Exercices

Exercice 1 Soit $\alpha$ un nombre complexe.

Déterminer le rayon de convergence (éventuellement infini) de la série entière $\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ où et $a_{k+1}=\frac{\alpha-k}{k+1}a_k$ pour $k\geqslant 0$ (on discutera suivant les valeurs de $\alpha$ ). On note le disque de convergence de cette série et, si $z\in D_R$ , on note

$\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k.$
On suppose dans cette question que $\alpha\in\mathbb{N}$ . Déterminer .
Pour $z\in D_R$ , comparer et .
Pour $z\in D_R\cap (\mathbb{C}\setminus\{x\in\mathbb{R} \vert x\leqslant -1\})$ , comparer et $g(z)= \exp(\alpha\log(1+z))$ . Ici $\log$ désigne la détermination principale du logarithme complexe.
En déduire que se prolonge de manière unique en une fonction analytique dans $\mathbb{C}\setminus\{x\in\mathbb{R} \vert x\leqslant -1\}$ . Calculer la valeur de cette fonction en $z=-1+\mathrm{i}$ si $\alpha = i$ . Existe-t-il des valeurs de $\alpha$ ( $\alpha\notin\mathbb{N}$ ) pour lesquelles se prolonge en une fonction analytique dans $\mathbb{C}\setminus\{-1\}$ ?

Exercice 2 Pour chacun des couples $(\gamma,f)$ suivants, calculer $\displaystyle{\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z}$ .

$\begin{displaymath}\displaystyle{ \begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] [0,\pi]&... ...ghtarrow&\mathbb{C}\\ z& \longmapsto& \frac{1}{z} \end{array}}\end{displaymath}$
$\begin{displaymath}\displaystyle{ \begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] [0,1]&\l... ...&\longrightarrow&\mathbb{C}\\ z& \longmapsto& z^2 \end{array}}\end{displaymath}$
$\begin{displaymath}\displaystyle{ \begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] \mathbb{... ...b{C}\\ z& \longmapsto& \mathrm{e}^{-\vert z\vert} \end{array}}\end{displaymath}$
$\begin{displaymath}\displaystyle{ \begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] \mathbb{... ...rrow&\mathbb{C}\\ z& \longmapsto& \mathrm{e}^{-z} \end{array}}\end{displaymath}$

Exercice 3 Pour chacun des chemins fermés suivants :

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] [0,2\pi]&\longrightarr... ...thbb{C}\\ t& \longmapsto& \mathrm{e}^{\mathrm{i}t} \end{array}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] [0,4]&\longrightarrow... ...x{si}&3\leqslant t\leqslant 4\\ \end{array}\right. \end{array}\end{displaymath}$

Décrire l'image $\Gamma$ de $\gamma$ .
Donner les valeurs de $\mathrm{Ind}_\gamma(z)$ , pour tout $z\in\mathbb{C}\setminus\Gamma$ .
Pour chacune des fonctions suivantes :

$\displaystyle f :\; \omega\longmapsto \frac{1}{\omega-\frac{1+\mathrm{i}}{2}} ... ... \;;\quad f :\; \omega\longmapsto \frac{1}{(\omega-\frac{1+\mathrm{i}}{2})^2}$
Calculer $\displaystyle{\int_\gamma f(\omega) \mathrm{d}\omega}$

Exercice 4 Soit $\gamma$ un chemin fermé dans $\mathbb{C}$ de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux. Soient et deux points distincts de $\mathbb{C}$ non situés sur l'image de $\gamma$ .

Calculer l'intégrale $\int_\gamma \frac{\mathrm{d}z}{(z-a)(z-b)}$ en fonction de l'indice de $\gamma$ par rapport à et par rapport à .
Que peut-on dire de la valeur de l'intégrale lorsqu'il existe un chemin $\delta$ passant par et et ne rencontrant pas $\gamma$ ?
En déduire la valeur de l'intégrale $\int_\gamma \frac{\mathrm{d}z}{(z-a)^2}$ .
Calculer directement l'intégrale $\int_\gamma \frac{\mathrm{d}z}{(z-a)^2}$ .

Exercice 5 On désigne par $\log$ la détermination principale du logarithme. On rappelle que sa restriction à $\mathbb{R}^*_+$ coïncide avec le logarithme népérien que l'on notera également $\log$ . On considère l'intégrale

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\cos \theta) d\theta.$

Montrer que l'intégrale est bien définie.
Montrer que la fonction $\frac{\log z}{z-1}$ est holomorphe sur $\mathbb{C}\setminus]-\infty,0]$ .
Soit $\Gamma_\varepsilon$ le chemin fermé contenu dans le demi-plan $P=\{z\in\mathbb{C} \vert \mathrm{Re} z>0\}$ qui borde le disque de centre et de rayon privé du disque de centre 0 et de rayon $\varepsilon$ . Calculer

$\displaystyle \int_{\Gamma_\varepsilon} \frac{\log z}{z-1} \mathrm{d}z.$
On note $\gamma_\varepsilon$ la partie du chemin $\Gamma_\varepsilon$ contenue dans le cercle de centre 0 et de rayon $\varepsilon$ . Montrer que $\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{\gamma_\varepsilon} \frac{\log z}{z-1} \mathrm{d}z=0.$
Soit $\mathcal{C}_\alpha$ le chemin défini par $z=1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ pour $t\in [-\pi+\alpha,\pi-\alpha]$ . Calculer $\vert 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi-\alpha)}\vert$ . En déduire que $\lim_{\alpha\to 0}\int_{\mathcal{C}_\alpha} \frac{\log z}{z-1} \mathrm{d}z$ existe et donner sa valeur.
Déduire de ce qui précède la valeur de l'intégrale .

Exercice 6

Soit un réel strictement positif et

$\displaystyle S(R)=\{z\in\mathbb{C} \vert z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}, 0\leqslant r\leqslant R, 0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{4}\}$

le secteur de centre 0, de rayon et d'angle $\frac{\pi}{4}$ , on note $\gamma(R)$ le chemin fermé de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux défini par le bord orienté du secteur .

En intégrant la fonction $\mathrm{e}^{\mathrm{i}z^2}$ sur le chemin $\gamma(R)$ montrer que

$\displaystyle \int_0^\infty \cos x^2 dx= \lim_{R\to \infty}\int_0^R \cos x^2 dx$

et que

$\displaystyle \int_0^\infty \sin x^2 dx= \lim_{R\to \infty}\int_0^R \sin x^2 dx$

existent et calculer leurs valeurs.

Exercice 7

Soient un polynôme de degré :

$\displaystyle P(w)= a_0 w^n+a_1 w^{n-1}+\dots +a_n, a_0\neq 0,$

et l'opérateur linéaire à coefficients constants reproduisant ceux de . On considère l'équation différentielle :

$\displaystyle Lu= a_0 u^{(n)}+a_1 u^{(n-1) }+\dots +a_n u=0.$

Soient un ouvert de $\mathbb{C}$ et $\gamma$ un chemin fermé de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux contenu dans , dont l'image $\Gamma$ ne contient aucun zéro de .

Soit une fonction holomorphe sur . Montrer que $u(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_\gamma \frac{f(w)}{P(w)} \mathrm{e}^{wz} \mathrm{d}w$ est une fonction entière et exprimer à l'aide d'une intégrale le long de $\gamma$ .
Calculer

(i)

si est étoilé;

(ii)

si est la restriction à d'une fonction entière;

(iii)

si l'indice de $\gamma$ par rapport à tout point du complémentaire de dans $\mathbb{C}$ est nul.
Soit $w_0\in\mathbb{C}\setminus\Gamma$ et un entier supérieur ou égal à . Calculer

$\displaystyle u_k(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_\gamma \frac{\mathrm{e}^{wz}}{(w-w_0)^k} \mathrm{d}w,$ pour $\displaystyle k=1,2,\dots,p.$
On suppose que est un zéro d'ordre de . Montrer que l'on obtient ainsi solutions de l'équation différentielle en appliquant la question 1 à des fonctions que l'on précisera.

Exercice 8 Étant donné $\alpha\in]0,\pi[$ , on note $\gamma_\alpha$ le chemin $[-\alpha,\alpha]\to\mathbb{C}$ défini par $\gamma_\alpha(\theta)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ . Soit $\varphi_\alpha$ la fonction définie sur le complémentaire de l'image $\Gamma_\alpha$ de $\gamma_\alpha$ par

$\displaystyle \varphi_\alpha(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_\alpha}\frac{w}{w-z} \mathrm{d}w.$

Montrer que $\varphi_\alpha$ est holomorphe sur $\mathbb{C}\setminus\Gamma_\alpha$ .
Ècrire
1. le développement de Laurent de $\varphi_\alpha(z)$ pour $\vert z\vert>1$ ,
2. le développement de Taylor en 0 de $\varphi_\alpha(z)$ pour $\vert z\vert<1$ ,
Déterminer $\lim_{\alpha\to\pi} \varphi_\alpha(z)$ et montrer que cette limite est uniforme sur tout compact qui ne rencontre pas le cecle $\vert z\vert=1$ . En déduire $\lim_{\alpha\to\pi} \varphi'_\alpha(z)$ pour $\vert z\vert\neq 1$ . Cette limite est-elle uniforme sur tout compact qui ne rencontre pas le cercle $\vert z\vert=1$ ?
Soient $\gamma'_\alpha$ et $\gamma''_\alpha$ deux arcs de cercle du demi-plan $\{\mathrm{Re}z\geqslant\cos\alpha\}$ , d'origine $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}$ et d'extrémité $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$ , le premier tracé dans $\{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert\geqslant 1\}$ et le second dans $\{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert\leqslant 1\}$ .

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1. Comparer $\varphi_\alpha(z)$ et $\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma'_\alpha}\frac{w}{w-z} \mathrm{d}w$ pour $\vert z\vert<1$ ;
  comparer $\varphi_\alpha(z)$ et $\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma''_\alpha}\frac{w}{w-z} \mathrm{d}w$ pour $\vert z\vert>1$ .
2. En déduire l'existence de $\lim_{z\to 1, \vert z\vert<1} \varphi_\alpha(z)$ et $\lim_{z\to 1, \vert z\vert>1} \varphi_\alpha(z)$ et trouver leur différence.
Écrire $\varphi''_\alpha(z)$ sous la forme d'une intégrale. Montrer que $\varphi''_\alpha$ se prolonge à $\mathbb{C}$ en une fraction rationnelle. Quels sont ses pôles ? Expliciter le calcul pour $\alpha=\frac{\pi}{2}$ .
En déduire le rayon de convergence du développement de Taylor de $\varphi_\alpha$ en un point $z_0\notin \Gamma_\alpha$ et en particulier le rayon de convergence du développement obtenu au 1.b.

Exercice 9 Soit

une fonction holomorphe dans le disque épointé $D^*(0,1) =D(0,1) \setminus\{0\}$ de centre 0 et de rayon

. On suppose que

n'a pas de zéros dans

1. Donner un exemple d'une fonction de ce type telle que $\frac{f'}{f}$ ait un pôle simple en 0.
2. Donner un autre exemple tel que $\frac{f'}{f}$ ait un pôle multiple d'ordre en 0 et tel que ait un point singulier essentiel en 0.
Soit $N\in\mathbb{Z}$ un entier relatif non nul. Montrer qu'il n'existe pas de fonction holomorphe dans telle que $z^N= \mathrm{e}^h$ dans .
On considère la fonction holomorphe $\frac{f'}{f}$ sur et son développement de Laurent dans :

$\displaystyle \frac{f'}{f}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nz^n.$
1. Montrer que $a_{-1}$ est un entier relatif.
2. Montrer qu'il existe un entier et une fonction holomorphe dans tels que
  
  $\displaystyle f=z^N\mathrm{e}^g$
  dans et que cette factorisation est unique à un multiple entier de $2\mathrm{i}\pi$ près pour .
Discuter la nature de la singularité de $\frac{f'}{f}$ en 0 en fonction de la nature de la singularité de en 0 et de l'entier .

Exercice 10

On considère un ouvert connexe de $\mathbb{C}$ et une fonction holomorphe sur $\Delta =D\setminus \{a_1,a_2,\cdots,a_n \}$ . On cherche les fonctions qui vérifient les conditions suivantes :

(*) holomorphe sur $\Delta$ et pour tout $z\in \Delta \quad$ .

$\Delta$ est-il connexe? (On pourra utiliser la connexité par arcs).
Soit une solution de (*).
1. Montrer que si admet un zéro dans $\Delta$ alors est identiquement nulle dans $\Delta$ .
2. Soit une solution non identiquement nulle. Montrer que toutes les solutions de sont de la forme $\lambda F_0$ où $\lambda\in\mathbb{C}$ .
On suppose que admet une primitive sur $\Delta$ . Montrer que (*) admet une solution de la forme $F(z)=\mathrm{e}^{G(z)}$ .
Trouver explicitement toutes les solutions de (*) si $g(z)=\frac{1}{z^{2} }$ et $\Delta =\mathbb{C}\setminus \{0 \}.$ Quel type de singularité les solutions présentent-elles en 0?
Soit $\varphi$ une fonction holomorphe sur ayant comme zéros dans l'ensemble $\{a_1,a_2,\cdots,a_n \}$ . On suppose que $g=\frac{\varphi '}{\varphi }$ . Donner la forme des solutions de (*).
En déduire les solutions de (*) dans le cas où $g(z)=\frac{m}{z-a}$ où $m\in \mathbb{Z}$ , $a\in\mathbb{C}$ et $\Delta =\mathbb{C}\setminus \{a \}$ .
On suppose maintenant que est un disque de $\mathbb{C}$ et $\mathrm{Res}(g,a_k)=m_k\in \mathbb{Z}$ pour $1\leqslant k\leqslant n$ . On considère la fonction

$\displaystyle h(z)=g(z) -\sum_1^n \frac{m_k}{z- a_k}.$
Montrer que possède une primitive dans $\Delta$ .
En déduire la fome générale des solutions de (*).

Exercice 15

Soit $\Omega$ un ouvert connexe borné de $\mathbb{C}$ , une fonction holomorphe dans $\Omega$ , continue sur $\overline{\Omega}$ , non constante, et telle que $\vert h\vert$ est constant sur la frontière de $\Omega$ .

Montrer que admet au moins un zéro dans $\Omega$
Soit une fonction holomorphe sur (disque de centre 0 de rayon 1) continue sur $\overline{D(0,1) }$ et de module constant sur le cercle . Montrer avec soin que soit est constante, soit admet une factorisation de la forme

$\displaystyle f(z)=(z-\alpha_1)^{m_1}\ldots (z-\alpha_p)^{m_p}g(z)$
où $p\geqslant 1$ , $\alpha_1,\ldots,\alpha_p\in D(0,1)$ , et est holomorphe et sans zéros dans .
On suppose désormais non constante.
1. Soit $a\in D(0,1)$ , et $\phi_a=\frac{z-a}{1-\bar a z}$ . Montrer que $\vert\phi_a(z)\vert=1$ si $\vert z\vert=1$ .
2. Soit $h(z)=f(z)\prod_{i=1}^p \phi_{\alpha_i}(z)^{-m_i}$ . Montrer que définit une fonction holomorphe sur satisfaisant $\vert h(z)\vert=\textrm{Cste}$ si $\vert z\vert=1$ .
3. En déduire .

Exercice 16 Si est une fonction holomorphe non constante dans un ouvert de $\mathbb{C}$ contenant le disque fermé $\overline{D}(0,R)=\{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert\leqslant R\}$ , on rappelle l'inégalité de Borel-Carathéodory

$\displaystyle M(r)\leqslant \frac{2r}{R-r}A(R)+\frac{R+r}{R-r}\vert f(0)\vert,$

où , $M(r)=\sup_{\vert z\vert=r}\vert f(z)\vert$ et $A(R)=\sup_{\vert z\vert\leqslant R} \mathrm{Re} f(z)$ .

Soit un nombre complexe fixé. On définit la fonction par $f(z)=z\mathrm{e}^{-z}-w$ pour $z\in\mathbb{C}$ . On suppose que ne s'annule pas dans $\mathbb{C}$ .

Montrer que $\frac{f'}{f}$ est une fonction entière.
En déduire qu'il existe une fonction entière telle que $z\mathrm{e}^{-z}-w=\mathrm{e}^{g(z)}$ pour tout $z\in\mathbb{C}$ .
Montrer qu'il existe un nombre tel que pour tout tel que $\vert z\vert\geqslant R_0$ , la fonction vérifie la majoration $\mathrm{Re} g(z)\leqslant 2\vert z\vert$ .
En déduire qu'il existe des constantes et strictement positives telles que :

$\displaystyle \vert g(z)\vert\leqslant C_1\vert z\vert+C_2$ pour $\displaystyle \vert z\vert\geqslant R_0.$
Montrer que est un polynôme de degré inférieur ou égal à :

$\displaystyle g(z)=a_0z+a_1.$
Montrer que l'égalité

$\displaystyle z\mathrm{e}^{-z}-w=\mathrm{e}^{a_0z+a_1}$ pour tout $\displaystyle z\in\mathbb{C}$
est impossible. Conclure.

Exercice 17 Soient $\Omega$ et $\Omega'$ deux ouverts connexes de $\mathbb{C}$ et $f : \Omega\to\Omega'$ une application holomorphe telle que pour tout compact de $\Omega'$ , $f^{-1}(K)$ soit un compact de $\Omega$ . On dira dans ce cas que est propre.

Montrer par un raisonnement purement topologique simple que est une application fermée, c'est-à-dire si est un fermé de l'ouvert $\Omega$ , est fermé dans $\Omega'$ .
Montrer que est surjective, i.e. $f(\Omega)=\Omega'$ .
En considérant l'application $f : \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ définie par un polynôme non constant, en déduire une nouvelle démonstration du théorème de d'Alembert.

Exercice 18 On pose

$\displaystyle f(z)=-1+2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}\mathrm{e}^{-nz}.$

Montrer qu'on définit ainsi une fonction analytique sur le demi-plan $P=\{z=x+\mathrm{i}y \vert x>0\}$ , continue et bornée sur $\overline{P}$ . La fonction admet-elle une période, et laquelle ?
Montrer que est solution sur de l'équation différentielle linéaire

$\displaystyle (1) \qquad\qquad w''+w=\tanh(\frac{z}{2}).$
Que peut-on dire de la différence de deux solutions de (1) ? Al'aide de la fonction et de fonctions élémentaires, donner la solution générale de l'équation (1) pour $z\in P$ . Quelles sont les solutions de période $2\mathrm{i}\pi$ ? Quelles sont les solutions bornées sur ?
Déterminer les pôles de la fonction $z\mapsto\tanh(\frac{z}{2})$ , puis le plus grand ouvert , étoilé par rapport à 0 et ne contenant aucun de ces pôles.
Soient et deux fonctions analytiques sur telles que

$\displaystyle u'(z)=-\tanh(\frac{z}{2})\sin z$ et $\displaystyle \quad v'(z)=\tanh(\frac{z}{2})\cos z.$
Dire avec précision pourquoi il existe de telles fonctions et montrer que $z\mapsto u(z)\cos z+v(z)\sin z$ est solution de (1) pour $z\in U$ .
En comparant les résultats des questions 2 et 3, montrer que se prolonge en une fonction analytique sur , encore notée . On a évidemment $f(0)=-1+2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}$ . Montrer qu'on a aussi

$\displaystyle f'(0)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nn}{1+n^2}.$
(On pourra appliquer la transformation d'Abel

$\displaystyle a_nb_n+\dots+a_{n+p}b_{n+p}=\sum_{q=1}^p(a_n+\dots+a_{n+q-1})(b_{n+q-1}-b_{n+q})+(a_n+\dots+a_{n+p})b_{n+p}$
avec $a_n=\frac{(-1)^nn}{1+n^2}$ et $b_n=\mathrm{e}^{-nx}$ .)

Exercice 19 Pour tout entier et tout $z\in\Omega =\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}$ on pose

$\displaystyle S_n(z)= \sum_{k=-n}^{k=n}\frac{1}{(z-k)^{2}}.$

Montrer que la suite converge uniformément sur tout compact de $\Omega$ . En déduire que $g(z)=\lim_{n\to +\infty}S_n(z)$ définit une fonction holomorphe sur $\Omega$ . £
On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\Omega$ par $\displaystyle{\varphi (z)=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^{2}-g(z)}$ .
Montrer que $\varphi$ est 1-périodique (i.e. vérifie $\varphi (z+1) =\varphi (z)$ pour tout $z\in \Omega$ ).
Montrer que $\displaystyle{\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^{2} -\frac{1}{z^{2}}}$ admet une limite quand tend vers 0 et en déduire que $\varphi$ se prolonge en une fonction holomorphe 1-périodique sur $\mathbb{C}$ .
On pose $z=x+\mathrm{i}y$ ( et réels). Calculer $\vert\sin(z)\vert^{2}$ et montrer que si $\vert y\vert>1$ et $\vert x\vert\leqslant \frac{1}{2}$ on a

$\displaystyle \left\vert\varphi (z)\right\vert \leqslant \left(\frac{\pi}{sh(\pi)}\right)^{2} +1 +2 \sum_1^{+\infty} \frac{1}{(n-1/2)^{2} }.$
Montrer que $\varphi$ est bornée sur $\mathbb{C}$ . Calculer $\lim_{y\to +\infty}g(iy)$ et $\lim_{y\to +\infty}\vert\sin(\pi i y)\vert$ . En déduire que pour tout $z\in \Omega$ on a :

$\displaystyle g(z)=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^{2}.$

Exercice 20 Pour tout couple de réels $0\leqslant a <b$ , on note la bande $\{z\in \mathbb{C}\; ; \; a<\mathrm{Im}z <b \}$ . Si est un réel non nul, on dit qu'une fonction holomorphe sur est -périodique si, pour tout $z\in B(a,b)$ on a . On note aussi $B(0,+\infty)$ le demi-plan supérieur $\{z\in \mathbb{C}\; ;\; \mathrm{Im}(z)>0 \}$ .

A) Un cas particulier

Démontrer que la série

$\displaystyle \sum_0^{+\infty} (-1)^{n}\mathrm{e}^{(2n+1)\mathrm{i}z}$
définit une fonction holomorphe sur $B(0,+\infty)$ .
Montrer que $\frac{1}{\cos z}$ est holomorphe sur $B(0,+\infty)$ et périodique de période $2\pi$ .
Etablir que pour tout $z\in B(0,+\infty)$ on a

$\displaystyle \frac{1}{\cos z}= 2 \sum_0^{+\infty} (-1)^{n}\mathrm{e}^{(2n+1)\mathrm{i}z}.$

B) Généralisation

Montrer que l'application $\varphi$ définie sur $\mathbb{C}$ par

$\displaystyle \varphi (z)= \exp\left(\frac{2\pi \mathrm{i}z}{T}\right)$
définit une application holomorphe de sur la couronne de centre 0 et de rayons $r=\exp\left(-\frac{2\pi }{T}b\right)$ et $R=\exp\left(-\frac{2\pi }{T}a\right).$
Si est holomorphe et périodique de période sur pour tout $u\in B(a,b)$ on pose $g(\varphi (u))=f(u)$ . Montrer que l'on définit ainsi une fonction holomorphe sur .
En utilisant le développement en série de Laurent de , en déduire que s'écrit de façon unique sous la forme

$\displaystyle f(z)= \sum_{-\infty }^{+\infty} a_n \exp\left(\frac{2\pi n \mathrm{i} z}{T}\right)$ (8)

où les sont des complexes tels que les séries entières $\sum_{n\geqslant 0}a_nz^{n}$ et $\sum_{n\geqslant 0}a_{-n}z^{n}$ ont des rayons de convergence supérieurs ou égaux à $\exp\left(-\frac{2\pi }{T}a\right)$ et $\exp\left(-\frac{2\pi }{T}b\right)$ respectivement.
Montrer que réciproquement si une suite $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ satisfait ces conditions alors (8) définit une fonction holomorphe périodique de période sur la bande .

Exercice 21

Montrer que l'intégrale $g(z)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{z+t} \mathrm{d}t$ est convergente pour dans $\mathbb{C}$ privé de l'ensemble des réels négatifs ou nuls et définit une fonction holomorphe sur cet ensemble. (On pourra effectuer une intégration par parties).
Pour fixé, montrer en intégrant la fonction $f(z)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}{x+z}$ sur un quart de cercle de rayon bien choisi et en faisant tendre vers $+\infty$ que :

$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}}{x+t} \mathrm{d}t=\mathrm{i}\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{x+\mathrm{i}t} \mathrm{d}t.$
En déduire que pour $\mathrm{Re} z>0$ , on a :

$\displaystyle g(z)=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-uz}}{1+u^2} \mathrm{d}u.$

Exercice 22 Soit la fonction d'une variable complexe définie par

$\displaystyle f(z)=\int_1^\infty \frac{t-1}{t^2(t-z)} \mathrm{d}t.$

Dans quel ouvert du plan complexe est-elle définie ?
Montrer que est holomorphe sur D. Calculer, en fonction de , la dérivée -ième de en 0 et déterminer le développement en série entière de au voisinage de 0 ; dans quel ouvert ce développement est-il valable ?
Soit un réel strictement inférieur à , calculer . En déduire la valeur de pour $z\in D$ .
Calculer $f(z)+f(\frac{z}{z-1})$ pour $z\in D$ .

Exercice 23

Déterminer les singularités de la fonction de la variable complexe :

$\displaystyle f(z)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}tz}}{(z^2+1)^2},$
où est un réel fixé. Calculer les résidus de aux points singuliers.
Calculer par la méthode des résidus

$\displaystyle F(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}}{(x^2+1)^2} dx,$
où est un nombre réel.
Soit $G(z)=z^3\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}{(x^2+z)^2} dx,$ .
1. Dans quel ouvert de $\mathbb{C}$ la fonction est-elle définie ? Montrer que est holomorphe sur .
2. Montrer que pour $z=t\in\mathbb{R}_+^*$ .
3. En déduire la valeur de pour $z\in D$ .

Exercice 24 On rappelle que les racines de $\sin z= 0$ sont réelles. Soit la fonction méromorphe définie par

$\displaystyle f(z)=\frac{\pi \cot \pi z}{(z^{2}+1) ^{2} }.$

Déterminer les points singuliers de .
Calculer le résidu de en chacun de ses pôles.
Pour tout entier naturel , soit $\Gamma _N$ le bord orienté positivement du carré de sommets $(N+\frac{1}{2})(1+\mathrm{i}), (N+\frac{1}{2})(-1+\mathrm{i}),(N+\frac{1}{2})(-1-\mathrm{i})$ et $(N+\frac{1}{2})(1-\mathrm{i})$ .
Montrer que si $Im(z)\geqslant \frac{1}{2}$ on a $\vert\cot(\pi z)\vert\leqslant \coth \frac{\pi }{2}$ et que si $\vert Im(z)\vert< \frac{1}{2}$ , alors pour tout $k\in\mathbb{Z}$

$\displaystyle \left\vert\cot\left(\pi (\frac{2k +1}{2} + \mathrm{i}y )\right)\right\vert\leqslant \tanh \left(\frac{\pi }{2}\right).$

En déduire la limite quand tend vers l'infini de

$\displaystyle \int_{\Gamma _N}f(z)\mathrm{d}z.$
Calculer la somme de la série

$\displaystyle \sum_0^{+\infty} \frac{1}{(n^{2}+1)^{2} }.$

Exercice 25 On note $\alpha =(1+\mathrm{i})\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ et

$\displaystyle g(z) = \frac{\mathrm{e}^{-z^{2} }}{1+ \exp(-2\alpha z)}.$

Montrer que est méromorphe sur $\mathbb{C}$ et n'a que des pôles simples que l'on déterminera.
Soit $\Delta$ l'ensemble des pôles de . Si $z\not \in \Delta$ montrer que $g(z)-g(z+\alpha )=\mathrm{e}^{-z^2}.$
En intégrant le long du parallélogramme de sommets $R, R+\alpha , -R + \alpha$ et , en déduire la valeur de l'intégrale

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^{2} } dx.$

Exercice 26 Soit une fraction rationnelle sans pôle réel telle que $\deg(Q)\geqslant \deg(P)+2$ . Montrer que $x\mapsto F(x) \ln(\vert x\vert)$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ .

On note $\log$ la détermination principale du logarithme sur $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}^{-}$ (sa partie imaginaire appartient à $]-\pi/2, 3\pi/2[$ ).

Soit un réel strictement positif, pour $t\in [0,\pi]$ on pose $\gamma_r(t)= r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ . Montrer que les limites suivantes existent et les calculer :

$\displaystyle \lim_{r\to 0}\int_{\gamma _r }F(z)\log (z) \mathrm{d}z,$ et $\displaystyle \quad \lim_{r\to +\infty} \int_{\gamma _r }F(z)\log (z) \mathrm{d}z.$
En déduire que

$\displaystyle \int_{\mathbb{R} } F(x) \ln(\vert x\vert) dx = -2\pi \mathrm{Im}m\left(\sum_{a_i} \mathrm{Res}(F(z)\log(z), a_i )\right)$
où les sont les pôles de dont la partie imaginaire est strictement positive.
Application : calculer

$\displaystyle \int_{\mathbb{R} }\frac{\ln\vert x\vert}{(x^{2}+1)^{2} } \mathrm{d}x.$

Exercice 27 Soient et deux réels strictement positifs. On considère la fonction qui à associe :

$\displaystyle f(z) = \frac{1}{(z^2+a^2)(z^2+b^2)}\;.$

Montrer que la fonction est méromorphe, calculer ses 4 pôles, et donner le résidu de en chacun de ces pôles.
Soit un réel positif. On note $\gamma$ le chemin qui à $t\in [0,\pi]$ associe $R\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$ . Démontrer que

$\displaystyle \lim_{R\to+\infty}\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d}z=0 \;.$
On suppose $R>\max\{a,b\}$ . En appliquant le théorème des résidus, calculer

$\displaystyle \int_{-R}^{+R} f(x) \mathrm{d}x+\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z\;.$
Déduire de ce qui précède que

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \frac{\pi}{ab(a+b)}\;.$

Exercice 28 On considère la fonction qui à associe :

$\displaystyle f(z) = \frac{1}{1+z^4}\;.$

Montrer que la fonction est méromorphe, calculer ses 4 pôles, et donner le résidu de en chacun de ces pôles.
Soit un réel positif. On note $\gamma$ le chemin qui à $t\in [0,\pi]$ associe $R\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$ . Démontrer que

$\displaystyle \lim_{R\to+\infty}\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d}z=0 \;.$
On suppose . En appliquant le théorème des résidus, calculer

$\displaystyle \int_{-R}^{+R} f(x) \mathrm{d}x+\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z\;.$
Déduire de ce qui précède que

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}\;.$

Exercice 29 Soit un nombre complexe.

Montrer que si $\vert w\vert<\frac{1}{e}$ , la fonction définie sur $\mathbb{C}$ par $f(z)=z\mathrm{e}^{-z}-w$ a un zéro unique dans le disque unité. On désigne par cet unique zéro de ; la fonction est donc définie pour $\vert w\vert<\frac{1}{e}$ .
Montrer que si $\gamma$ désigne le cercle unité orienté positivement, on a :

$\displaystyle (1)\qquad\qquad h(w)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_\gamma\frac{z(1-z)\mathrm{e}^{-z}}{z\mathrm{e}^{-z}-w} \mathrm{d}z.$
En déduire que pour $\vert w\vert<\frac{1}{e}$ , on a $h(w)=w+\frac{2w^2}{2!}+\dots+\frac{n^{n-1}}{n!}w^n+\dots$
Montrer que pour $\alpha\in\mathbb{C}$ , on a $\mathrm{e}^{\alpha h(w)}=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{\alpha(\alpha+n)^{n-1}}{n!} w^n$ pour $\vert w\vert<\frac{1}{\mathrm{e}}$ . On utilisera une intégrale analogue à (1).
Étudier les variations de la fonction $x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}$ pour réel positif ou nul.
Montrer que la série de fonctions de la variable réelle

$\displaystyle S(x)=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{\alpha(\alpha+n)^{n-1}}{n!}x^n\mathrm{e}^{-nx}$
converge normalement pour $x\geqslant 0$ . Montrer que $S(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}$ pour $0\leqslant x\leqslant 1$ et que $S(x)=\mathrm{e}^{\alpha x'}$ pour $x\geqslant 1$ , où est la solution appartenant à de l'équation : $x'\mathrm{e}^{-x'}=x\mathrm{e}^{-x}$ .

Exercice 31

Soit un ouvert connexe borné de $\mathbb{C}$ , contenant l'origine et une application holomorphe de dans lui-même telle que . On va montrer que est un automorphisme de si et seulement si $\vert f'(0)\vert=1$ .

Montrer qu'il existe des constantes , $p\in\mathbb{N}$ , telles que pour toute fonction holomorphe dans vérifiant $g(D)\subset D$ , on ait :

$\displaystyle \vert g^{(p)}(0)\vert\leqslant M_p.$
Soit une fonction holomorphe dans vérifiant $f(D)\subset D$ et .
1. On définit les fonctions par et la relation de récurrence $f_{n+1}=f\circ f_n$ si $n\geqslant 1$ . Montrer que est holomorphe dans et calculer en fonction de .
2. En déduire que $\vert f'(0)\vert\leqslant 1$ .
3. Montrer que, si est un automorphisme de , $\vert f'(0)\vert=1$ .
Montrer que, si , pour tout $z\in D$ . (On raisonnera par l'absurde en supposant que le développement de en série entière à l'origine s'écrit :

$\displaystyle f(z)=z+\sum_{k=p}^{+\infty} c_kz^k,$
étant un entier strictement supérieur à , et on calculera le coefficient de dans le développement de .)
On suppose qu'il existe $k\in\mathbb{N}$ , $k\neq 0$ , tel que . Montrer que est un automorphisme de .
On munit l'espace $\mathcal{H}(D)$ des fonctions holomorphes dans de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de .
1. Montrer que l'ensemble des fonctions fonctions holomorphes dans vérifiant $g(D)\subset D$ et est une partie compacte de $\mathcal{H}(D)$ .
2. On suppose que $f'(0)=\lambda$ , $\vert\lambda\vert=1$ et que l'ensemble $\{\lambda^k, k\in\mathbb{N}\}$ est dense l'ensemble $\{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert=1\}$ . Montrer qu'il existe une sous-suite de la suite $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ qui converge uniformément sur tout compact de vers l'identité de .
Montrer que pour toute suite $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de fonctions holomorphes sur qui converge vers une fonction uniformément sur tout compact de , si prend la valeur et n'est pas la fonction constante égale à , alors pour assez grand la fonction prend la valeur .
On rappelle que tout sous-groupe multiplicatif du groupe des nombres complexes de module est fini ou dense.
Déduire de ce qui précède que, si $\vert f'(0)\vert=1$ , est une application injective et surjective de sur lui-même.