Fonctions hyperboliques

Définition 6   On appelle :

$\bullet$

sinus hyperbolique l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, définie par :

$$\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad \sinh(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}\;.$$

$\bullet$

cosinus hyperbolique l'application de $\mathbb{R}$ dans $[1,+\infty[$, définie par :

$$\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad \cosh(x)=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}\;.$$

$\bullet$

tangente hyperbolique l'application de $\mathbb{R}$ dans $]-\!1,1[$, définie par :

$$\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad \tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}\;.$$

Figure 7: Fonctions sinus, cosinus et tangente hyperboliques.

Bien évidemment les fonctions hyperboliques sont indéfiniment dérivables. Les expressions de leurs dérivées rappellent celles des fonctions circulaires.

$$\sinh'(x)=\cosh(x)\;,\quad \cosh'(x)=\sinh(x)\;,\quad \tanh'(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)}=1-\tanh^2(x)\;.$$

Il est facile de vérifier la formule suivante.

$$\forall x\in\mathbb{R}\;,\quad \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\;.$$

Si on pose $X=\cosh(x)$ et $Y=\sinh(x)$, l'équation $X^2-Y^2=1$ définit dans le plan une hyperbole équilatère (figure 8). Le cosinus et le sinus hyperboliques sont un paramétrage de cette hyperbole, tout comme le cosinus et le sinus ordinaires sont un paramétrage du cercle unité (d'équation $X^2+Y^2=1$) : d'où la dénomination de fonctions hyperboliques et fonctions circulaires.

Figure 8: Le cosinus et le sinus hyperboliques comme paramétrage de l'hyperbole d'équation $X^2-Y^2=1$.

L'analogie entre fonctions circulaires et fonctions hyperboliques ne s'arrête pas à leur interprétation géométrique. Toutes les formules de trigonométrie circulaire ont leur pendant en trigonométrie hyperbolique. La raison en est la relation entre les fonctions circulaires, les fonctions hyperboliques, et l'exponentielle complexe, via les formules d'Euler.

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \hline \mul... ...{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}} [2ex] \hline \end{array}$$