

1. L'orthogonal d'une partie $A$ d'un espace vectoriel euclidien $E$ est l'ensemble des vecteurs de $E$ orthogonaux à tout vecteur de $A$ :
   $$A^\perp=\{u\in E \mid \la u,x \ra=0 \quad \forall x \in A \} \; .$$
   C'est un sous-espace vectoriel de $E$.

   Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on a $\dim (F^\perp)=\dim (E) - \dim (F)$.

2. Le produit mixte $\mathrm{det}(u,v,w)$ de trois vecteurs $u$, $v$, $w$ d'un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 est le déterminant de ces trois vecteurs évalué dans une base orthonormée directe (ce déterminant ne dépend pas du choix d'une telle base).

   Le produit vectoriel de deux vecteurs $u$ et $v$ d'un tel espace $E$ est l'unique vecteur $u\wedge v$ vérifiant $\mathrm{det}(u,v,x)=\la u\wedge v,x \ra$ pour tout vecteur $x$ de $E$.

3. Pour tout endomorphisme symétrique $f$ d'un espace vectoriel euclidien $E$, il existe une base orthonormée de $E$ constituée de vecteurs propres de $f$. La matrice de $f$ dans une telle base est donc diagonale.

   La plus grande et la plus petite des valeurs propres de $f$ sont données par 

   $$\lambda_{\mathrm{max}}=\sup\limits_{x\not = 0} \dfrac{\la x,f(x) \ra}{\Vert x\Vert^2} =\sup\limits_{ \Vert x\Vert =1} \la x,f(x) \ra \;.$$
   resp.
   $$\lambda_{\mathrm{min}}=\inf\limits_{x\not = 0} \dfrac{\la x,f(x) \ra}{\Vert x\Vert^2} =\inf\limits_{ \Vert x\Vert =1} \la x,f(x) \ra \;.$$

4. Soit $A$ la matrice  $A=\begin{pmatrix} a & b & c\\ a' & b' & c'\\ a'' & b'' & c'' \end{pmatrix}$. Les relations $\mathcal P_1$ (resp. $\mathcal P_2$) expriment que $A\tr{A}=I_3$ (resp. $\tr{A}A=I_3$). Elles sont donc vérifiées si et seulement si $A$ est inversible et a pour inverse sa transposée, i.e. si et seulement si $A$ est orthogonale, et sont donc équivalentes.

5. Toute similitude directe du plan complexe s'écrit sous la forme $z\mapsto az+b$ pour un nombre complexe $b$ et un nombre complexe non nul $a$. Le rapport d'une telle similitude est $\vert a\vert$ et son angle $\Arg(a)$. Elle admet comme unique point fixe $z=\dfrac{b}{1-a}$ si $a\not =1$. Si $a=1$ et $b\not =0$, la similitude est une translation de vecteur non nul et n'admet pas de point fixe. Si $a=1$ et $b=0$, c'est l'identité et tout point est fixe.

Exercice 1 :

1. Un point $M$ de $E$ appartient à $\Gamma$ $MA^2-k^2 MB^2=0$, soit encore $(\vv{MA}-k\vv{MB}) \cdot (\vv{MA}+k\vv{MB})=0$.

2. L'égalité $\vv{JA}-k\vv{JB}=\0$ signifie que $J$ est le barycentre du système pondéré $[(A,1),\, (B,-k)]$. Ce barycentre existe et est unique puisque $1-k \not = 0$. On a alors, pour tout point $M$ de $E$ :
   $$\vv{MA}-k\vv{MB}=(\vv{MJ}+\vv{JA})-k (\vv{MJ}+\vv{JB})=(1-k) \vv{MJ} \, .$$
   De même, le point $K$ est le barycentre du système pondéré $[(A,1),\, (B,k)]$ et on a, pour tout point $M$ de $E$ :
   $$\vv{MA}+k\vv{MB}=(\vv{MK}+\vv{KA})+k (\vv{MK}+\vv{KB})=(1+k) \vv{MK} \, .$$

3. L'orthogonalité des vecteurs $\vv{MA}-k\vv{MB}$ et $\vv{MA}+k\vv{MB}$ équivaut donc à l'orthogonalité des vecteurs $\vv{MJ}$ et $\vv{MK}$. Un point $M$ de $E$ appartient à $\Gamma$ ces vecteurs sont orthogonaux, on en déduit que $\Gamma$ est le cercle de diamètre $[JK]$. Son centre est le milieu de ce segment et appartient donc à la droite $(AB)$, puisque ces deux points sont situés sur cette droite ($K$ appartient au segment $[AB]$ et $J$ au complémentaire de ce segment dans la droite).
4. Le barycentre du système pondéré $[(A,1),\, (B,-k^2)]$ est bien défini puisque $1-k^2 \not =0$. On a :

   $$MA^2-k^2 \, MB^2 = (\vv{MG}+\vv{GA})^2-k^2 \, (\vv{MG}+\vv{GB})^2$$

   $$=MG^2+2 \, \vv{MG}\cdot\vv{GA}+GA^2 -k^2 \, (MG^2+2 \, \vv{MG}\cdot\vv{GB}+GB^2)$$

   $$=(1-k^2) \, MG^2+GA^2-k^2 \, GB^2$$

   
   
   puisque $\vv{GA}-k^2 \, \vv{GB}=\0$.

   Un point $M$ de $E$ appartient à $\Gamma$ $MA^2-k^2 \, MB^2 =0$, i.e.

   $$MG^2=\dfrac{k^2 \, GB^2-GA^2}{1-k^2}$$
   ce qui montre que $\Gamma$ est un cercle de centre $G$ ($\Gamma$ n'est pas vide puisqu'il contient les deux points $J$ et $K$). On pouvait vérifier directement que $G$ est le milieu du segment $[JK]$, cette propriété découle aussi des deux dernières questions.
5. La puissance $p_\Gamma(I)$ du milieu $I$ de $[AB]$ par rapport au cercle $\Gamma$ est égale à $\vv{IJ}\cdot \vv{IK}$, puisque la droite $(AB)$ coupe le cercle $\Gamma$ en $J$ et $K$.

   En faisant $M=I$ dans le résultat de la question 2, on obtient les relations

   $$(1-k) \, \vv{IJ} =\vv{IA}-k \, \vv{IB}$$

   $$(1+k) \, \vv{IK} =\vv{IA}+k \, \vv{IB} \, .$$

   
   

   Il en résulte

   $$(1-k^2) \, \vv{IJ}\cdot \vv{IK} =(\vv{IA}-k \, \vv{IB}) \cdot (\vv{IA}+k \, \vv{IB})$$

   $$=IA^2-k^2 \, IB^2$$

   $$=(1-k^2) \, IA^2$$

   
   
   puisque $IA=IB$, d'où $p_\Gamma(I)=IA^2$, ce qui montre que le cercle $\Gamma$ et le cercle de diamètre $[AB]$ sont orthogonaux.
6. La puissance du centre $G$ du cercle $\Gamma$ par rapport au cercle de diamètre $[AB]$ est égale au carré $R^2$ du rayon de $\Gamma$, puisque ces deux cercles sont orthogonaux. Mais la puissance de $G$ par rapport à tout cercle passant par les deux points $A$ et $B$ est égale à la puissance de $G$ par rapport au cercle de diamètre $[AB]$, puisqu'elle vaut $\vv{GA}\cdot \vv{GB}$. Il en résulte que $\Gamma$ est orthogonal à tout cercle passant par $A$ et $B$.
   

   
   

Exercice 2 :

1. L'isobarycentre $O$ des sommets $A$, $B$, $C$, $D$ du tétraèdre est fixe par tout élément de $G$, puisqu'une isométrie est une transformation affine et qu'une transformation affine conserve les barycentres.

2. Tout élément de $G$ permute les sommets du tétraèdre et induit donc une permutation de l'ensemble $\{A,B,C,D\}$. L'application $\varphi$ qui associe à tout élément de $G$ sa restriction à l'ensemble $\{A,B,C,D\}$ est un homomorphisme du groupe $G$ dans le groupe $\mathcal S$ des permutations de ces sommets. Cet homorphisme est injectif, puisque $(A,B,C,D)$ constitue un repère affine de $E$ et qu'une transformation affine est entièrement déterminée par les images des points d'un repère affine.

3. Le tétraèdre $ABCD$ étant régulier, on a $CA=CB$ et $DA=DB$, ce qui montre que $C$ et $D$ appartiennent au plan médiateur du segment $[AB]$. Le milieu $I$ de $[AB]$ appartient également à ce plan. Les trois points $C,D,I$ ne sont pas alignés et déterminent donc un plan, qui est le plan médiateur de $[AB]$. Ce plan est perpendiculaire en $I$ à la droite $(AB)$ et la symétrie orthogonale par rapport à ce plan échange les points $A$ et $B$. Elle laisse fixe les points $C$ et $D$ et a donc comme image par $\varphi$ la transposition échangeant $A$ et $B$.

4. En procédant de même avec les autres arêtes du tétraèdre, on voit que $G$ contient 6 réflexions de plans les plans médiateurs des 6 arêtes, dont les images par $\varphi$ sont les 6 transpositions que contient le groupe $\mathcal S$. Ces transpositions engendrent le groupe $\mathcal S$. Comme l'image $\varphi (G)$ du groupe $G$ par l'homomorphisme de groupes $\varphi$ est un sous-groupe de $\mathcal S$, cette image est égale à $\mathcal S$. L'homomorphisme $\varphi$ est donc surjectif ; comme il est injectif, c'est un isomorphisme de $G$ sur $\mathcal S$.

5. Il en résulte que $G$, étant en bijection avec $\mathcal S$, a même cardinal que $\mathcal S$, i.e. 4!=24. $G$ est réunion disjointe de $G^+$ et de $G^-$ et ces deux ensembles ont le même nombre d'éléments : en effet $G^-$ n'est pas vide, puisqu'il contient les 6 réflexions précédemment trouvées et l'application $g\mapsto s\circ g$, où $s$ est l'une quelconque de ces réflexions, est une bijection de $G^+$ sur $G^-$. Il en résulte que $G^+$ et $G^-$ ont tous deux 12 éléments.

6. Les éléments de $G^+$ autres que l'identité sont des déplacements de $E$ ayant un point fixe $O$, donc des rotations d'axes passant par $O$. Pour chaque sommet du tétraèdre, la perpendiculaire à la face opposée à ce sommet passant par ce sommet rencontre la face opposée au centre de gravité de cette face. Les rotations d'angles $\pm \dfrac{2\pi}{3}$ autour de cet axe appartiennent donc à $G$. Leurs images par $\varphi$ sont les 8 cycles de longueur 3 que contient $\mathcal S$. Par ailleurs, les demi-tours d'axes les bimédianes du tétraèdres (droites joigant les milieux de deux arêtes opposées) appartiennent à $G$, puisque ces bimédianes sont perpendiculaires aux arêtes dont elles joignent les milieux (par exemple si $J$ est le milieu de $[CD]$, la droite $(IJ)$ est incluse à la fois dans le plan médiateur de $[AB]$ et dans le plan médiateur de $[CD]$). On obtient ainsi 3 demi-tours d'axes les 3 bimédianes, dont les images par $\varphi$ sont les 3 produits de deux transpositions de supports disjoints que contient $\mathcal S$. Le groupe $G^+$ des déplacements conservant le tétraèdre contient donc 8 éléments d'ordre 3, 3 éléments d'ordre 2 et un élément d'ordre 1 (l'identité).

7. On a déjà vu que $G^-$ contenait 6 réflexions de plans les plans médiateurs des arêtes du tétraèdre. L'image par $\varphi$ d'une réflexion est un élément d'ordre 2 de $\mathcal S$, c'est-à-dire une transposition ou un produit de deux transpositions de supports disjoints. $G$ ne peut donc contenir d'autre réflexions que les 6 déjà trouvées. Les autres éléments de $G$ sont donc des antirotations d'axes et de plans passant par $O$. Ils ont pour images par $\varphi$ les 6 permutations circulaires des quatre sommets et sont donc d'ordre 4 dans $G$. Si $s\circ r=r \circ s$ est la décomposition canonique d'une telle antirotation, avec $s$ une réflexion et $r$ une rotation d'axe perpendiculaire au plan de la réflexion, $(s\circ r)^2=r^2$ doit être un élément d'ordre 2 de $G^+$, i.e. un des trois demi-tours d'axes les bimédianes. La rotation $r$ a donc pour axe une bimédiane et pour angle $\pm \dfrac{\pi}{2}$ et le plan de $s$ est le plan perpendiculaire en $O$ à cette bimédiane, i.e. le plan médiateur du segment joignant les milieux de deux arêtes opposées (ce plan contient les milieux des 4 autres arêtes).