Exercices

Exercice 1   Soit $\alpha$ un nombre complexe.

1. Déterminer le rayon de convergence $R$ (éventuellement infini) de la série entière $\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ où $a_0=1$ et $a_{k+1}=\frac{\alpha-k}{k+1}a_k$ pour $k\geqslant 0$ (on discutera suivant les valeurs de $\alpha$). On note $D_R$ le disque de convergence de cette série et, si $z\in D_R$, on note
   $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k.$$

2. On suppose dans cette question que $\alpha\in\mathbb{N}$. Déterminer $f$.
3. Pour $z\in D_R$, comparer $(1+z)f'(z)$ et $f(z)$.
4. Pour $z\in D_R\cap (\mathbb{C}\setminus\{x\in\mathbb{R} \vert x\leqslant -1\})$, comparer $f(z)$ et $g(z)= \exp(\alpha\log(1+z))$. Ici $\log$ désigne la détermination principale du logarithme complexe.
5. En déduire que $f$ se prolonge de manière unique en une fonction analytique dans $\mathbb{C}\setminus\{x\in\mathbb{R} \vert x\leqslant -1\}$. Calculer la valeur de cette fonction en $z=-1+\mathrm{i}$ si $\alpha = i$. Existe-t-il des valeurs de $\alpha$ ( $\alpha\notin\mathbb{N}$) pour lesquelles $f$ se prolonge en une fonction analytique dans $\mathbb{C}\setminus\{-1\}$ ?

Exercice 2   Pour chacun des couples $(\gamma,f)$ suivants, calculer $${\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z}$$.

1. $$\displaystyle{ \begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] [0,\pi]&... ...ghtarrow&\mathbb{C}\\ z& \longmapsto& \frac{1}{z} \end{array}}$$
2. $$\displaystyle{ \begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] [0,1]&\l... ...&\longrightarrow&\mathbb{C}\\ z& \longmapsto& z^2 \end{array}}$$
3. $$\displaystyle{ \begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] \mathbb{... ...b{C}\\ z& \longmapsto& \mathrm{e}^{-\vert z\vert} \end{array}}$$
4. $$\displaystyle{ \begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] \mathbb{... ...rrow&\mathbb{C}\\ z& \longmapsto& \mathrm{e}^{-z} \end{array}}$$

Exercice 3   Pour chacun des chemins fermés suivants :

$$\begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] [0,2\pi]&\longrightarr... ...thbb{C}\\ t& \longmapsto& \mathrm{e}^{\mathrm{i}t} \end{array}$$

$$\begin{array}{rcl} &\gamma& [0.1ex] [0,4]&\longrightarrow... ...x{si}&3\leqslant t\leqslant 4\\ \end{array}\right. \end{array}$$

1. Décrire l'image $\Gamma$ de $\gamma$.
2. Donner les valeurs de $\mathrm{Ind}_\gamma(z)$, pour tout $z\in\mathbb{C}\setminus\Gamma$.
3. Pour chacune des fonctions suivantes :
   $$f :\; \omega\longmapsto \frac{1}{\omega-\frac{1+\mathrm{i}}{2}} ... ... \;;\quad f :\; \omega\longmapsto \frac{1}{(\omega-\frac{1+\mathrm{i}}{2})^2}$$
   Calculer $${\int_\gamma f(\omega) \mathrm{d}\omega}$$

Exercice 4   Soit $\gamma$ un chemin fermé dans $\mathbb{C}$ de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux. Soient $a$ et $b$ deux points distincts de $\mathbb{C}$ non situés sur l'image de $\gamma$.

1. Calculer l'intégrale $\int_\gamma \frac{\mathrm{d}z}{(z-a)(z-b)}$ en fonction de l'indice de $\gamma$ par rapport à $a$ et par rapport à $b$.
2. Que peut-on dire de la valeur de l'intégrale lorsqu'il existe un chemin $\delta$ passant par $a$ et $b$ et ne rencontrant pas $\gamma$ ?
3. En déduire la valeur de l'intégrale $\int_\gamma \frac{\mathrm{d}z}{(z-a)^2}$.
4. Calculer directement l'intégrale $\int_\gamma \frac{\mathrm{d}z}{(z-a)^2}$.

Exercice 5   On désigne par $\log$ la détermination principale du logarithme. On rappelle que sa restriction à $\mathbb{R}^*_+$ coïncide avec le logarithme népérien que l'on notera également $\log$. On considère l'intégrale

$$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\cos \theta) d\theta.$$

1. Montrer que l'intégrale $I$ est bien définie.
2. Montrer que la fonction $\frac{\log z}{z-1}$ est holomorphe sur $\mathbb{C}\setminus]-\infty,0]$.
3. Soit $\Gamma_\varepsilon$ le chemin fermé contenu dans le demi-plan $P=\{z\in\mathbb{C} \vert \mathrm{Re} z>0\}$ qui borde le disque de centre $1$ et de rayon $1$ privé du disque de centre 0 et de rayon $\varepsilon$. Calculer
   $$\int_{\Gamma_\varepsilon} \frac{\log z}{z-1} \mathrm{d}z.$$

4. On note $\gamma_\varepsilon$ la partie du chemin $\Gamma_\varepsilon$ contenue dans le cercle de centre 0 et de rayon $\varepsilon$. Montrer que $\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{\gamma_\varepsilon} \frac{\log z}{z-1} \mathrm{d}z=0.$
5. Soit $\mathcal{C}_\alpha$ le chemin défini par $z=1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ pour $t\in [-\pi+\alpha,\pi-\alpha]$. Calculer $\vert 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi-\alpha)}\vert$. En déduire que $\lim_{\alpha\to 0}\int_{\mathcal{C}_\alpha} \frac{\log z}{z-1} \mathrm{d}z$ existe et donner sa valeur.
6. Déduire de ce qui précède la valeur de l'intégrale $I$.

Exercice 6  

Soit $R$ un réel strictement positif et

$$S(R)=\{z\in\mathbb{C} \vert z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},  0\leqslant r\leqslant R,  0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{4}\}$$

le secteur de centre 0, de rayon $R$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$, on note $\gamma(R)$ le chemin fermé de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux défini par le bord orienté du secteur $S(R)$.

En intégrant la fonction $\mathrm{e}^{\mathrm{i}z^2}$ sur le chemin $\gamma(R)$ montrer que

$$\int_0^\infty \cos x^2 dx= \lim_{R\to \infty}\int_0^R \cos x^2  dx$$

et que

$$\int_0^\infty \sin x^2 dx= \lim_{R\to \infty}\int_0^R \sin x^2  dx$$

existent et calculer leurs valeurs.

Exercice 7  

Soient $P$ un polynôme de degré $n$ :

$$P(w)= a_0 w^n+a_1 w^{n-1}+\dots +a_n, a_0\neq 0,$$

et $L$ l'opérateur linéaire à coefficients constants reproduisant ceux de $P$. On considère l'équation différentielle :

$$Lu= a_0 u^{(n)}+a_1 u^{(n-1) }+\dots +a_n u=0.$$

Soient $D$ un ouvert de $\mathbb{C}$ et $\gamma$ un chemin fermé de classe $\mathcal {C}^1$ par morceaux contenu dans $D$, dont l'image $\Gamma$ ne contient aucun zéro de $P$.

1. Soit $f$ une fonction holomorphe sur $D$. Montrer que $u(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_\gamma \frac{f(w)}{P(w)} \mathrm{e}^{wz} \mathrm{d}w$ est une fonction entière et exprimer $Lu$ à l'aide d'une intégrale le long de $\gamma$.

   Calculer $Lu$

   (i)

   si $D$ est étoilé;

   (ii)

   si $f$ est la restriction à $D$ d'une fonction entière;

   (iii)

   si l'indice de $\gamma$ par rapport à tout point $z$ du complémentaire de $D$ dans $\mathbb{C}$ est nul.

2. Soit $w_0\in\mathbb{C}\setminus\Gamma$ et $p$ un entier supérieur ou égal à $1$. Calculer
   $$u_k(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_\gamma \frac{\mathrm{e}^{wz}}{(w-w_0)^k} \mathrm{d}w,$$pour$$k=1,2,\dots,p.$$
   On suppose que $w_0$ est un zéro d'ordre $p$ de $P$. Montrer que l'on obtient ainsi $p$ solutions de l'équation différentielle $Lu=0$ en appliquant la question 1 à des fonctions $f$ que l'on précisera.

Exercice 8   Étant donné $\alpha\in]0,\pi[$, on note $\gamma_\alpha$ le chemin $[-\alpha,\alpha]\to\mathbb{C}$ défini par $\gamma_\alpha(\theta)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$. Soit $\varphi_\alpha$ la fonction définie sur le complémentaire de l'image $\Gamma_\alpha$ de $\gamma_\alpha$ par

$$\varphi_\alpha(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma_\alpha}\frac{w}{w-z} \mathrm{d}w.$$

1. Montrer que $\varphi_\alpha$ est holomorphe sur $\mathbb{C}\setminus\Gamma_\alpha$.
2. Ècrire
   1. le développement de Laurent de $\varphi_\alpha(z)$ pour $\vert z\vert>1$,
   2. le développement de Taylor en 0 de $\varphi_\alpha(z)$ pour $\vert z\vert<1$,
3. Déterminer $\lim_{\alpha\to\pi} \varphi_\alpha(z)$ et montrer que cette limite est uniforme sur tout compact qui ne rencontre pas le cecle $\vert z\vert=1$. En déduire $\lim_{\alpha\to\pi} \varphi'_\alpha(z)$ pour $\vert z\vert\neq 1$. Cette limite est-elle uniforme sur tout compact qui ne rencontre pas le cercle $\vert z\vert=1$ ?
4. Soient $\gamma'_\alpha$ et $\gamma''_\alpha$ deux arcs de cercle du demi-plan $\{\mathrm{Re}z\geqslant\cos\alpha\}$, d'origine $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}$ et d'extrémité $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$, le premier tracé dans $\{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert\geqslant 1\}$ et le second dans $\{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert\leqslant 1\}$.
   
   1. Comparer $\varphi_\alpha(z)$ et $\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma'_\alpha}\frac{w}{w-z} \mathrm{d}w$ pour $\vert z\vert<1$ ;
      comparer $\varphi_\alpha(z)$ et $\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_{\gamma''_\alpha}\frac{w}{w-z} \mathrm{d}w$ pour $\vert z\vert>1$.

   2. En déduire l'existence de $\lim_{z\to 1, \vert z\vert<1} \varphi_\alpha(z)$ et $\lim_{z\to 1, \vert z\vert>1} \varphi_\alpha(z)$ et trouver leur différence.
5. Écrire $\varphi''_\alpha(z)$ sous la forme d'une intégrale. Montrer que $\varphi''_\alpha$ se prolonge à $\mathbb{C}$ en une fraction rationnelle. Quels sont ses pôles ? Expliciter le calcul pour $\alpha=\frac{\pi}{2}$.

   En déduire le rayon de convergence du développement de Taylor de $\varphi_\alpha$ en un point $z_0\notin \Gamma_\alpha$ et en particulier le rayon de convergence du développement obtenu au 1.b.

Exercice 9   Soit $f$ une fonction holomorphe dans le disque épointé $D^*(0,1) =D(0,1) \setminus\{0\}$ de centre 0 et de rayon $1$. On suppose que $f$ n'a pas de zéros dans $D^*(0,1)$.

1.  
   1. Donner un exemple d'une fonction de ce type telle que $\frac{f'}{f}$ ait un pôle simple en 0.
   2. Donner un autre exemple tel que $\frac{f'}{f}$ ait un pôle multiple d'ordre $m>1$ en 0 et tel que $f$ ait un point singulier essentiel en 0.
2. Soit $N\in\mathbb{Z}$ un entier relatif non nul. Montrer qu'il n'existe pas de fonction holomorphe $h$ dans $D^*(0,1)$ telle que $z^N= \mathrm{e}^h$ dans $D^*(0,1)$.
3. On considère la fonction holomorphe $\frac{f'}{f}$ sur $D^*(0,1)$ et son développement de Laurent dans $D^*(0,1)$ :
   $$\frac{f'}{f}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nz^n.$$
   1. Montrer que $a_{-1}$ est un entier relatif.
   2. Montrer qu'il existe un entier $N$ et une fonction $g$ holomorphe dans $D^*(0,1)$ tels que
      $$f=z^N\mathrm{e}^g$$
      dans $D^*(0,1)$ et que cette factorisation est unique à un multiple entier de $2\mathrm{i}\pi$ près pour $g$.
4. Discuter la nature de la singularité de $\frac{f'}{f}$ en 0 en fonction de la nature de la singularité de $g$ en 0 et de l'entier $N$.

Exercice 10  

On considère un ouvert connexe $D$ de $\mathbb{C}$ et une fonction $g$ holomorphe sur $\Delta =D\setminus \{a_1,a_2,\cdots,a_n \}$. On cherche les fonctions $F$ qui vérifient les conditions suivantes :

(*) $F$ holomorphe sur $\Delta$ et pour tout $z\in \Delta \quad$ $F'(z)-g(z)F(z)=0$.

1. $\Delta$ est-il connexe? (On pourra utiliser la connexité par arcs).

2. Soit $F$ une solution de (*).
   1. Montrer que si $F$ admet un zéro dans $\Delta$ alors $F$ est identiquement nulle dans $\Delta$.
   2. Soit $F_0$ une solution non identiquement nulle. Montrer que toutes les solutions de $E$ sont de la forme $\lambda F_0$ où $\lambda\in\mathbb{C}$.
3. On suppose que $g$ admet une primitive sur $\Delta$. Montrer que (*) admet une solution de la forme $F(z)=\mathrm{e}^{G(z)}$.

   Trouver explicitement toutes les solutions de (*) si $g(z)=\frac{1}{z^{2} }$ et $\Delta =\mathbb{C}\setminus \{0 \}.$ Quel type de singularité les solutions présentent-elles en 0?

4. Soit $\varphi$ une fonction holomorphe sur $D$ ayant comme zéros dans $D$ l'ensemble $\{a_1,a_2,\cdots,a_n \}$. On suppose que $g=\frac{\varphi '}{\varphi }$. Donner la forme des solutions de (*).

   En déduire les solutions de (*) dans le cas où $g(z)=\frac{m}{z-a}$ où $m\in \mathbb{Z}$, $a\in\mathbb{C}$ et $\Delta =\mathbb{C}\setminus \{a \}$.

5. On suppose maintenant que $D$ est un disque de $\mathbb{C}$ et $\mathrm{Res}(g,a_k)=m_k\in \mathbb{Z}$ pour $1\leqslant k\leqslant n$. On considère la fonction
   $$h(z)=g(z) -\sum_1^n \frac{m_k}{z- a_k}.$$
   Montrer que $h$ possède une primitive dans $\Delta$.

   En déduire la fome générale des solutions de (*).

Exercice 11   Soient $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes dans $\mathbb{C}$ tout entier telles que $\vert f\vert\leqslant \vert g\vert$.

Montrer qu'il existe une constante $C$ telle que

$$f=Cg.$$

Exercice 12   On note $\Delta$ le disque unité de $\mathbb{C}$. Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert contenant le disque unité fermé $\overline{\Delta}$ telle que, pour tout $z\in \partial\Delta$, $\vert f(z)\vert\geqslant 2$ et qui vérifie $f(0)=1$.

La fonction $f$ s'annule-t-elle dans $\Delta$ ?

Exercice 13    

1. Soit $U$ un ouvert borné de $\mathbb{C}$ et $f$ une fonction holomorphe sur $U$. Supposons qu'il existe une constante $M$ telle que pour tout point $z_0$ de la frontière de $U$,
   $$\mathop{\lim\sup}_{z\to z_0} \vert f(z)\vert\leqslant M\;.$$
   Montrer que $\vert f(z)\vert\leqslant M$ pour tout $z\in U$.

Exercice 14   Soit $f$ une fonction holomorphe sur le disque $D(0,R)$ de centre 0 et de rayon $R>0$ de $\mathbb{C}$. On suppose que $f$ possède un zéro d'ordre $k$ à l'origine et que $\vert f\vert$ est majoré par une contante $M$ sur $D(0,R)$.

1. Montrer que pour tout $z\in D(0,R)$, $f$ vérifie
   $$\vert f\vert\leqslant M\vert\frac{z}{R}\vert^k.$$

2. Que peut-on dire s'il y a égalité en un point $z_0\in D(0,R)$ dans l'inégalité précédente ?

Exercice 15  

Soit $\Omega$ un ouvert connexe borné de $\mathbb{C}$, $h$ une fonction holomorphe dans $\Omega$, continue sur $\overline{\Omega}$, non constante, et telle que $\vert h\vert$ est constant sur la frontière de $\Omega$.

1. Montrer que $h$ admet au moins un zéro dans $\Omega$
2. Soit $f$ une fonction holomorphe sur $D(0,1)$ (disque de centre 0 de rayon 1) continue sur $\overline{D(0,1) }$ et de module constant sur le cercle $C(0,1)$. Montrer avec soin que $f$ soit est constante, soit $f$ admet une factorisation de la forme
   $$f(z)=(z-\alpha_1)^{m_1}\ldots (z-\alpha_p)^{m_p}g(z)$$
   où $p\geqslant 1$, $\alpha_1,\ldots,\alpha_p\in D(0,1)$, $m_i>0$ et $g$ est holomorphe et sans zéros dans $D$.
3. On suppose désormais $f$ non constante.
   1. Soit $a\in D(0,1)$, et $\phi_a=\frac{z-a}{1-\bar a z}$. Montrer que $\vert\phi_a(z)\vert=1$ si $\vert z\vert=1$.
   2. Soit $h(z)=f(z)\prod_{i=1}^p \phi_{\alpha_i}(z)^{-m_i}$. Montrer que $h$ définit une fonction holomorphe sur $D(0,1)$ satisfaisant $\vert h(z)\vert=\textrm{Cste}$ si $\vert z\vert=1$.
   3. En déduire $f$.

Exercice 16   Si $f$ est une fonction holomorphe non constante dans un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$ contenant le disque fermé $\overline{D}(0,R)=\{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert\leqslant R\}$, on rappelle l'inégalité de Borel-Carathéodory

$$M(r)\leqslant \frac{2r}{R-r}A(R)+\frac{R+r}{R-r}\vert f(0)\vert,$$

où $0<r<R$, $M(r)=\sup_{\vert z\vert=r}\vert f(z)\vert$ et $A(R)=\sup_{\vert z\vert\leqslant R} \mathrm{Re} f(z)$.

Soit $w$ un nombre complexe fixé. On définit la fonction $f$ par $f(z)=z\mathrm{e}^{-z}-w$ pour $z\in\mathbb{C}$. On suppose que $f$ ne s'annule pas dans $\mathbb{C}$.

1. Montrer que $\frac{f'}{f}$ est une fonction entière.
2. En déduire qu'il existe une fonction entière $g$ telle que $z\mathrm{e}^{-z}-w=\mathrm{e}^{g(z)}$ pour tout $z\in\mathbb{C}$.
3. Montrer qu'il existe un nombre $R_0>0$ tel que pour tout $z$ tel que $\vert z\vert\geqslant R_0$, la fonction $g$ vérifie la majoration $\mathrm{Re} g(z)\leqslant 2\vert z\vert$.
4. En déduire qu'il existe des constantes $C_1$ et $C_2$ strictement positives telles que :
   $$\vert g(z)\vert\leqslant C_1\vert z\vert+C_2$$   pour$$\vert z\vert\geqslant R_0.$$

5. Montrer que $g$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $1$ :
   $$g(z)=a_0z+a_1.$$

6. Montrer que l'égalité
   $$z\mathrm{e}^{-z}-w=\mathrm{e}^{a_0z+a_1}$$   pour tout$$z\in\mathbb{C}$$
   est impossible. Conclure.

Exercice 17   Soient $\Omega$ et $\Omega'$ deux ouverts connexes de $\mathbb{C}$ et $f : \Omega\to\Omega'$ une application holomorphe telle que pour tout compact $K$ de $\Omega'$, $f^{-1}(K)$ soit un compact de $\Omega$. On dira dans ce cas que $f$ est propre.

1. Montrer par un raisonnement purement topologique simple que $f$ est une application fermée, c'est-à-dire si $F$ est un fermé de l'ouvert $\Omega$, $f(F)$ est fermé dans $\Omega'$.
2. Montrer que $f$ est surjective, i.e. $f(\Omega)=\Omega'$.
3. En considérant l'application $f : \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ définie par un polynôme non constant, en déduire une nouvelle démonstration du théorème de d'Alembert.

Exercice 18   On pose

$$f(z)=-1+2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}\mathrm{e}^{-nz}.$$

1. Montrer qu'on définit ainsi une fonction analytique sur le demi-plan $P=\{z=x+\mathrm{i}y \vert x>0\}$, continue et bornée sur $\overline{P}$. La fonction $f$ admet-elle une période, et laquelle ?
2. Montrer que $f$ est solution sur $P$ de l'équation différentielle linéaire
   $$(1) \qquad\qquad w''+w=\tanh(\frac{z}{2}).$$
   Que peut-on dire de la différence de deux solutions de (1) ? Al'aide de la fonction $f$ et de fonctions élémentaires, donner la solution générale de l'équation (1) pour $z\in P$. Quelles sont les solutions de période $2\mathrm{i}\pi$ ? Quelles sont les solutions bornées sur $P$ ?
3. Déterminer les pôles de la fonction $z\mapsto\tanh(\frac{z}{2})$, puis le plus grand ouvert $U$, étoilé par rapport à 0 et ne contenant aucun de ces pôles.

   Soient $u$ et $v$ deux fonctions analytiques sur $U$ telles que

   $$u'(z)=-\tanh(\frac{z}{2})\sin z$$   et$$\quad v'(z)=\tanh(\frac{z}{2})\cos z.$$
   Dire avec précision pourquoi il existe de telles fonctions et montrer que $z\mapsto u(z)\cos z+v(z)\sin z$ est solution de (1) pour $z\in U$.
4. En comparant les résultats des questions 2 et 3, montrer que $f$ se prolonge en une fonction analytique sur $U$, encore notée $f$. On a évidemment $f(0)=-1+2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}$. Montrer qu'on a aussi
   $$f'(0)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nn}{1+n^2}.$$
   (On pourra appliquer la transformation d'Abel
   $$a_nb_n+\dots+a_{n+p}b_{n+p}=\sum_{q=1}^p(a_n+\dots+a_{n+q-1})(b_{n+q-1}-b_{n+q})+(a_n+\dots+a_{n+p})b_{n+p}$$
   avec $a_n=\frac{(-1)^nn}{1+n^2}$ et $b_n=\mathrm{e}^{-nx}$.)

Exercice 19   Pour tout entier $n>0$ et tout $z\in\Omega =\mathbb{C}\setminus \mathbb{Z}$ on pose

$$S_n(z)= \sum_{k=-n}^{k=n}\frac{1}{(z-k)^{2}}.$$

1. Montrer que la suite $S_n$ converge uniformément sur tout compact de $\Omega$. En déduire que $g(z)=\lim_{n\to +\infty}S_n(z)$ définit une fonction holomorphe sur $\Omega$. £
2. On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\Omega$ par $${\varphi (z)=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^{2}-g(z)}$$.

   Montrer que $\varphi$ est 1-périodique (i.e. vérifie $\varphi (z+1) =\varphi (z)$ pour tout $z\in \Omega$).

3. Montrer que $${\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^{2} -\frac{1}{z^{2}}}$$ admet une limite quand $z$ tend vers 0 et en déduire que $\varphi$ se prolonge en une fonction holomorphe 1-périodique sur $\mathbb{C}$.
4. On pose $z=x+\mathrm{i}y$ ($x$ et $y$ réels). Calculer $\vert\sin(z)\vert^{2}$ et montrer que si $\vert y\vert>1$ et $\vert x\vert\leqslant \frac{1}{2}$ on a
   $$\left\vert\varphi (z)\right\vert \leqslant \left(\frac{\pi}{sh(\pi)}\right)^{2} +1 +2 \sum_1^{+\infty} \frac{1}{(n-1/2)^{2} }.$$

5. Montrer que $\varphi$ est bornée sur $\mathbb{C}$. Calculer $\lim_{y\to +\infty}g(iy)$ et $\lim_{y\to +\infty}\vert\sin(\pi i y)\vert$. En déduire que pour tout $z\in \Omega$ on a :
   $$g(z)=\left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^{2}.$$

Exercice 20   Pour tout couple de réels $0\leqslant a <b$, on note $B(a,b)$ la bande $\{z\in \mathbb{C}\; ; \; a<\mathrm{Im}z <b \}$. Si $T$ est un réel non nul, on dit qu'une fonction $f$ holomorphe sur $B(a,b)$ est $T$-périodique si, pour tout $z\in B(a,b)$ on a $f(z+T)=f(z)$. On note aussi $B(0,+\infty)$ le demi-plan supérieur $\{z\in \mathbb{C}\; ;\; \mathrm{Im}(z)>0 \}$.

A) Un cas particulier

1. Démontrer que la série
   $$\sum_0^{+\infty} (-1)^{n}\mathrm{e}^{(2n+1)\mathrm{i}z}$$
   définit une fonction holomorphe sur $B(0,+\infty)$.
2. Montrer que $\frac{1}{\cos z}$ est holomorphe sur $B(0,+\infty)$ et périodique de période $2\pi$.
3. Etablir que pour tout $z\in B(0,+\infty)$ on a
   $$\frac{1}{\cos z}= 2 \sum_0^{+\infty} (-1)^{n}\mathrm{e}^{(2n+1)\mathrm{i}z}.$$

B) Généralisation

1. Montrer que l'application $\varphi$ définie sur $\mathbb{C}$ par
   $$\varphi (z)= \exp\left(\frac{2\pi \mathrm{i}z}{T}\right)$$
   définit une application holomorphe de $B(a,b)$ sur la couronne $A(r,R)$ de centre 0 et de rayons $r=\exp\left(-\frac{2\pi }{T}b\right)$ et $R=\exp\left(-\frac{2\pi }{T}a\right).$

2. Si $f$ est holomorphe et périodique de période $T$ sur $B(a,b)$ pour tout $u\in B(a,b)$ on pose $g(\varphi (u))=f(u)$. Montrer que l'on définit ainsi une fonction holomorphe sur $A(r,R)$.
3. En utilisant le développement en série de Laurent de $g$, en déduire que $f$ s'écrit de façon unique sous la forme

   $$f(z)= \sum_{-\infty }^{+\infty} a_n \exp\left(\frac{2\pi n \mathrm{i} z}{T}\right)$$ (8)

   
   
   où les $a_i$ sont des complexes tels que les séries entières $\sum_{n\geqslant 0}a_nz^{n}$et $\sum_{n\geqslant 0}a_{-n}z^{n}$ ont des rayons de convergence supérieurs ou égaux à $\exp\left(-\frac{2\pi }{T}a\right)$ et $\exp\left(-\frac{2\pi }{T}b\right)$ respectivement.
4. Montrer que réciproquement si une suite $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ satisfait ces conditions alors (8) définit une fonction holomorphe périodique de période $T$ sur la bande $B(a,r)$.

Exercice 21    

1. Montrer que l'intégrale $g(z)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{z+t} \mathrm{d}t$ est convergente pour $z$ dans $\mathbb{C}$ privé de l'ensemble des réels négatifs ou nuls et définit une fonction holomorphe sur cet ensemble. (On pourra effectuer une intégration par parties).
2. Pour $x>0$ fixé, montrer en intégrant la fonction $f(z)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}}{x+z}$ sur un quart de cercle de rayon $R$ bien choisi et en faisant tendre $R$ vers $+\infty$ que :
   $$\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}}{x+t} \mathrm{d}t=\mathrm{i}\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{x+\mathrm{i}t} \mathrm{d}t.$$

3. En déduire que pour $\mathrm{Re} z>0$, on a :
   $$g(z)=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-uz}}{1+u^2} \mathrm{d}u.$$

Exercice 22   Soit la fonction d'une variable complexe $z$ définie par

$$f(z)=\int_1^\infty \frac{t-1}{t^2(t-z)} \mathrm{d}t.$$

1. Dans quel ouvert $D$ du plan complexe $f$ est-elle définie ?
2. Montrer que $f$ est holomorphe sur D. Calculer, en fonction de $n$, la dérivée $n$-ième de $f$ en 0 et déterminer le développement en série entière de $f$ au voisinage de 0 ; dans quel ouvert ce développement est-il valable ?
3. Soit $x$ un réel strictement inférieur à $1$, calculer $f(x)$. En déduire la valeur de $f(z)$ pour $z\in D$.
4. Calculer $f(z)+f(\frac{z}{z-1})$ pour $z\in D$.

Exercice 23    

1. Déterminer les singularités de la fonction de la variable complexe $z$ :
   $$f(z)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}tz}}{(z^2+1)^2},$$
   où $t$ est un réel fixé. Calculer les résidus de $f$ aux points singuliers.
2. Calculer par la méthode des résidus
   $$F(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}}{(x^2+1)^2} dx,$$
   où $t$ est un nombre réel.
3. Soit $G(z)=z^3\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}{(x^2+z)^2} dx,$.
   1. Dans quel ouvert $D$ de $\mathbb{C}$ la fonction $G$ est-elle définie ? Montrer que $G$ est holomorphe sur $D$.
   2. Montrer que $F(t)=G(z)$ pour $z=t\in\mathbb{R}_+^*$.
   3. En déduire la valeur de $G(z)$ pour $z\in D$.

Exercice 24   On rappelle que les racines de $\sin z= 0$ sont réelles. Soit $f$ la fonction méromorphe définie par

$$f(z)=\frac{\pi \cot \pi z}{(z^{2}+1) ^{2} }.$$

1. Déterminer les points singuliers de $f$.
2. Calculer le résidu de $f$ en chacun de ses pôles.
3. Pour tout entier naturel $N$, soit $\Gamma _N$ le bord orienté positivement du carré de sommets $(N+\frac{1}{2})(1+\mathrm{i}), (N+\frac{1}{2})(-1+\mathrm{i}),(N+\frac{1}{2})(-1-\mathrm{i})$ et $(N+\frac{1}{2})(1-\mathrm{i})$.

   Montrer que si $Im(z)\geqslant \frac{1}{2}$ on a $\vert\cot(\pi z)\vert\leqslant \coth \frac{\pi }{2}$ et que si $\vert Im(z)\vert< \frac{1}{2}$, alors pour tout $k\in\mathbb{Z}$

   $$\left\vert\cot\left(\pi (\frac{2k +1}{2} + \mathrm{i}y )\right)\right\vert\leqslant \tanh \left(\frac{\pi }{2}\right).$$

   En déduire la limite quand $N$ tend vers l'infini de

   $$\int_{\Gamma _N}f(z)\mathrm{d}z.$$

4. Calculer la somme de la série
   $$\sum_0^{+\infty} \frac{1}{(n^{2}+1)^{2} }.$$

Exercice 25   On note $\alpha =(1+\mathrm{i})\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ et

$$g(z) = \frac{\mathrm{e}^{-z^{2} }}{1+ \exp(-2\alpha z)}.$$

1. Montrer que $g$ est méromorphe sur $\mathbb{C}$ et n'a que des pôles simples que l'on déterminera.
2. Soit $\Delta$ l'ensemble des pôles de $g$. Si $z\not \in \Delta$ montrer que $g(z)-g(z+\alpha )=\mathrm{e}^{-z^2}.$
3. En intégrant $g$ le long du parallélogramme de sommets $R, R+\alpha , -R + \alpha$ et $-R$, en déduire la valeur de l'intégrale
   $$\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^{2} } dx.$$

Exercice 26   Soit $F=P/Q$ une fraction rationnelle sans pôle réel telle que $\deg(Q)\geqslant \deg(P)+2$. Montrer que $x\mapsto F(x) \ln(\vert x\vert)$ est intégrable sur $\mathbb{R}$.

On note $\log$ la détermination principale du logarithme sur $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}^{-}$ (sa partie imaginaire appartient à $]-\pi/2, 3\pi/2[$).

1. Soit $r$ un réel strictement positif, pour $t\in [0,\pi]$ on pose $\gamma_r(t)= r\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$. Montrer que les limites suivantes existent et les calculer :
   $$\lim_{r\to 0}\int_{\gamma _r }F(z)\log (z) \mathrm{d}z,$$   et$$\quad \lim_{r\to +\infty} \int_{\gamma _r }F(z)\log (z) \mathrm{d}z.$$

2. En déduire que
   $$\int_{\mathbb{R} } F(x) \ln(\vert x\vert) dx = -2\pi \mathrm{Im}m\left(\sum_{a_i} \mathrm{Res}(F(z)\log(z), a_i )\right)$$
   où les $a_i$ sont les pôles de $F$ dont la partie imaginaire est strictement positive.
3. Application : calculer
   $$\int_{\mathbb{R} }\frac{\ln\vert x\vert}{(x^{2}+1)^{2} } \mathrm{d}x.$$

Exercice 27   Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. On considère la fonction qui à $z$ associe :

$$f(z) = \frac{1}{(z^2+a^2)(z^2+b^2)}\;.$$

1. Montrer que la fonction $f$ est méromorphe, calculer ses 4 pôles, et donner le résidu de $f$ en chacun de ces pôles.
2. Soit $R$ un réel positif. On note $\gamma$ le chemin qui à $t\in [0,\pi]$ associe $R\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$. Démontrer que
   $$\lim_{R\to+\infty}\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d}z=0 \;.$$

3. On suppose $R>\max\{a,b\}$. En appliquant le théorème des résidus, calculer
   $$\int_{-R}^{+R} f(x) \mathrm{d}x+\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z\;.$$

4. Déduire de ce qui précède que
   $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \frac{\pi}{ab(a+b)}\;.$$

Exercice 28   On considère la fonction qui à $z$ associe :

$$f(z) = \frac{1}{1+z^4}\;.$$

1. Montrer que la fonction $f$ est méromorphe, calculer ses 4 pôles, et donner le résidu de $f$ en chacun de ces pôles.
2. Soit $R$ un réel positif. On note $\gamma$ le chemin qui à $t\in [0,\pi]$ associe $R\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$. Démontrer que
   $$\lim_{R\to+\infty}\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d}z=0 \;.$$

3. On suppose $R>1$. En appliquant le théorème des résidus, calculer
   $$\int_{-R}^{+R} f(x) \mathrm{d}x+\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z\;.$$

4. Déduire de ce qui précède que
   $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}\;.$$

Exercice 29   Soit $w$ un nombre complexe.

1. Montrer que si $\vert w\vert<\frac{1}{e}$, la fonction $f$ définie sur $\mathbb{C}$ par $f(z)=z\mathrm{e}^{-z}-w$ a un zéro unique dans le disque unité. On désigne par $h(w)$ cet unique zéro de $f$; la fonction $h$ est donc définie pour $\vert w\vert<\frac{1}{e}$.
2. Montrer que si $\gamma$ désigne le cercle unité orienté positivement, on a :
   $$(1)\qquad\qquad h(w)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi}\int_\gamma\frac{z(1-z)\mathrm{e}^{-z}}{z\mathrm{e}^{-z}-w} \mathrm{d}z.$$

3. En déduire que pour $\vert w\vert<\frac{1}{e}$, on a $h(w)=w+\frac{2w^2}{2!}+\dots+\frac{n^{n-1}}{n!}w^n+\dots$
4. Montrer que pour $\alpha\in\mathbb{C}$, on a $\mathrm{e}^{\alpha h(w)}=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{\alpha(\alpha+n)^{n-1}}{n!} w^n$ pour $\vert w\vert<\frac{1}{\mathrm{e}}$. On utilisera une intégrale analogue à (1).
5. Étudier les variations de la fonction $x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}$ pour $x$ réel positif ou nul.

   Montrer que la série de fonctions de la variable réelle $x$

   $$S(x)=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{\alpha(\alpha+n)^{n-1}}{n!}x^n\mathrm{e}^{-nx}$$
   converge normalement pour $x\geqslant 0$. Montrer que $S(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}$ pour $0\leqslant x\leqslant 1$ et que $S(x)=\mathrm{e}^{\alpha x'}$ pour $x\geqslant 1$, où $x'$ est la solution appartenant à $[0,1]$ de l'équation : $x'\mathrm{e}^{-x'}=x\mathrm{e}^{-x}$.

Exercice 30   Soit $\lambda\in\mathbb{C}$ tel que $\mathrm{Re}\lambda>1$. Montrer que l'équation $z+\mathrm{e}^{-z}-\lambda=0$ a exactement une solution dans le demi-plan $\mathrm{Re}z\geqslant 0$. On pourra considérer un demi disque de centre 0 et de rayon $R$ assez grand.

Exercice 31  

Soit $D$ un ouvert connexe borné de $\mathbb{C}$, contenant l'origine et $f$ une application holomorphe de $D$ dans lui-même telle que $f(0)=0$. On va montrer que $f$ est un automorphisme de $D$ si et seulement si $\vert f'(0)\vert=1$.

1. Montrer qu'il existe des constantes $M_p$, $p\in\mathbb{N}$, telles que pour toute fonction $g$ holomorphe dans $D$ vérifiant $g(D)\subset D$, on ait :
   $$\vert g^{(p)}(0)\vert\leqslant M_p.$$

2. Soit $f$ une fonction holomorphe dans $D$ vérifiant $f(D)\subset D$ et $f(0)=0$.
   1. On définit les fonctions $f_n$ par $f_1=f$ et la relation de récurrence $f_{n+1}=f\circ f_n$ si $n\geqslant 1$. Montrer que $f_n$ est holomorphe dans $D$ et calculer $f_n'(0)$ en fonction de $f'(0)$.
   2. En déduire que $\vert f'(0)\vert\leqslant 1$.
   3. Montrer que, si $f$ est un automorphisme de $D$, $\vert f'(0)\vert=1$.
3. Montrer que, si $f'(0)=1$, $f(z)=z$ pour tout $z\in D$. (On raisonnera par l'absurde en supposant que le développement de $f$ en série entière à l'origine s'écrit :
   $$f(z)=z+\sum_{k=p}^{+\infty} c_kz^k,$$
   $p$ étant un entier strictement supérieur à $1$, et on calculera le coefficient de $z^p$ dans le développement de $f_n$.)
4. On suppose qu'il existe $k\in\mathbb{N}$, $k\neq 0$, tel que $f'(0)^k=1$. Montrer que $f$ est un automorphisme de $D$.
5. On munit l'espace $\mathcal{H}(D)$ des fonctions holomorphes dans $D$ de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de $D$.
   1. Montrer que l'ensemble des fonctions fonctions $g$ holomorphes dans $D$ vérifiant $g(D)\subset D$ et $g(0)=0$ est une partie compacte de $\mathcal{H}(D)$.

   2. On suppose que $f'(0)=\lambda$, $\vert\lambda\vert=1$ et que l'ensemble $\{\lambda^k, k\in\mathbb{N}\}$ est dense l'ensemble $\{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert=1\}$. Montrer qu'il existe une sous-suite de la suite $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ qui converge uniformément sur tout compact de $D$ vers l'identité de $D$.
6. Montrer que pour toute suite $(g_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de fonctions holomorphes sur $D$ qui converge vers une fonction $g$ uniformément sur tout compact de $D$, si $g$ prend la valeur $w$ et n'est pas la fonction constante égale à $w$, alors pour $n$ assez grand la fonction $g_n$ prend la valeur $w$.
7. On rappelle que tout sous-groupe multiplicatif du groupe des nombres complexes de module $1$ est fini ou dense.

   Déduire de ce qui précède que, si $\vert f'(0)\vert=1$, $f$ est une application injective et surjective de $D$ sur lui-même.

Exercice 32   Calculer le développement en série de Laurent de $f$ en $a$ dans les cas suivants.

1. $f(z)=\mathrm{e}^{\frac{1}{z}}$ en $a=0$
2. $f(z)=\frac{z-\sin(z)}{z^3}$ en $a=0$
3. $f(z)=(z-3)\sin\left(\frac{1}{z+2}\right)$ en $a=-2$