Dérivées d'ordre supérieur

Soit $f :\;(x,y,z)\mapsto f(x,y,z)$ une application d'un domaine $D$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$, continûment différentiable sur $D$. Les trois dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ et $\frac{\partial f}{\partial z}$ sont encore des applications de $D$ dans $\mathbb{R}$. Si elles-mêmes sont continûment différentiables, on dit que $f$ est «deux fois continûment différentiable». Leurs dérivées partielles, au nombre de $9$, sont les dérivées partielles secondes de $f$. Nous admettrons que le résultat ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les dérivations ; c'est le théorème de Schwarz.

Théorème 4   Soit $f$ une application deux fois continûment différentiable sur un domaine ouvert de $\mathbb{R}^n$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. Pour tout $i,j=1,\ldots, n$, on a :

$$\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x... ...\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)\;.$$

La notation pour la dérivée partielle seconde par rapport à $x_i$ et $x_j$ est $${\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}}$$. Leur matrice est la matrice hessienne de $f$, qui est symétrique d'après le théorème de Schwarz. Ainsi, pour une application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$, la matrice hessienne a $3$ lignes et $3$ colonnes.

$$H(f)= \left( \begin{array}{ccc} \displaystyle{\frac{\partial... ...laystyle{\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}} \end{array}\right)$$

Reprenons l'exemple de la surface d'un parallélépipède en fonction de ses trois dimensions.

$$\begin{array}{rcl} \mathbb{R}^3&\longrightarrow &\mathbb{R}\... ... \begin{array}{ccc} 2(y+z)&2(x+z)&2(x+y) \end{array}\right)\;.$$

La matrice hessienne s'obtient en dérivant chacune des dérivées partielles d'ordre $1$, par rapport aux trois variables.

$$H=\left( \begin{array}{ccc} 0&2&2 [2ex] 2&0&2 [2ex] 2&2&0 \end{array}\right)\;.$$

Si les dérivées partielles secondes sont elles-mêmes différentiables, on peut définir les dérivées partielles troisièmes, et en itérant le procédé, des dérivées partielles de tous ordres. Les équations aux dérivées partielles, qui sont aux fonctions à plusieurs variables ce que les équations différentielles sont aux fonctions d'une variable, sont omniprésentes en physique. Elles relient en général entre elles les dérivées partielles d'ordre $1$ et $2$, et font intervenir des combinaisons de dérivées partielles comme le gradient, la divergence, le rotationnel, ou le laplacien.

Définition 7    

1. Soit $f :\;(x,y,z)\mapsto f(x,y,z)$ une application deux fois continûment différentiable de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$. On appelle :
   1. Gradient de $f$ le vecteur, noté $\nabla f$ :
      $$\nabla f =\left( \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial... ...tial y}\\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{array}\right)\;.$$

   2. Laplacien de $f$ le réel, noté $\Delta f$ :
      $$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \;.$$

2. Soit $F :\;(x,y,z)\mapsto (f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z))$ une application deux fois continûment différentiable de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$. On appelle :
   1. Rotationnel de $F$ le vecteur, noté $\mathrm{rot}(F)$ :
      $$\mathrm{rot}(F) =\left( \begin{array}{l} \frac{\partial h}{\... ...partial x}-\frac{\partial f}{\partial y} \end{array}\right) \;.$$

   2. Divergence de $F$ le réel, noté $\mathrm{div}(F)$ :
      $$\mathrm{div}(F) = \frac{\partial f}{\partial x} +\frac{\partial g}{\partial y} +\frac{\partial h}{\partial z} \;.$$

Le lecteur vérifiera les relations classiques suivantes, à partir des définitions précédentes et du théorème de Schwarz 4.

   div $(\nabla f)$$$= \Delta f \quad,$$   div$($rot$(F))$$$= 0 \quad,$$   rot $(\nabla f)$$$= 0\;.$$

À titre d'exemple, voici la plus célèbre des équations aux dérivées partielles, l'équation de la chaleur. Considérons un corps homogène dans l'espace, et notons $f(t,x,y,z)$ la température au temps $t$ du point de coordonnées $(x,y,z)$. Des considérations physiques amènent à montrer que l'application $f$ doit être solution de l'équation aux dérivées partielles suivante :

$$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\lambda}{\rho C_p}\left(\f... ...{\partial z^2}\right) = \frac{\lambda}{\rho C_p}\left(\Delta_{xyz}f\right)\;,$$

où $\lambda$ est la conductivité thermique, $\rho$ la masse volumique et $C_p$ la chaleur spécifique. L'application suivante porte le nom de «noyau de la chaleur»  car elle est solution de l'équation de la chaleur, ce que nous allons vérifier.

$$f(t,x,y,z) = \frac{1}{t\sqrt{t}}\exp\left(-\frac{c}{t}(x^2+y^2+z^2)\right)\;,$$

où $c$ est une constante.

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial ... ...\right) \exp\left(-\frac{c}{t}(x^2+y^2+z^2)\right)} \end{array}$$

Les dérivées partielles par rapport à $y$ et $z$ s'obtiennent en permutant les $3$ variables, qui jouent des rôles symétriques. On obtient :

$$\Delta_{xyz}f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial... ... y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 4c \frac{\partial f}{\partial t}\;.$$

Pour $c=\frac{\rho C_p}{4\lambda}$, $f$ est donc une solution particulière de l'équation de la chaleur.