QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$. On note $P$ et $Q$ les deux applications de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ associent

$$P(x,y)=\mathrm{Re} f(x+\mathrm{i}y)$$   et$$\quad Q(x,y)=\mathrm{Im} f(x+\mathrm{i}y)\;.$$

$P$ et $Q$ sont continûment différentiables

$${\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial Q}{\partial x}}$$

$${\frac{\partial P}{\partial x}=-\frac{\partial Q}{\partial y}}$$

$${\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial Q}{\partial y}}$$

$${\frac{\partial P}{\partial x}=-\frac{\partial Q}{\partial x}}$$

Question 2   Soit $f$ une fonction holomorphe non constante sur $\mathbb{C}$.

$\sin(f)$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$

$\log(f)$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$

$f\circ f$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$

$f$ est une bijection de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$

$z\longmapsto f(\overline{z})$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$

Question 3   On note $\gamma_1$, $\gamma_2$ et $\gamma_3$ les chemins définis sur $[0,\pi]$ par :

$$\gamma_1(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\;,\quad \gamma_2(t)=-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}\;,\quad \gamma_3(t)=\mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}\;.$$

On note $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ les images respectives de $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$.

$\Gamma_2=\Gamma_3$

$\Gamma_1=\Gamma_2$

$\gamma_3$ est un chemin fermé

$${\int_{\gamma_2} \frac{1}{\omega} \mathrm{d}\omega =2\mathrm{i}\pi}$$

$${\int_{\gamma_1} \omega^2 \mathrm{d}\omega =\int_{\gamma_3} \omega^2 \mathrm{d}\omega}$$

Question 4   On note $\gamma$ le chemin de $[0,3\pi]$ dans $\mathbb{C}$ qui à $t$ associe

$$\gamma(t)=\left\{\begin{array}{lcl} \mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}&\m... ...\ -\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}&\mbox{si}&t\in[2\pi,3\pi]\;. \end{array}\right.$$

L'indice de $\gamma$ par rapport à 0 vaut $1$

L'indice de $\gamma$ par rapport à $\frac{1}{2}$ n'est pas défini

L'indice de $\gamma$ par rapport à $-\frac{\mathrm{i}}{2}$ vaut $1$

L'indice de $\gamma$ par rapport à $-1+\mathrm{i}$ vaut 0

L'indice de $\gamma$ par rapport à $-2$ vaut $-1$

Question 5   On note $\gamma$ le chemin de $[0,3\pi]$ dans $\mathbb{C}$ qui à $t$ associe

$$\gamma(t)=\left\{\begin{array}{lcl} \mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}&\m... ...\ -\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}&\mbox{si}&t\in[2\pi,3\pi]\;. \end{array}\right.$$

$${\int_\gamma \frac{1}{\omega} \mathrm{d}\omega=0}$$

$${\int_\gamma \frac{1}{\omega+2} \mathrm{d}\omega=2\mathrm{i}\pi}$$

$${\int_\gamma \frac{1}{\omega+1-\mathrm{i}} \mathrm{d}\omega=0}$$

$${\int_\gamma \frac{1}{\omega-1+\mathrm{i}} \mathrm{d}\omega=-2\mathrm{i}\pi}$$

$${\int_\gamma \frac{1}{\omega+2-\frac{\mathrm{i}}{2}} \mathrm{d}\omega=-2\mathrm{i}\pi}$$

Question 6   On note $f$ la fonction qui à $z\in\mathbb{C}$ associe $f(z)=\frac{1}{z^2+1}$.

La fonction $f$ est holomorphe sur le disque $\{z\in\mathbb{C} ,\;\vert z-1\vert<\sqrt{2}\}$.

La fonction $f$ est holomorphe sur le demi-plan $\{z\in\mathbb{C} ,\;\mathrm{Im} z>0\}$.

La fonction $f$ est holomorphe sur le demi-plan $\{z\in\mathbb{C} ,\;\mathrm{Re} z>0\}$.

La fonction $f$ est holomorphe sur le disque $\{z\in\mathbb{C} ,\;\vert z\vert<2\}$.

La fonction $f$ est holomorphe sur le disque $\{z\in\mathbb{C} ,\;\vert z+1\vert<2\}$.

Question 7   On note $f$ la fonction qui à $z\in\mathbb{C}$ associe $f(z)=\frac{1}{z^2+1}$.

Le résidu de $f$ en $1$ est $2$.

Le résidu de $f$ en 0 est $1$.

Le résidu de $f$ en $\mathrm{i}$ est $-\frac{\mathrm{i}}{2}$.

Le résidu de $f$ en $-\mathrm{i}$ est $\frac{\mathrm{i}}{2}$.

Le résidu de $f$ en $-1$ est $\mathrm{i}$.

Question 8   Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$.

Si $\mathrm{Im} f$ admet un maximum relatif, alors $f$ est nulle sur $\mathbb{C}$.

Si $\vert f\vert$ est constante sur le segment $[-1,1]$, alors $f$ est constante sur $\mathbb{C}$.

Si $\vert f\vert$ est nulle sur le segment $[-1,1]$, alors $f$ est identiquement nulle.

Si $\vert f\vert$ admet un maximum relatif sur le demi-plan $\{z\in\mathbb{C} ,\;\mathrm{Re} z>0\}$, alors $f$ est constante.

L'image par $f$ du demi-plan $\{z\in\mathbb{C} ,\;\mathrm{Re} z>0\}$ est un demi-plan ouvert de $\mathbb{C}$.

Question 9   Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$. On note $D(0,1)$ le disque ouvert de centre 0 et de rayon $1$.

Si pour tout $t\in [0,2\pi]$, $\vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}\vert<1$, alors $f$ a trois zéros dans $D(0,1)$, comptés avec leur ordre de multiplicité.

Si pour tout $t\in [0,2\pi]$, $\vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\vert<1$, alors $f$ ne s'annule pas dans $D(0,1)$.

Si pour tout $t\in [0,2\pi]$, $\vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}+4\vert<\vert\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}-4\vert$, alors $f$ a au moins deux zéros dans $D(0,1)$.

Si pour tout $t\in [0,2\pi]$, $\vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}+2\vert<\vert\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}-2\vert$, alors $f$ ne s'annule pas dans $D(0,1)$.

Si pour tout $t\in [0,2\pi]$, $\vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}-8\vert<\vert\mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}+8\vert$, alors $f$ a au moins un zéro dans $D(0,1)$.

Question 10   On note $f$ la fonction qui à $z$ associe $\tan(\frac{\pi}{2} z)$.

La fonction $f$ a un pôle d'ordre $2$ en chaque entier $n\in\mathbb{Z}$.

La fonction $f$ a une singularité essentielle en 0.

Le résidu de $f$ en $1$ est $-\frac{2}{\pi}$.

Le résidu de $f$ en 0 est $-\frac{1}{\pi}$.

La fonction $f$ est méromorphe sur $\mathbb{C}$.