QCM

Question 1 Soit un espace vectoriel euclidien, une partie non vide quelconque de , $A^\perp$ son orthogonal.

$\framebox{A}$: $A=\{0\}$ si et seulement si $A^\perp=E$ .
$\framebox{B}$: $(A^\perp)^\perp=A$ .
$\framebox{C}$: si et seulement si $A^\perp=\{0\}$ .
$\framebox{D}$: Si est un sous-espace vectoriel de , alors $\dim (A)=\dim(A^\perp)$ .
$\framebox{E}$: $(A^\perp)^\perp=A$ si et seulement si est un sous-espace vectoriel de .

Question 2 Soit $n\geq 2$ un entier et une matrice carrée d'ordre à coefficients réels.

$\framebox{A}$: est orthogonale si et seulement si $\mathrm{det}(A)=\pm 1$ .
$\framebox{B}$: Si est orthogonale, alors $\mathrm{det}(A)=1$ .
$\framebox{C}$: Si est orthogonale, ses vecteurs lignes sont deux à deux orthogonaux.
$\framebox{D}$: Si $\tr{A}$ est orthogonale, alors est orthogonale.
$\framebox{E}$: Si les vecteurs colonnes de sont deux à deux orthogonaux, alors est orthogonale.

Question 3 Soit un espace vectoriel euclidien, $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormée de , $(v_1,\dots,v_n)$ une base quelconque de , $(e'_1,\dots,e'_n)$ la base orthonormée de obtenue à partir de la base $(v_1,\dots,v_n)$ par le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, la matrice de passage de la base $(e_1,\dots,e_n)$ à la base $(v_1,\dots,v_n)$ , la matrice de passage de la base $(e_1,\dots,e_n)$ à la base $(e'_1,\dots,e'_n)$ , la matrice de passage de la base $(v_1,\dots,v_n)$ à la base $(e'_1,\dots,e'_n)$ .

$\framebox{A}$: .
$\framebox{B}$: est triangulaire inférieure.
$\framebox{C}$: est orthogonale.
$\framebox{D}$: $\mathrm{det}(P)=\mathrm{det}(R)$ .
$\framebox{E}$: .

Question 4 Soit un espace vectoriel euclidien, une application linéaire de dans .

$\framebox{A}$: Si est un endomorphisme symétrique de , sa matrice dans toute base de est symétrique.
$\framebox{B}$: S'il existe une base orthonormée de dans laquelle la matrice de est symétrique, alors la matrice de dans toute base orthonormée de est symétrique.
$\framebox{C}$: Si est symétrique, alors est diagonalisable.
$\framebox{D}$: Si $f\circ f=f$ , alors est symétrique.
$\framebox{E}$: Si $f\circ f=id_E$ , alors est symétrique.

Question 5 Soit un espace vectoriel euclidien de dimension 3, , , des vecteurs quelconques de .

$\framebox{A}$: $u\wedge v=0$ si et seulement si et sont colinéaires.
$\framebox{B}$: $\mathrm{det}(u,v,u\wedge v)=0$ .
$\framebox{C}$: $(u,v,u\wedge v)$ est une base orthonormée de .
$\framebox{D}$: $\mathrm{det}(u,v,w)=\la v\wedge w,u \ra$ .
$\framebox{E}$: $(u \wedge v) \wedge w = u \wedge (v \wedge w)$ .

Question 6 Dans un espace vectoriel euclidien de dimension 3 rapporté à une base orthonormée, les matrices suivantes sont des matrices de rotations :

$\framebox{A}$: $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ ;
$\framebox{B}$: $B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ ;
$\framebox{C}$: $C=\dfrac12\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & \sqrt{2} & \sqrt{2}\\ 0 & \sqrt{2} & -\sqrt{2}\end{pmatrix}$ ;
$\framebox{D}$: $D=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}$ ;
$\framebox{E}$: $E=\dfrac13\begin{pmatrix}-2 & -1 & 2\\ 2 & -2 & 1\\ 1 & 2 & 2\end{pmatrix}$ .

Question 7 Tous les triangles considérés sont supposés non aplatis.

$\framebox{A}$: Le centre du cercle circonscrit à un triangle est toujours intérieur à ce triangle.
$\framebox{B}$: L'orthocentre d'un triangle est toujours intérieur à ce triangle.
$\framebox{C}$: Le centre de gravité d'un triangle est toujours intérieur à ce triangle.
$\framebox{D}$: Il existe un point du plan et un seul équidistant des trois droites portant les côtés d'un triangle.
$\framebox{E}$: Pour tout triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont alignés.

Question 8 On se place dans un plan affine euclidien.

$\framebox{A}$: Le composé de deux rotations est toujours une rotation ou une translation.
$\framebox{B}$: Étant donné deux droites sécantes, il existe toujours une rotation et une seule transformant la première en la seconde.
$\framebox{C}$: Étant donné deux points distincts, il existe toujours une réflexion et une seule échangeant ces deux points.
$\framebox{D}$: Le composé d'une réflexion et d'une translation est toujours une réflexion.
$\framebox{E}$: Le composé d'une réflexion et d'une rotation est toujours une réflexion.

Question 9 On se place dans un espace affine euclidien de dimension 3.

$\framebox{A}$: Si et sont deux rotations d'axes sécants, alors $f\circ g=g \circ f$ .
$\framebox{B}$: Si et sont deux rotations d'axes sécants, alors $f \circ g$ est une rotation.
$\framebox{C}$: Si et sont deux plans non parallèles, alors le composé des réflexions de plans et est une rotation.
$\framebox{D}$: Le composé de deux demi-tours est toujours une rotation.
$\framebox{E}$: Le composé d'une rotation et d'une symétrie centrale est une rotation ou un vissage.

Question 10 On se place dans le plan complexe.

$\framebox{A}$: L'application $z \mapsto 2z-\bar z$ est une similitude.
$\framebox{B}$: L'application $z\mapsto 2z-1$ est une homothétie de centre .
$\framebox{C}$: L'application $z\mapsto -\bar z$ est la réflexion d'axe .
$\framebox{D}$: L'application $z\mapsto -i z+2$ est une rotation d'angle droit.
$\framebox{E}$: L'application $z\mapsto -2 \bar z +2$ est une réflexion.