Fonctions circulaires

Le cercle trigonométrique (figure 3) est le cercle centré à l'origine et de rayon 1, dans le plan muni d'un repère orthonormé. Les angles sont mesurés en radians, à partir de l'axe des abscisses orienté vers la droite, et en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens trigonométrique). La demi-droite partant de l'origine $O$ et d'angle $\theta$ coupe le cercle en un point $M$. Observons que la longueur de l'arc de cercle allant de $I$ à $M$ est égale à $\theta$.

Figure 3: Cercle trigonométrique, sinus, cosinus et tangente d'un angle.

Par définition :

$\bullet$

le cosinus de l'angle $\theta$ est l'abscisse du point $M$.

$\bullet$

le sinus de l'angle $\theta$ est l'ordonnée du point $M$.

$\bullet$

la tangente de l'angle $\theta$ est le rapport du sinus sur le cosinus.

Donc :

$$\overrightarrow{OM}=\cos(\theta) \overrightarrow{OI}+ \sin(\theta) \overrightarrow{OJ}\;.$$

Sur la figure 3, la tangente est l'ordonnée du point $T$. Le théorème de Pythagore se traduit par :

$$\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1\;.$$

Montrons tout de suite deux inégalités qui nous serviront plus tard à étudier la dérivée de ces fonctions.

Lemme 1   Soit $\theta$ un angle tel que $0\leqslant\theta\leqslant\pi/2$. Alors :

$$\sin(\theta)\leqslant \theta\leqslant \tan(\theta)\;.$$

Démonstration : voir la figure 3 pour les notations. L'aire du triangle $OIM$ vaut $\sin(\theta)/2$. L'aire du secteur angulaire $OIM$ vaut $\theta/2$ (elle est proportionnelle à $\theta$, et l'aire du cercle est $\pi$). L'aire du triangle $OIT$ vaut $\tan(\theta)/2$. D'où le résultat.$\square$ Deux angles qui différent d'un multiple de $2\pi$ correspondent au même point sur le cercle, et donc aux mêmes valeurs des fonctions trigonométriques. Le cosinus et le sinus sont donc périodiques de période $2\pi$ (figure 4). La fonction tangente est définie pour tout angle dont le cosinus est non nul, à savoir tout angle différent de $\pi/2$ modulo $\pi$. Elle est périodique de période $\pi$. Il est bon de connaître les relations suivantes, ou de savoir les retrouver rapidement en dessinant le cercle.

$$\begin{array}{\vert lcr\vert lcr\vert lcr\vert} \hline \sin(... ...sin(x)&\tan(\frac{\pi}{2}+x)&=&-1/\tan(x)\\ \hline \end{array}$$

Figure 4: Fonctions sinus, cosinus et tangente.

Nous ne vous conseillons pas d'apprendre par cur des nuées de formules trigonométriques ; vous devez bien sûr retenir $\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1$, et vous devez également connaître les formules d'addition qui suivent.

Proposition 3   Soient $a$ et $b$ deux réels.

$\bullet$

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$

$\bullet$

$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\;.$

Figure 5: Somme de deux angles.

Démonstration : reportez-vous à la figure 5 pour les notations. Notons $K$ le point d'intersection avec le cercle de la demi-droite d'angle $a$, $L$ le point d'intersection de la demi-droite d'angle $a+\pi/2$, $M$ le point d'intersection de la demi-droite d'angle $a+b$. Par définition :

$$\overrightarrow{OM}=\cos(b) \overrightarrow{OK}+ \sin(b) \overrightarrow{OL}\;.$$

Or :

$$\overrightarrow{OK}=\cos(a) \overrightarrow{OI}+ \sin(a) \overrightarrow{OJ}$$   et$$\quad \overrightarrow{OL}=-\sin(a) \overrightarrow{OI}+ \cos(a) \overrightarrow{OJ} \;.$$

En reportant ces expressions :

$$\overrightarrow{OM} = \cos(b)\Big( \cos(a) \overrightarrow{OI}+ \sin(a) \overrightarr... ...+ \sin(b)\Big(-\sin(a) \overrightarrow{OI}+ \cos(a) \overrightarrow{OJ} \Big)$$

$$= \Big(\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\Big) \overrightarrow{OI} + \Big(\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\Big) \overrightarrow{OJ}\;.$$

D'où le résultat.$\square$ Il ne nous reste plus qu'à démontrer la dérivabilité.

Proposition 4   Les fonctions sinus et cosinus sont indéfiniment dérivables sur $\mathbb{R}$.

$$\sin'(x)=\cos(x)$$   et$$\quad \cos'(x)=-\sin(x)\;.$$

La fonction tangente est indéfiniment dérivable sur tout intervalle où elle est définie.

$$\tan'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)\;.$$

Démonstration : Nous commençons par la dérivabilité en 0 du sinus, en utilisant les inégalités du lemme 1. La fonction sinus étant impaire, nous pouvons nous contenter de limites à droite en 0. De $0\leqslant\sin(h)\leqslant h$, on déduit que $\sin$ est continue en 0, et puisque $\cos^2(h)+\sin^2(h)=1$, il en est de même de $\cos$ :

$$\lim_{h\to 0}\sin(h)=0$$   et$$\quad \lim_{h\to 0}\cos(h)=1\;.$$

D'autre part, pour tout $h>0$ :

$$\sin(h)\leqslant h\leqslant \tan(h)$$

$$\Longrightarrow \frac{\sin(h)}{h}\leqslant 1\leqslant \frac{1}{\cos(h)} \frac{\sin(h)}{h}$$

$$\Longrightarrow \cos(h)\leqslant\frac{\sin(h)}{h}\leqslant 1\;.$$

Donc :

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}=1\;.$$

La fonction sinus est dérivable en 0 et $\sin'(0)=1$. Passons maintenant au cosinus, toujours en 0. Écrivons :

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{1}{\cos(h)+1... ...c{\cos^2(h)-1}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{-\sin(h)}{\cos(h)+1}\frac{\sin(h)}{h}\;.$$

Les résultats précédents permettent d'en déduire que :

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0$$

La fonction cosinus est dérivable en 0 et $\cos'(0)=0$. Il ne reste plus qu'à utiliser les formules de sommation pour calculer les dérivées en un point quelconque. Écrivons le taux d'accroissement de la fonction sinus en $a$, évalué en $a+h$ :

$$\tau_a(a+h) = \displaystyle{\frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}}$$

$$= \displaystyle{ \frac{1}{h}\big( \sin(a)\cos(h)+\cos(a)\sin(h)-\sin(a) \big)}$$

$$= \displaystyle{ \sin(a)\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(a)\frac{\sin(h)}{h}}\;.$$

On sait que :

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0$$   et$$\quad \lim_{h\to 0} \frac{\sin(h)}{h}=1\;.$$

Donc :

$$\lim_{h\to 0} \tau_a(a+h)=\cos(a)\;.$$

Écrivons maintenant le taux d'accroissement de la fonction cosinus en $a$, évalué en $a+h$ :

$$\tau_a(a+h) = \displaystyle{\frac{\cos(a+h)-\cos(a)}{h}}$$

$$= \displaystyle{ \frac{1}{h}\big( \cos(a)\cos(h)-\sin(a)\sin(h)-\cos(a) \big)}$$

$$= \displaystyle{ \cos(a)\frac{\cos(h)-1}{h}-\sin(a)\frac{\sin(h)}{h}}\;.$$

On en déduit :

$$\lim_{h\to 0} \tau_a(a+h)=-\sin(a)\;.$$

Les dérivées de sinus et cosinus sont elles mêmes dérivables, donc par récurrence ces deux fonctions sont indéfiniment dérivables. On calcule la dérivée de la fonction tangente comme un quotient :

$$\tan'(x)=\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' =\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} =\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)\;.$$

$\square$