Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous trois heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours :  

  1. Montrer que toute fonction holomorphe dans un ouvert $ U$ de $ \mathbb{C}$ est analytique dans cet ouvert.
  2. Soit $ f$ une fonction holomorphe dans un ouvert $ U$ de $ \mathbb{C}$ et $ a$ un point de $ U$. Que peut-on dire du rayon de convergence de la série de Taylor de $ f$ en $ a$ ?
  3. Énoncer et démontrer les inégalités de Cauchy.
  4. Quel est l'intérêt des inégalités de Cauchy ?
  5. Énoncer et démontrer le théorème de Liouville et en déduire que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans $ \mathbb{C}$.

Exercice 1 : Soit $ a$ un réel strictement positif. On note $ I(a)$ l'intégrale convergente suivante.

$\displaystyle I(a)=
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\pi a x^2} \mathrm{d}x \;.
$

  1. En appliquant le théorème de Cauchy sur le rectangle $ R_r$ de sommets $ \pm r$, $ \pm r+\mathrm{i}y$, montrer que pour tout réel $ y$,

    $\displaystyle \lim_{r\to+\infty} \int_{-r}^{+r} \mathrm{e}^{-\pi a(x+\mathrm{i}y)^2} \mathrm{d}x
= I(a) \;.
$

  2. Montrer que

    $\displaystyle \mathrm{e}^{-\pi a y^2}\left\vert I(a)-\int_{-r}^{+r} \mathrm{e}^...
...ight\vert
\leqslant I(a)-\int_{-r}^{+r} \mathrm{e}^{-\pi ax^2} \mathrm{d}x\;.
$

    En déduire que le membre de gauche de cette inégalité tend vers 0 quand $ r$ tend vers $ +\infty$, uniformément en $ y$ sur $ \mathbb{R}$.
  3. Pour tous $ \alpha,\beta\in\mathbb{C}$, on note $ [\alpha,\beta]=\{z=t\alpha+(1-t)\beta ,\;t\in[0,1]\}$ le segment de droite d'extrémités $ \alpha$ et $ \beta$. On pose

    $\displaystyle f(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\pi az^2}}{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi z}-1}\;.
$

    À l'aide d'un développement en série de $ \frac{1}{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi z}-1}$, montrer que

    $\displaystyle \lim_{r\to+\infty} \int_{[-r+\mathrm{i},r+\mathrm{i}]} f(z) \mathrm{d}z
=
-I(a)\sum_{n=0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{\pi n^2}{a}} \;.
$

  4. À l'aide d'un développement en série de $ \frac{\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\pi z}}{1-\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\pi z}}$, montrer que

    $\displaystyle \lim_{r\to+\infty} \int_{[-r-\mathrm{i},r-\mathrm{i}]} f(z) \mathrm{d}z
=
I(a)\sum_{n=1}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{\pi n^2}{a}} \;.
$

  5. Pour tout $ n\in\mathbb{Z}$, calculer le résidu de $ f$ en $ n$.
  6. En appliquant le théorème des résidus à $ f$ sur le rectangle de sommets $ \pm(N+\frac{1}{2})\pm\mathrm{i}$, montrer que

    $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\pi a n^2}
=
I(a)\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{\pi n^2}{a}} \;.
$

  7. Montrer que $ I(1)=1$. En déduire que pour tout $ a\in \mathbb{R}^{+*}$, $ I(a) = \frac{1}{\sqrt{a}}$.
  8. Montrer que si la partie réelle de $ z$ est strictement positive,

    $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\pi z n^2}
=
\frac{1}{\sqrt{z}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{\pi n^2}{z}} \;,
$

    $ \sqrt{z}$ désigne la racine carrée de $ z$, dont la partie réelle est positive sur le demi-plan $ \{z\in\mathbb{C} ,\;\mathrm{Re} z>0\}$.

Exercice 2 : On note $ D$ le demi plan ouvert $ D=\{z\in\mathbb{Z} ,\;\mathrm{Re} z>0\}$. On définit la «fonction Gamma» sur $ D$ par :

$\displaystyle \forall z\in D\;,\quad
\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t\;.
$

  1. Montrer que $ \Gamma$ est une fonction holomorphe sur $ D$.
  2. Montrer que pour tout $ z\in D$, $ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z)
$. En déduire que pour tout $ n\in\mathbb{N}$, $ \Gamma(n)=(n-1)!$.
  3. Montrer que pour tout $ z\in D$,

    $\displaystyle \Gamma(z) = \left(\sum_{n=0}^{+\infty}
\frac{(-1)^n}{n!} \frac{...
...}\right)
+\left(\int_1^{+\infty} t^{z-1}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t\right)\;.
$

  4. Démontrer que la fonction qui à $ z$ associe

    $\displaystyle \int_1^{+\infty} t^{z-1}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t
$

    est holomorphe sur $ \mathbb{C}$.
  5. Déduire des deux questions précédentes que $ \Gamma$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $ \mathbb{C}$, dont les pôles sont les entiers négatifs ou nuls. Pour $ n\in\mathbb{N}$, quel est le résidu de $ \Gamma$ en $ -n$ ?
  6. Montrer que pour tout $ n\in\mathbb{N}$ et pour tout $ z\in D$,

    $\displaystyle \int_0^n
\left(1-\frac{t}{n}\right)^n t^{z-1} \mathrm{d}t
=
\frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots(z+n)}\;.
$

    (on pourra utiliser le changement de variable $ \frac{t}{n}\mapsto u$, puis une intégration par parties).
  7. En utilisant le théorème de convergence dominée, démontrer que, pour tout $ z\in D$ :

    $\displaystyle \Gamma(z) = \lim_{n\to+\infty}\int_0^n
\left(1-\frac{t}{n}^n\righ...
...^{z-1} \mathrm{d}t
= \lim_{n\to+\infty}
\frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots(z+n)}\;.
$

    (formule de Gauss).


         © UJF Grenoble, 2011                              Mentions légales