QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   On considère l'application $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y)$ associe $1/(xy)$.

L'application $f$ est définie sur $\mathbb{R}^2$.

L'application $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}$.

L'application $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{+*}\times\mathbb{R}^{+*}$.

L'application $f$ est continûment différentiable sur $\mathbb{R}^*\times \mathbb{R}$.

L'application $f$ est continûment différentiable sur $\mathbb{R}^{*}\times\mathbb{R}^{*}$.

Question 2   On considère l'application $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y,z)$ associe $x+y+z$.

La divergence de $f$ est nulle.

Le gradient de $f$ est constant.

Le laplacien de $f$ est nul.

Le rotationnel de $f$ est constant.

L'application $f$ admet un extremum local.

Question 3   On considère l'application $\Phi$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ qui à $(x,y,z)$ associe $(x+y+z,xyz)$.

L'application $\Phi$ est deux fois continûment différentiable sur $\mathbb{R}^3$.

La divergence de $\Phi$ est nulle.

La matrice jacobienne de $\Phi$ a deux lignes et trois colonnes.

La première colonne de la matrice jacobienne de $\Phi$ est constante.

L'application $\Phi$ est un difféomorphisme de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$.

Question 4   On considère l'application $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y)$ associe $x^2+y^2$.

Le gradient de $f$ s'annule au point $(1,-\!1)$.

La matrice hessienne de $f$ au point $(1,-\!1)$ a deux valeurs propres positives.

L'application $f$ admet un minimum local au point $(1,-\!1)$.

L'application $f$ admet un minimum global au point $(0,0)$.

Le point $(0,0)$ est un point selle pour l'application $f$.

Question 5   On considère l'application $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y)$ associe $xy$, ainsi que l'ensemble $A=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\; 2x+y=4 \}$.

L'application $f$ admet un maximum global en $(1,2)$.

Le gradient de $f$ au point $(1,2)$ est $(2,1)$.

La restriction de $f$ à $A$ admet un minimum local en $(1,2)$.

Le point $(1,2)$ est un maximum global pour la restriction de $f$ à $A$.

La restriction de $f$ à $A$ admet un maximum local au point $(2,4)$.

Question 6   On considère l'application $\Phi$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ qui à $(x,y)$ associe $(x+y , xy)$.

La matrice jacobienne de $\Phi$ au point $(1,1)$ est une matrice carrée

La matrice jacobienne de $\Phi$ au point $(1,1)$ est inversible.

La matrice jacobienne de $\Phi$ au point $(0,0)$ a une ligne nulle

L'application $\Phi$ est un difféomorphisme de $\mathbb{R}^{+*}\times\mathbb{R}^{+*}$ sur son image.

L'application réciproque de $\Phi$ est définie sur $\mathbb{R}^2$.

Question 7   On considère l'application $\Phi$ qui à $(x,y)$ associe $(x+y,x-y)$.

L'application $\Phi$ est une bijection du disque unité de $\mathbb{R}^2$ sur lui-même.

L'image par $\Phi$ d'un disque centré en 0 est un disque centré en 0.

L'image par $\Phi$ du carré $[0,1]^2$ a pour aire $1/2$.

L'application $\Phi$ est un difféomorphisme de la droite d'équation $x=y$ sur l'axe des abscisses.

L'image par $\Phi$ d'un domaine $D$ du plan a pour aire le double de l'aire de $D$.

Question 8   On considère le domaine $D$ du plan défini par $D=\{ (x,y) ,\;x>0 ,\;y>0 ,\; x+y<1 \}$, et la fonction $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y)$ associe $xy$.

$${ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\left(\int_0^1 x \mathrm{d}x\right) \left(\int_0^1 y \mathrm{d}y\right)\;. }$$

$${ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \left(\int_0^1 x \mathrm{d}x\right) \left(\int_0^{1-x} y \mathrm{d}y\right)\;. }$$

$${ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^1 x \left( \int_0^{1-x} y \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}x\;. }$$

$${ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^1 y \left( \int_{1-y}^{1} x \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}y\;. }$$

$${ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^1 y \left( \int_{0}^{1-y} x \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}y\;. }$$

Question 9   La pyramide de base $[-1,1]^2$ et de sommet $(0,0,1)$ a pour volume :

$${ \int_0^1 \left( \int_{-1}^1 \left( \int_{-1}^1 \mathrm{d}x)\right) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}z\;. }$$

$${ \int_0^1 4(1-z)^2 \mathrm{d}z\;. }$$

$${ \int_0^1 \left( \int_{0}^{1-z} \left( \int_{0}^{1-z} \mathrm{d}x)\right) \mathrm{d}y\right) \mathrm{d}z\;. }$$

$${ \frac{4}{3}\;. }$$

$${ \frac{8}{3}\;. }$$

Question 10   On considère le domaine $D$ du plan défini par $D=\{ (x,y) ,\;x>0 ,\;y>0 ,\; x^2+y^2<1 \}$, et la fonction $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y)$ associe $xy$.

$${ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{\pi/2} \sin \th... ...cos \theta \left( \int_{0}^{1} r^3 \mathrm{d}r\right) \mathrm{d}\theta\;. }$$

$${ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{1} \left( \int_... ...{\pi/2} r^3\cos\theta \sin \theta \mathrm{d}r\right) \mathrm{d}\theta\;. }$$

$${ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{\pi/2} \sin \th... ...cos \theta \left( \int_{0}^{1} r^2 \mathrm{d}r\right) \mathrm{d}\theta\;. }$$

$${ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \Big[-\frac{\cos 2\theta }{4}\Big]_0^{\pi}\times \Big[ \frac{r^4}{4}\Big]_{-1}^1\;. }$$

$${ \int_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \Big[-\frac{\cos 2\theta }{4}\Big]_0^{\pi/2}\times \Big[ \frac{r^4}{4}\Big]_0^1\;. }$$