Fonctions circulaires réciproques

Les fonctions circulaires ne sont certes pas des bijections de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (figure 4). Il est cependant commode, principalement pour les calculs de primitives, de définir des réciproques partielles, en se restreignant à des intervalles sur lesquelles $\sin$, $\cos$ et $\tan$ sont bijectives. Le choix de ces intervalles est arbitraire, et fixé par l'usage (figure 6).

Définition 5   On appelle :

$\bullet$

arc sinus la bijection de $[-1,1]$ dans $[-\pi/2,\pi/2]$, qui à $x$ associe l'angle compris entre $-\pi/2$ et $\pi/2$ dont le sinus est égal à $x$.

$$\begin{array}{rcl} &\arcsin&\\ {[-1,1]}&\longrightarrow&[-\pi/2,\pi/2]\\ x&\longmapsto&\arcsin(x) \end{array}$$

$\bullet$

arc cosinus la bijection de $[-1,1]$ dans $[0,\pi]$, qui à $x$ associe l'angle compris entre 0 et $\pi$ dont le cosinus est égal à $x$.

$$\begin{array}{rcl} &\arccos&\\ {[-1,1]}&\longrightarrow&[0,\pi]\\ x&\longmapsto&\arccos(x) \end{array}$$

$\bullet$

arc tangente la bijection de $]-\!\infty,+\infty[$ dans $]-\!\pi/2,\pi/2[$, qui à $x$ associe l'angle compris entre $-\pi/2$ et $\pi/2$ dont la tangente est égale à $x$.

$$\begin{array}{rcl} &\arctan&\\ \mathbb{R}&\longrightarrow&]-\!\pi/2,\pi/2[\\ x&\longmapsto&\arctan(x) \end{array}$$

Figure 6: Fonctions circulaires et leurs réciproques.

Le principal intérêt des fonctions circulaires réciproques réside dans leurs dérivées.

Proposition 5   Les fonctions $\arcsin$, $\arccos$ et $\arctan$ sont dérivables sur leur domaine de définition.

$\bullet$

$\forall x\in ]-\!1,1[\;,\quad \arcsin'(x)= \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\;,$

$\bullet$

$\forall x\in ]-\!1,1[\;,\quad \arccos'(x)= \displaystyle{\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}}\;,$

$\bullet$

$\forall x\in \mathbb{R}\;,\qquad \quad \arctan'(x)= \displaystyle{\frac{1}{1+x^2}}\;.$

Démonstration : Il suffit d'appliquer la formule donnant la dérivée d'une fonction réciproque.

$$\arcsin'(x)=\frac{1}{\sin'(\arcsin(x))} =\frac{1}{\cos(\arcsin(x))} =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;.$$

La dérivée de l'arc cosinus s'obtient de la même façon, ou bien en remarquant que :

$$\forall x\in ]-\!1,1[\;,\quad \arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}\;.$$

Pour l'arc tangente :

$$\arctan'(x)=\frac{1}{\tan'(\arctan(x))} =\frac{1}{1+\tan^2(\arctan(x))} =\frac{1}{1+x^2}\;.$$

$\square$