Fonctions hyperboliques réciproques

Comme les fonctions circulaires, les fonctions hyperboliques ont leurs réciproques, qui servent elles aussi aux calculs de primitives (figure 9).

Figure 9: Fonctions hyperboliques et leurs réciproques.

Définition 7   On appelle :

$\bullet$

argument sinus hyperbolique la bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, qui à $x$ associe le réel dont le sinus hyperbolique est égal à $x$.

$$\begin{array}{rcl} &\arg\!\sinh&\\ \mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ x&\longmapsto&\arg\!\sinh(x)\;. \end{array}$$

$\bullet$

argument cosinus hyperbolique la bijection de $[1,+\infty[$ dans $[0,+\infty[$, qui à $x$ associe le réel positif dont le cosinus hyperbolique est égal à $x$.

$$\begin{array}{rcl} &\arg\!\cosh&\\ {[1,+\infty[}&\longrightarrow&[0,+\infty[\\ x&\longmapsto&\arg\!\cosh(x)\;. \end{array}$$

$\bullet$

argument tangente hyperbolique la bijection de $]-\!1,+1[$ dans $\mathbb{R}$, qui à $x$ associe le réel dont la tangente hyperbolique est égale à $x$.

$$\begin{array}{rcl} &\arg\!\tanh&\\ {]-\!1,1[}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ x&\longmapsto&\arg\!\tanh(x)\;. \end{array}$$

Elles sont moins importantes que leurs analogues circulaires, car elles s'expriment de façon relativement simple à l'aide du logarithme.

Proposition 6    

$\bullet$

$\forall x\in \mathbb{R}\;,\qquad \quad \arg\!\sinh(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\;,$

$\bullet$

$\forall x\in ]1,+\infty[\;,\quad\! \arg\!\cosh(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})\;,$

$\bullet$

$\forall x\in ]-\!1,1[\;,\quad \arg\!\tanh(x)= \displaystyle{\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}\;.$

Démonstration : Résolvons l'équation $\sinh(x)=y$.

$$\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}=y \;\Longleftrightarrow\; \mathrm{e}^{2x}-2y\mathrm{e}^x-1=0\;.$$

L'équation $X^2-2yX-1=0$ a deux racines réelles, dont seule $y+\sqrt{y^2+1}$ est positive. Donc $x=\ln(y+\sqrt{y^2+1})$. Résolvons l'équation $\cosh(x)=y$.

$$\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}=y \;\Longleftrightarrow\; \mathrm{e}^{2x}-2y\mathrm{e}^x+1=0\;.$$

Pour $y\geqslant 1$, l'équation $X^2-2yX-1=0$ a deux racines réelles, dont seule $y+\sqrt{y^2-1}$ est supérieure à $1$. Donc $x=\ln(y+\sqrt{y^2-1})$. Résolvons l'équation $\tanh(x)=y$.

$$\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}=y$$

$$\Longrightarrow \frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}=y$$

$$\Longrightarrow \mathrm{e}^{2x}=\frac{1-y}{1+y}$$

$$\Longrightarrow x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-y}{1+y}\right) \;,$$

puisque $(1+y)/(1-y)$ est strictement positif pour $y\in ]-\!1,1[$.$\square$ Ici encore, le principal intérêt réside dans les dérivées.

Proposition 7   Les fonctions $\arg\!\sinh$, $\arg\!\cosh$ et $\arg\!\tanh$ sont dérivables sur leur domaine de définition.

$\bullet$

$\forall x\in \mathbb{R}\;,\qquad \quad \arg\!\sinh'(x)= \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}\;,$

$\bullet$

$\forall x\in ]1,+\infty[\;,\quad\! \arg\!\cosh'(x)= \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}\;,$

$\bullet$

$\forall x\in ]-\!1,1[\;,\quad \arg\!\tanh'(x)= \displaystyle{\frac{1}{1-x^2}}\;.$

Démonstration : On peut dériver directement l'expression en logarithme ou bien appliquer la formule donnant la dérivée d'une fonction réciproque.

$$\arg\!\sinh'(x)=\frac{1}{\sinh'(\arg\!\sinh(x))} =\frac{1}{\cosh(\arg\!\sinh(x))} =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\;.$$

$$\arg\!\cosh'(x)=\frac{1}{\cosh'(\arg\!\cosh(x))} =\frac{1}{\sinh(\arg\!\cosh(x))} =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\;.$$

$$\arg\!\tanh'(x)=\frac{1}{\tanh'(\arg\!\tanh(x))} =\frac{1}{1-\tanh^2(\arg\!\tanh(x))} =\frac{1}{1-x^2}\;.$$

$\square$ Définir une primitive de $1/(1-x^2)$ uniquement sur $]-\!1,1[$ est un tantinet réducteur, puisque la fonction :

$$x\longmapsto \frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{1+x}{1-x}\right\vert\;,$$

a pour dérivée $x\mapsto 1/(1-x^2)$ en tout point de $\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$.

De même, définir une primitive de $1/\sqrt{x^2-1}$ seulement sur $]1,+\infty[$ ne suffit pas, puisque la fonction

$$x\longmapsto \ln\left\vert x+\sqrt{x^2-1}\right\vert\;,$$

a pour dérivée $1/\sqrt{x^2-1}$ sur $]-\!\infty,-1[$ et sur $]1,+\infty[$. C'est une raison suffisante pour vous conseiller de ne pas trop surcharger votre mémoire vive avec les fonctions hyperboliques réciproques.