Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu. Questions de cours : On considère une application $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, continûment différentiable. On note $(a,b)$ un point de $\mathbb{R}^2$, $(u,v)$ un vecteur non nul à deux dimensions, et $A$ la droite passant par $(a,b)$ de vecteur directeur $(u,v)$, donc d'équation $(x-a)u=(y-b)v$. On note $g$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $t$ associe $f(a+tu,b+tv)$.

1. Énoncer la définition de la dérivée directionnelle de $f$ au point $(a,b)$ dans la direction $(u,v)$, et reliez cette définition à la dérivée de $g$ et au gradient de $f$.
2. En appliquant le théorème des multiplicateurs de Lagrange, montrer qu'une condition nécessaire pour que la restriction de $f$ à la droite $A$ admette un extremum local en $(a,b)$, est que la dérivée directionnelle de $f$ au point $(a,b)$ dans la direction $(u,v)$ s'annule.
3. Exprimer la dérivée seconde de $g$ en 0, en fonction du vecteur $(u,v)$ et de la matrice hessienne de $f$ au point $(a,b)$.
4. On fait désormais l'hypothèse que pour tout $(u,v)$, la restriction de $f$ à $A$ admet un minimum. Montrer que le gradient de $f$ est nul.
5. Montrer que le déterminant et la trace de la matrice hessienne sont positifs ou nuls.

Exercice 1 : On considère l'application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y)$ associe $x^3+y^3+3xy$.

1. Calculer le gradient de $f$ et sa matrice hessienne.
2. Utiliser le gradient de $f$ pour calculer la dérivée de l'application $x\mapsto f(x,\mathrm{e}^x)$.
3. Donner l'équation du plan tangent à la surface d'équation $z=f(x,y)$ au point $(1,1,5)$.
4. Déterminer les points critiques de $f$.
5. Utiliser la matrice hessienne de $f$ pour déterminer la nature de ces points critiques.
6. En considérant l'application $x\mapsto f(x,x)$, montrer que $f$ n'a pas de maximum global, ni de minimum global sur $\mathbb{R}^2$.

Exercice 2 : Soit $\Phi$ l'application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ qui à $(x,y)$ associe :

$$\Phi(x,y)=(u,v) :\; \left\{ \begin{array}{lcl} u&=&\displaystyle{x+y} [2ex] v&=&\displaystyle{x-y}\;. \end{array}\right.$$

1. Calculer l'expression de l'application réciproque $\Phi^{-1}$, et vérifier que $\Phi$ est une bijection de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$.
2. Calculer la matrice jacobienne de $\Phi$ au point $(x,y)$ et la matrice jacobienne de $\Phi^{-1}$ au point $(u,v)$. Vérifier qu'elles sont inverses l'une de l'autre.
3. Calculer le déterminant jacobien de $\Phi$ au point $(x,y)$ et le déterminant jacobien de $\Phi^{-1}$ au point $(u,v)$.
4. On considère l'application $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y)$ associe $\mathrm{e}^{x^2-y^2}$. Soit $g$ l'application composée qui à $(u,v)$ associe $g(u,v)=f(\Phi^{-1}(u,v))$. Calculer les dérivées partielles de $g$ par rapport à $u$ et $v$ et retrouver le résultat à partir des dérivées partielles de $f$ et de la matrice jacobienne de $\Phi^{-1}$.
5. On note $D$ le domaine du plan défini comme suit.
   $$D=\{ (x,y) ,\;x>0 ,\;x-1<y<1-x \}\;.$$
   Déterminer le domaine $\Delta$, image de $D$ par $\Phi$.
6. Utiliser le changement de variable $\Phi$ pour calculer l'intégrale de l'application $f$ sur le domaine $D$.

Exercice 3 : On considère le domaine $D$ du plan, défini par $D=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 ,\; 0<x ,\;0<y<x ,\;x^2+y^2<1 \}$, et l'application $f$ définie sur $D$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, qui à $(x,y)$ associe $xy$. Calculer $\int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ :

1. en intégrant d'abord par rapport à $x$ puis par rapport à $y$,
2. en intégrant d'abord par rapport à $y$ puis par rapport à $x$,
3. en utilisant le changement de variables en coordonnées polaires.