Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous trois heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :  

1. Montrer que toute fonction holomorphe dans un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$ est analytique dans cet ouvert.
2. Soit $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$ et $a$ un point de $U$. Que peut-on dire du rayon de convergence de la série de Taylor de $f$ en $a$ ?
3. Énoncer et démontrer les inégalités de Cauchy.
4. Quel est l'intérêt des inégalités de Cauchy ?
5. Énoncer et démontrer le théorème de Liouville et en déduire que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$.

Exercice 1 : Soit $a$ un réel strictement positif. On note $I(a)$ l'intégrale convergente suivante.

$$I(a)= \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\pi a x^2} \mathrm{d}x \;.$$

1. En appliquant le théorème de Cauchy sur le rectangle $R_r$ de sommets $\pm r$, $\pm r+\mathrm{i}y$, montrer que pour tout réel $y$,
   $$\lim_{r\to+\infty} \int_{-r}^{+r} \mathrm{e}^{-\pi a(x+\mathrm{i}y)^2} \mathrm{d}x = I(a) \;.$$

2. Montrer que
   $$\mathrm{e}^{-\pi a y^2}\left\vert I(a)-\int_{-r}^{+r} \mathrm{e}^... ...ight\vert \leqslant I(a)-\int_{-r}^{+r} \mathrm{e}^{-\pi ax^2} \mathrm{d}x\;.$$
   En déduire que le membre de gauche de cette inégalité tend vers 0 quand $r$ tend vers $+\infty$, uniformément en $y$ sur $\mathbb{R}$.
3. Pour tous $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$, on note $[\alpha,\beta]=\{z=t\alpha+(1-t)\beta ,\;t\in[0,1]\}$ le segment de droite d'extrémités $\alpha$ et $\beta$. On pose
   $$f(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\pi az^2}}{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi z}-1}\;.$$
   À l'aide d'un développement en série de $\frac{1}{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi z}-1}$, montrer que
   $$\lim_{r\to+\infty} \int_{[-r+\mathrm{i},r+\mathrm{i}]} f(z) \mathrm{d}z = -I(a)\sum_{n=0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{\pi n^2}{a}} \;.$$

4. À l'aide d'un développement en série de $\frac{\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\pi z}}{1-\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\pi z}}$, montrer que
   $$\lim_{r\to+\infty} \int_{[-r-\mathrm{i},r-\mathrm{i}]} f(z) \mathrm{d}z = I(a)\sum_{n=1}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{\pi n^2}{a}} \;.$$

5. Pour tout $n\in\mathbb{Z}$, calculer le résidu de $f$ en $n$.
6. En appliquant le théorème des résidus à $f$ sur le rectangle de sommets $\pm(N+\frac{1}{2})\pm\mathrm{i}$, montrer que
   $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\pi a n^2} = I(a)\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{\pi n^2}{a}} \;.$$

7. Montrer que $I(1)=1$. En déduire que pour tout $a\in \mathbb{R}^{+*}$, $I(a) = \frac{1}{\sqrt{a}}$.
8. Montrer que si la partie réelle de $z$ est strictement positive,
   $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\pi z n^2} = \frac{1}{\sqrt{z}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{\pi n^2}{z}} \;,$$
   où $\sqrt{z}$ désigne la racine carrée de $z$, dont la partie réelle est positive sur le demi-plan $\{z\in\mathbb{C} ,\;\mathrm{Re} z>0\}$.

Exercice 2 : On note $D$ le demi plan ouvert $D=\{z\in\mathbb{Z} ,\;\mathrm{Re} z>0\}$. On définit la «fonction Gamma» sur $D$ par :

$$\forall z\in D\;,\quad \Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t\;.$$

1. Montrer que $\Gamma$ est une fonction holomorphe sur $D$.
2. Montrer que pour tout $z\in D$, $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\Gamma(n)=(n-1)!$.
3. Montrer que pour tout $z\in D$,
   $$\Gamma(z) = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{... ...}\right) +\left(\int_1^{+\infty} t^{z-1}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t\right)\;.$$

4. Démontrer que la fonction qui à $z$ associe
   $$\int_1^{+\infty} t^{z-1}\mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t$$
   est holomorphe sur $\mathbb{C}$.
5. Déduire des deux questions précédentes que $\Gamma$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $\mathbb{C}$, dont les pôles sont les entiers négatifs ou nuls. Pour $n\in\mathbb{N}$, quel est le résidu de $\Gamma$ en $-n$ ?
6. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et pour tout $z\in D$,
   $$\int_0^n \left(1-\frac{t}{n}\right)^n t^{z-1} \mathrm{d}t = \frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots(z+n)}\;.$$
   (on pourra utiliser le changement de variable $\frac{t}{n}\mapsto u$, puis une intégration par parties).
7. En utilisant le théorème de convergence dominée, démontrer que, pour tout $z\in D$ :
   $$\Gamma(z) = \lim_{n\to+\infty}\int_0^n \left(1-\frac{t}{n}^n\righ... ...^{z-1} \mathrm{d}t = \lim_{n\to+\infty} \frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots(z+n)}\;.$$
   (formule de Gauss).