Exercices

Exercice 1   Pour chacune des applications $f$ suivantes.

$$f :\;\left\{ \begin{array}{lcl} \mathbb{R}^2&\longrightarro... ...athbb{R}\\ (x,y)&\longmapsto&x^2+y^2-xy\;; \end{array}\right.$$

$$f :\;\left\{ \begin{array}{lcl} \mathbb{R}^2&\longrightarro... ...athbb{R}\\ (x,y)&\longmapsto&x^2-y^2-xy\;; \end{array}\right.$$

$$f :\;\left\{ \begin{array}{lcl} \mathbb{R}^2&\longrightarro... ...b{R}\\ (x,y)&\longmapsto&x^3+y^3-x^2y^2\;; \end{array}\right.$$

$$f :\;\left\{ \begin{array}{lcl} \mathbb{R}^2&\longrightarro... ...}\\ (x,y)&\longmapsto&4x^2+4y^2-(x+y)^4\;; \end{array}\right.$$

1. Calculer le gradient de $f$.
2. Donner l'équation du plan tangent à la surface d'équation $z=f(x,y)$, aux points $(1,1)$, $(1,2)$, $(2,1)$.
3. Déterminer les points critiques de $f$.
4. Calculer la matrice hessienne de $f$.
5. Soit $g$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $x$ associe $\mathrm{e}^{-x}$. Calculer directement, puis en utilisant les dérivées partielles de $f$, la dérivée de l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $x$ associe $f(x,g(x))$.
6. Pour chacun des points critiques de $f$, donner les conclusions tirées de l'examen de la matrice hessienne.
7. Pour chacun des points critiques de $f$, dire s'il s'agit ou non d'un extremum global de $f$.

Exercice 2   Pour chacune des applications $f$ suivantes.

$$f :\;\left\{ \begin{array}{lcl} \mathbb{R}^3&\longrightarro... ...{R}\\ (x,y,z)&\longmapsto&x^2+2y^2+3z^2\;; \end{array}\right.$$

$$f :\;\left\{ \begin{array}{lcl} \mathbb{R}^3&\longrightarro... ...{R}\\ (x,y,z)&\longmapsto&x^2+2y^2-3z^2\;; \end{array}\right.$$

$$f :\;\left\{ \begin{array}{lcl} \mathbb{R}^3&\longrightarro... ...,y,z)&\longmapsto&x^4+y^2+z^2-4x-2y-2z+4\;; \end{array}\right.$$

$$f :\;\left\{ \begin{array}{lcl} \mathbb{R}^3&\longrightarro... ...ngmapsto&x^4-2x^2y+2y^2+2z^2+2yz-2y-2z+2\;; \end{array}\right.$$

$$f :\;\left\{ \begin{array}{lcl} \mathbb{R}^3&\longrightarro... ...z)&\longmapsto&3(x^2+y^2+z^2)-2(x+y+z)^4\;; \end{array}\right.$$

$$f :\;\left\{ \begin{array}{lcl} \mathbb{R}^3&\longrightarro... ...z)&\longmapsto&3(x^2+y^2+z^2)-2(x+y+z)^3\;. \end{array}\right.$$

1. Calculer le gradient de $f$.
2. Déterminer l'ensemble des points critiques de $f$.
3. Calculer la matrice hessienne de $f$.
4. Calculer le laplacien de $f$.
5. Vérifier que $\mathrm{rot}(\nabla f)=0$.
6. Pour chacun des points critiques de $f$, donner les conclusions tirées de l'examen de la matrice hessienne.
7. Pour chacun des points critiques de $f$, dire s'il s'agit ou non d'un extremum global de $f$.

Exercice 3   Donner une valeur approchée des quantités suivantes, pour $x=3.04$ et $y=2.05$.

1. $xy$
2. $x^2y^3$
3. $${ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} }$$
4. $${ \frac{x+y}{x-y} }$$
5. $${ \frac{\ln(x+y)}{xy} }$$

Exercice 4   Soit $f$ l'application de $D=\mathbb{R}^{+*}\times \mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y)$ associe $y^3\ln(x)$. Vérifier que partout sur $D$ :

1. 
   

   $$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial}{\partial y}\lef... ...{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial}{\partial x}\lef... ...{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right)$$

   $$= \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial}{\partial y}\lef... ...{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right)$$

   $$= \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial}{\partial y}\lef... ...{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$$

   
   
2. 
   

   $$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial}{\partial x}\lef... ...{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial}{\partial y}\lef... ...{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right)$$

   $$= \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial}{\partial x}\lef... ...{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$$

   $$= \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial}{\partial y}\lef... ...{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$$

   
   
3. 
   

   $$\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial}{\partial x}\lef... ...{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial}{\partial x}\lef... ...{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$$

   $$= \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial}{\partial y}\lef... ...{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$$

   $$= \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial}{\partial x}\lef... ...{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\right)$$

   
   

Exercice 5   Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ qui à $(x,y,z)$ associe $(x+y^2,xy^2z)$. Soit $g$ l'application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^3$ qui à $(u,v)$ associe $(u^2+v,uv,\mathrm{e}^v)$.

1. Écrire la matrice jacobienne de $f$ au point $(x,y,z)$.
2. Écrire la matrice jacobienne de $g$ au point $(u,v)$.
3. Écrire la matrice jacobienne de $f\circ g$ au point $(u,v)$.
4. Écrire la matrice jacobienne de $g\circ f$ au point $(x,y,z)$.

Exercice 6   On note ${\cal C}$ le cercle unité de $\mathbb{R}^2$ :

$${\cal C} = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;x^2+y^2=1 \}\;.$$

On considère les fonctions de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ définies comme suit.

$$f(x,y)= x+y \;;\quad f(x,y)= x+y-xy\;;$$

$$f(x,y)= x^2+y^2-xy \;;\quad f(x,y)= x^2+y^2-x^2y^2 \;.$$

Pour chacune de ces fonctions :

1. Utiliser le théorème des multiplicateurs de Lagrange pour déterminer quels points de ${\cal C}$ sont des extrema possibles pour la restriction de $f$ à ${\cal C}$.
2. Pour chacun de ces points, dire s'il s'agit ou non d'un extremum pour la restriction de $f$ à ${\cal C}$.

Exercice 7   Étant donné le domaine $D$ du plan, et la fonction $f$, calculer l'intégrale double de $f$ sur $D$, dans les cas suivants.

1. $D=\{ (x,y) ,\;0<x<y ,\;0<y<1 \} \;,\quad f(x,y)=x^2+y\;.$
2. $D=\{ (x,y) ,\;0<x<1 ,\;0<y<1 \} \;,\quad f(x,y)=x\sin(xy)\;.$
3. $D=\{ (x,y) ,\;0<x<1 ,\;0<y<x \} \;,\quad f(x,y)=x^2\sin(xy)\;.$
4. $D=\{ (x,y) ,\;0<x<1 ,\;0<y<1-x \} \;,\quad f(x,y)=x(1-2x)\sin(xy)\;.$
5. $D=\{ (x,y) ,\;1<x<3 ,\;1<y<4-x \} \;,\quad f(x,y)=(x+y)^{-4}\;.$
6. $D=\{ (x,y) ,\;-1<x<1 ,\;0<y<2 \} \;,\quad f(x,y)=\sqrt{\vert y-x^2\vert}\;.$

Exercice 8   Étant donné le domaine $D$ de l'espace, et la fonction $f$, calculer l'intégrale triple de $f$ sur $D$, dans les cas suivants.

1. $D=\{ (x,y,z) ,\;0<x<1 ,\;0<y<z<1 \} \;,\quad f(x,y,z)=xyz \;\;.$
2. $D=\{ (x,y,z) ,\;0<x<y<z<1 \} \;,\quad f(x,y,z)=x+y+z\;.$
3. $D=\{ (x,y,z) ,\;0<x<1 ,\;0<y<x ,\;0<z<xy \} \;,\quad f(x,y,z)=x^3y^2z \;\;.$
4. $D=\{ (x,y,z) ,\;0<x ,\;0<y ,\;0<z ,\;x+y+z<1 \} \;,\quad f(x,y,z)=z\;.$

Exercice 9   On note $D$ le domaine du plan défini comme suit.

$$D=\{ (x,y) ,\;-1-x<y<1-x ,\;x-1<y<x+1 \}\;.$$

Soit $\Phi$ l'application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par :

$$\Phi(x,y)=(u,v) :\; \left\{ \begin{array}{lcl} u&=&\displaystyle{x+y} [2ex] v&=&\displaystyle{x-y}\;. \end{array}\right.$$

1. Calculer l'expression de $\Phi^{-1}$.
2. Déterminer le domaine $\Delta$, image de $D$ par $\Phi$.
3. Représenter graphiquement les domaines $D$ et $\Delta$.
4. Vérifier que $\Phi$ est une bijection de $D$ sur $\Delta$.
5. Calculer la matrice jacobienne de $\Phi$ au point $(x,y)$ et la matrice jacobienne de $\Phi^{-1}$ au point $(u,v)$. Vérifier qu'elles sont inverses l'une de l'autre.
6. Calculer le déterminant jacobien de $\Phi$ au point $(x,y)$ et le déterminant jacobien de $\Phi^{-1}$ au point $(u,v)$.
7. Utiliser le changement de variable $\Phi$ pour calculer les intégrales suivantes.
   $$\int_D x^2-y^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y \;;\quad \int_D (x^2-y^2)^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;;$$
   $$\int_D \frac{1}{\sqrt{\vert x^2-y^2\vert}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \;;\quad \int_D \cos(x)\cos(y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;.$$

Exercice 10   On note $D$ le domaine du plan défini comme suit.

$$D=\{ (x,y) ,\;x>0 ,\;y>0 ,x^2+y^2<1 \}\;.$$

Soit $\Phi$ l'application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par :

$$\Phi(x,y)=(u,v) :\; \left\{ \begin{array}{lcl} u&=&\display... ...y^2}} [2ex] v&=&\displaystyle{x^2+y^2}\;. \end{array}\right.$$

1. Calculer l'expression de $\Phi^{-1}$.
2. Déterminer le domaine $\Delta$, image de $D$ par $\Phi$.
3. Représenter graphiquement les domaines $D$ et $\Delta$.
4. Vérifier que $\Phi$ est une bijection de $D$ sur $\Delta$.
5. Calculer la matrice jacobienne de $\Phi$ au point $(x,y)$ et la matrice jacobienne de $\Phi^{-1}$ au point $(u,v)$. Vérifier qu'elles sont inverses l'une de l'autre.
6. Calculer le déterminant jacobien de $\Phi$ au point $(x,y)$ et le déterminant jacobien de $\Phi^{-1}$ au point $(u,v)$.
7. Utiliser le changement de variable $\Phi$ pour calculer les intégrales suivantes.
   $$\int_D x \mathrm{d}x\mathrm{d}y \;;\quad \int_D xy \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;;$$
   $$\int_D x^2y \mathrm{d}x\mathrm{d}y \;;\quad \int_D x^2y^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;.$$

Exercice 11   On note $D$ le domaine du plan défini comme suit.

$$D=\left\{ (x,y) ,\;0<x<\frac{1}{1+2y} ,\;0<y<\frac{1}{1+2x} \right\}\;.$$

Soit $\Phi$ l'application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ définie par :

$$\Phi(x,y)=(u,v) :\; \left\{ \begin{array}{lcl} u&=&\display... ...] v&=&\displaystyle{\frac{y(1+x)}{1-xy}}\;. \end{array}\right.$$

1. Calculer l'expression de $\Phi^{-1}$.
2. Déterminer le domaine $\Delta$, image de $D$ par $\Phi$.
3. Représenter graphiquement les domaines $D$ et $\Delta$.
4. Vérifier que $\Phi$ est une bijection de $D$ sur $\Delta$.
5. Calculer la matrice jacobienne de $\Phi$ au point $(x,y)$ et la matrice jacobienne de $\Phi^{-1}$ au point $(u,v)$. Vérifier qu'elles sont inverses l'une de l'autre.
6. Calculer le déterminant jacobien de $\Phi$ au point $(x,y)$ et le déterminant jacobien de $\Phi^{-1}$ au point $(u,v)$.
7. Utiliser le changement de variable $\Phi$ pour calculer les intégrales suivantes.
   $$\int_D \frac{(1+x)(1+y)}{(1-xy)^3} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \;;\quad \int_D \frac{1-xy}{(1+x)(1+y)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;;$$
   $$\int_D \frac{1}{1-xy} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \;;\quad \int_D \frac{1}{(1-xy)^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;.$$

Exercice 12   Soit $D$ le disque ouvert de centre $(0,0)$ et de rayon $1$ :

$$D = \{ (x,y) ,\;x^2+y^2<1 \}\;.$$

En utilisant le changement de variables en coordonnées polaires, calculer les intégrales suivantes.

1. $${ \int_{D}\frac{1}{1+x^2+y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;. }$$
2. $${ \int_{D} (x^2+y^2)^{-1/4} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \;. }$$
3. $${ \int_{D} x^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;. }$$
4. $${ \int_{D} x^2(x^2+y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \;. }$$

Exercice 13   Soit $a$ un réel strictement compris entre 0 et $1$. On considère les domaines $D$ du plan définis par :

$$D = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;x^2+y^2<1 ,\;x>a \}\;;$$

$$D = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;x^2<y<a \}\;;$$

$$D = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;1/x<y<-x+1/a \}\;;$$

$$D = \{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 ,\;0<y<x^2+a \}\;.$$

Pour chacun de ces domaines, calculer en fonction de $a$ :

1. l'aire de $D$,
2. les coordonnées du centre de gravité de $D$.

Exercice 14   Soit $a$ un réel strictement compris entre 0 et $1$. On considère les domaines $D$ de l'espace définis par :

$$D = \{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x^2+y^2+z^2<1 ,\;z>a \}\;;$$

$$D = \{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;\sqrt{x^2+y^2}<1-z ,\;0<z<a \}\;;$$

$$D = \{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x^2+y^2<z<a \}\;;$$

$$D = \{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 ,\;x^2+y^2+z^2<1 ,\;x^2+y^2<a ,\;z>0 \}\;.$$

Pour chacun de ces domaines, calculer en fonction de $a$ :

1. l'aire de $D$,
2. les coordonnées du centre de gravité de $D$.