Logarithme et exponentielle

Il se trouve que le facteur par lequel on multiplie la fonction puissance de base $a$ pour obtenir sa dérivée, cette constante que nous avons sournoisement notée $L_a$ dans le théorème 1, est le logarithme naturel, ou logarithme népérien de $a$.

Définition 2   Soit $a$ un réel strictement positif. On appelle logarithme naturel de $a$, et on note $\ln(a)$ la dérivée en 0 de la fonction $x\mapsto a^x$.

Théorème 2    

1. Pour tout $a,b>0$, on a :
   $$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\;.$$

2. Pour tout $a>0$ et $x\in\mathbb{R}$, on a :
   $$\ln(a^x) = x\ln(a)\;.$$

3. La fonction $\ln$ est strictement croissante, et :
   $$\lim_{x\rightarrow 0^+} \ln(x) = -\infty \;,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = +\infty\;.$$

Démonstration : Nous reprenons la notation de la section précédente pour les fonctions puissances : $f_a$ désigne la fonction $x\mapsto a^x$.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Considérons la fonction $f_{ab}$. On a :
   $$f_{ab}(x) = (ab)^x = a^x b^x = f_a(x)f_b(x)\;.$$
   On calcule la dérivée de $f_{ab}$ en 0, en dérivant le produit $f_af_b$ :
   $$\ln(ab) = f'_{ab}(0)=f'_a(0)f_b(0) + f_a(0)f'_b(0) =\ln(a)+\ln(b)\;.$$

2. Soit $a$ un réel strictement positif et soient $x,y$ deux réels quelconques.
   $$f_a(xy) = a^{xy} = (a^x)^y = f_{a^x}(y)\;.$$
   Fixons $x$, dérivons par rapport à $y$ et prenons la dérivée en 0. On obtient :
   $$xf'_a(0)=f'_{a^x}(0)\;,$$
   soit $x\ln(a)=\ln(a^x)$.
3. Fixons $a> 1$. D'après le point 2(b) du théorème 1, la fonction $f_a$ est strictement croissante. On en déduit d'une part que $\ln(a)$ est strictement positif, d'autre part que $f_a$ est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^{+*}$. La relation $\ln(a^x)=x\ln(a)$ montre que la fonction réciproque de $a^x$ est la fonction qui à $y\in\mathbb{R}^{+*}$ associe $\ln(y)/\ln(a)$. Cette fonction est donc strictement croissante et bijective de $\mathbb{R}^{+*}$ dans $\mathbb{R}$. Les limites en $0^+$ et $+\infty$ se déduisent aussi du point 2(b) du théorème 1.

$\square$ Il nous reste à définir la fonction exponentielle, qui est la réciproque du logarithme. D'après le point 3 du théorème 2, il existe un réel unique, strictement supérieur à 1, dont le logarithme vaut $1$. On le note $\mathrm{e}$.

Définition 3   On appelle exponentielle, et on note $\exp$, la fonction qui à $x\in\mathbb{R}$ associe $\mathrm{e}^x$, où $\mathrm{e}$ est l'unique réel tel que $\ln(\mathrm{e})=1$.

Ainsi, on pourra noter l'exponentielle de $x$ indifféremment $\mathrm{e}^x$ ou $\exp(x)$ (la seconde notation est préférable pour les grosses formules).

Théorème 3   L'exponentielle est la réciproque du logarithme. Les deux fonctions sont strictement croissantes et dérivables.

$$\forall x\in \mathbb{R} ,\; \exp'(x) = \exp(x)$$   et$$\quad \forall y\in\mathbb{R}^{+*} ,\; \ln'(y) = \frac{1}{y}\;.$$

Démonstration : Puisque $\ln(\mathrm{e})=1$, on a $\ln(\exp(x))=x$, par le point 2 du théorème 2. La dérivée de l'exponentielle est donnée par le point 4 du théorème 1. On dérive le logarithme comme une fonction réciproque :

$$\ln'(y) = \frac{1}{\exp'(\ln(y))} = \frac{1}{\exp(\ln(y))} = \frac{1}{y}\;.$$

$\square$ La figure 2 montre les graphes des fonctions $\exp$ et $\ln$. Comme elles sont réciproques l'une de l'autre, leurs graphes sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Figure: Fonctions $\exp$ et $\ln$.

Comme nous l'avons vu dans la démonstration du théorème 2, le couple de fonctions réciproques $(\exp,\ln)$ n'est qu'un cas particulier. Pour tout $a>0$, la fonction puissance de base $a$ admet pour réciproque la fonction $x\mapsto \ln(x)/\ln(a)$, que l'on appelle le logarithme en base $a$.

Définition 4   Soit $a$ un réel strictement positif. On appelle logarithme en base $a$ la fonction réciproque de la fonction puissance de base $a$. C'est la fonction de $\mathbb{R}^{+*}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $x>0$ associe :

$$\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}\;.$$

À part le logarithme en base $\mathrm{e}$, qui est le logarithme naturel, les deux bases les plus utilisées sont $a=10$ (logarithme décimal) et $a=2$ (logarithme binaire). Par définition, le logarithme en base $a$ de $x$ est le nombre $y$ tel que $a^y=x$. Ainsi :

$$\log_{10}(0.001)=-3\;,\quad \log_{10}(100)=2\;,\quad \log_2{1/16}=-4\;,\quad \log_2(1024)=10\;.$$

Il est facile de passer du logarithme en base $a$ au logarithme naturel, de même qu'il est facile de passer de l'exponentielle à une autre fonction puissance, par la formule :

$$a^x = \exp(x\ln(a))\;.$$

Nous terminons cette section par deux résultats d'approximation de l'exponentielle. Le premier se redémontre facilement, le second est absolument fondamental et doit être connu par cur.

Théorème 4   Pour tout réel $x$,

$$\mathrm{e}^x= \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty} 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\;.$$

Démonstration : Pour la première limite, écrivons :

$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = \exp(n\ln(1+x/n))=\exp\left(x\frac{\ln(1+x/n)}{x/n}\right)\;.$$

Or $\ln(1)=0$ et $\ln'(1)=1$. On en déduit :

$$\lim_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1$$    et donc, $$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+x/n)}{x/n}=1\;.$$

Comme la fonction $\exp$ est continue, ceci entraîne bien :

$$\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\exp\left(x\frac{\ln(1+x/n)}{x/n}\right) =\exp(x)\;.$$

Nous démontrons la seconde formule à partir de la première, en utilisant la formule du binôme de Newton.

$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{x^k}... ...\frac{1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k}{n})x^k}{k!}+\cdots +\frac{x^n}{n^n}\;.$$

Supposons d'abord $x\geqslant 0$. Fixons $k\in\mathbb{N}^*$ : pour tout $n\geqslant k$ :

$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\geqslant 1+\frac{x}{1!}+\frac{1(1-\frac{1}{n})x^2}{2!} +\cdots+\frac{1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k}{n})x^k}{k!}\;.$$

Or pour $k$ fixé :

$$\lim_{n\to\infty}1(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k}{n})=1\;.$$

En passant à la limite en $n$, on en déduit que pour tout $k$ :

$$\mathrm{e}^x\geqslant 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!} +\cdots+\frac{x^k}{k!}\;.$$

Dans cette inégalité, le membre de droite est le terme général d'une suite croissante et majorée (par $\mathrm{e}^x$), donc il converge, et :

$$\mathrm{e}^x\geqslant \lim_{k\to\infty}1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!} +\cdots+\frac{x^k}{k!}\;.$$

D'autre part, observons que pour tout $k=0,\ldots,n$,

$$1\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{n}\right)\leqslant 1\;.$$

Donc :

$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{x^k}... ...1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!} +\cdots+\frac{x^k}{k!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}\;.$$

Puisque nous savons que le membre de droite converge, on en déduit par passage à la limite :

$$\mathrm{e}^x\leqslant \lim_{n\to\infty}1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!} +\cdots+\frac{x^n}{n!}\;.$$

D'où le résultat, pour $x$ positif ou nul.

Pour $x$ négatif, l'astuce consiste à faire disparaître les termes impairs en prenant la demi-somme de $\mathrm{e}^x$ et $\mathrm{e}^{-x}$ (nous verrons plus loin que cette demi-somme est le cosinus hyperbolique de $x$).

$$\frac{1}{2}\left( \left(1+\frac{x}{n}\right)^n+\left(1-\frac{x}{n... ...)^n\right)= \sum_{k=0}^{\lfloor n\rfloor} \binom{n}{k}\frac{x^{2k}}{n^{2k}}\;.$$

Le même raisonnement que précédemment montre que :

$$\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}= \lim_{n\to\infty} 1+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{2n!}\;.$$

Par linéarité de la limite, on en déduit alors que :

$$\mathrm{e}^{-x}=\lim_{n\to\infty} 1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^n}{n!}\;.$$

$\square$ Les résultats d'approximation permettent de calculer les exponentielles avec une précision arbitraire. Voici le nombre $\mathrm{e}$ arrondi à la cinquantième décimale.

$$\mathrm{e}= 2. 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369996$$