Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$. On note $P$ et $Q$ les deux applications de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ qui à $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ associent

$$P(x,y)=\mathrm{Re} f(x+\mathrm{i}y)$$   et$$\quad Q(x,y)=\mathrm{Im} f(x+\mathrm{i}y)\;.$$

Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$$P$ et $Q$ sont continûment différentiables.
2. $\square\;$$P$ et $Q$ sont holomorphes.
3. $\square\;$ $${\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x}}$$
4. $\boxtimes\;$ $${\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial y}}$$
5. $\boxtimes\;$ $${\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial Q}{\partial x}}$$
6. $\square\;$ $${\frac{\partial P}{\partial x}=-\frac{\partial Q}{\partial x}}$$

Vrai-Faux 2   Soit $f$ une fonction holomorphe non constante sur $\mathbb{C}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$$\vert f\vert^2$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$
2. $\boxtimes\;$$f^2$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$
3. $\square\;$ $\mathrm{Re} f+\mathrm{i}(\mathrm{Re} f)^2$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$
4. $\square\;$ $\overline{f}^2$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$
5. $\square\;$ $\frac{1}{f^2}$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$
6. $\square\;$ $\frac{1}{f^2}$ est bijective sur $\mathbb{C}$
7. $\boxtimes\;$il existe un ouvert de $\mathbb{C}$ sur lequel $f$ est bijective

Vrai-Faux 3   On note $\gamma_1$, $\gamma_2$ et $\gamma_3$ les chemins définis sur $[0,\pi]$ par :

$$\gamma_1(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\;,\quad \gamma_2(t)=-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}\;,\quad \gamma_3(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(t+\pi)}\;.$$

On note $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ les images respectives de $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$. Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$$\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont des chemins équivalents
2. $\square\;$$\gamma_2$ et $\gamma_3$ sont des chemins équivalents
3. $\boxtimes\;$ $\Gamma_1=\Gamma_2$
4. $\square\;$ $\Gamma_1=\Gamma_3$
5. $\square\;$ $${\int_{\gamma_1} f(z) \mathrm{d}z=\int_{\gamma_3} f(z) \mathrm{d}z}$$
6. $\boxtimes\;$ $${\int_{\gamma_1} f(z) \mathrm{d}z=-\int_{\gamma_2} f(z) \mathrm{d}z}$$
7. $\boxtimes\;$ $${\int_{\gamma_1} f(z) \mathrm{d}z=-\int_{\gamma_3} f(z) \mathrm{d}z}$$

Vrai-Faux 4   On note $\gamma$ le chemin de $[0,2\pi]$ dans $\mathbb{C}$ qui à $t$ associe $\mathrm{e}^{4\mathrm{i}t}$ si $t\in [0,\pi]$, et $2-\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}$ si $t\in[\pi,2\pi]$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$L'indice de $\gamma$ par rapport à $1$ vaut $1$
2. $\boxtimes\;$L'indice de $\gamma$ par rapport à $-1$ n'est pas défini
3. $\boxtimes\;$L'indice de $\gamma$ par rapport à $1+\mathrm{i}$ est nul
4. $\square\;$L'indice de $\gamma$ par rapport à $2$ vaut $1$
5. $\square\;$L'indice de $\gamma$ par rapport à 0 vaut $1$
6. $\boxtimes\;$L'indice de $\gamma$ par rapport à $\frac{1+\mathrm{i}}{2}$ vaut $2$
7. $\boxtimes\;$L'indice de $\gamma$ par rapport à $\frac{3-\mathrm{i}}{2}$ vaut $-1$

Vrai-Faux 5   On note $\gamma$ le chemin de $[0,2\pi]$ dans $\mathbb{C}$ qui à $t$ associe $\mathrm{e}^{4\mathrm{i}t}$ si $t\in [0,\pi]$, et $2-\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}$ si $t\in[\pi,2\pi]$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ $${\int_\gamma \frac{1}{\omega} \mathrm{d}\omega=2}$$
2. $\boxtimes\;$ $${\int_\gamma \frac{1}{\omega} \mathrm{d}\omega=4\mathrm{i}\pi}$$
3. $\square\;$ $${\int_\gamma \frac{1}{\omega-2} \mathrm{d}\omega=2\mathrm{i}\pi}$$
4. $\boxtimes\;$ $${\int_\gamma \frac{1}{\omega+2} \mathrm{d}\omega=0}$$
5. $\square\;$ $${\int_\gamma \frac{1}{\omega-1+\mathrm{i}} \mathrm{d}\omega=2\mathrm{i}\pi}$$
6. $\square\;$ $${\int_\gamma \frac{1}{\omega-2+\mathrm{i}} \mathrm{d}\omega=0}$$

Vrai-Faux 6   Pour $a\in\mathbb{C}$ et $r>0$, on note $D(a,r)$ le disque ouvert de centre $a$ et de rayon $r$ : $D(a,r)=\{z\in\mathbb{C} ,\;\vert z-a\vert<r\}$. On note $f$ la fonction qui à $z$ associe $f(z)=\frac{1}{z^2-2z}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$La fonction $f$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$
2. $\boxtimes\;$La fonction $f$ est holomorphe sur $D(1,1)$
3. $\boxtimes\;$La fonction $f$ est holomorphe sur $D(1+\mathrm{i},\sqrt{2})$
4. $\square\;$La fonction $f$ est holomorphe sur $D(\mathrm{i},\sqrt{2})$
5. $\boxtimes\;$La fonction $f$ est méromorphe sur $\mathbb{C}$
6. $\square\;$Le résidu de $f$ en 0 est $\frac{1}{2}$
7. $\boxtimes\;$Le résidu de $f$ en $2$ est $\frac{1}{2}$

Vrai-Faux 7   On note $f$ la fonction qui à $z$ associe $f(z)=\frac{1}{2z-z^2}$. On note $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$ les chemins de $[0,2\pi]$ dans $\mathbb{C}$ qui à $t$ associent

$$\gamma_1(t)=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}\;;\quad \gamma_2(t)=2-\math... ... 2-\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}&\mbox{si}&t\in[\pi,2\pi]\;. \end{array}\right.$$

Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$Le résidu de $f$ en 0 est $-\frac{1}{2}$
2. $\boxtimes\;$Le résidu de $f$ en $2$ est $-\frac{1}{2}$
3. $\boxtimes\;$L'intégrale de $f$ sur $\gamma_1$ est $2\mathrm{i}\pi$
4. $\square\;$L'intégrale de $f$ sur $\gamma_2$ est $-2\mathrm{i}\pi$
5. $\square\;$L'intégrale de $f$ sur $\gamma_3$ est $-\mathrm{i}\pi$

Vrai-Faux 8   Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$Si $\vert f\vert$ est bornée, alors $f$ est constante.
2. $\square\;$Si $\mathrm{Re} f$ est bornée, alors $f$ est constante.
3. $\square\;$Si $\mathrm{Re} f$ s'annule sur le segment $[0,1]$, alors $f$ est identiquement nulle.
4. $\boxtimes\;$Si $\vert f\vert$ s'annule sur le segment $[0,1]$, alors $f$ est identiquement nulle.
5. $\square\;$Si $\mathrm{Re} f$ admet un maximum, alors $f$ est identiquement nulle.
6. $\boxtimes\;$Si $\vert f\vert$ admet un maximum relatif sur le disque ouvert $D(0,1)$, alors $f$ est constante.
7. $\boxtimes\;$L'image par $f$ du disque ouvert $D(0,1)$ est un ouvert de $\mathbb{C}$.

Vrai-Faux 9   Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\mathbb{C}$. On note $D(0,1)$ le disque ouvert de centre 0 et de rayon $1$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$Si pour tout $t\in [0,2\pi]$, $\vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})\vert<1$, alors $f$ a exactement un zéro dans $D(0,1)$.
2. $\square\;$Si pour tout $t\in [0,2\pi]$, $\vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}\vert<1$, alors $f$ a au moins deux zéros distincts dans $D(0,1)$.
3. $\boxtimes\;$Si pour tout $t\in [0,2\pi]$, $\vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}\vert<1$, alors $f$ a deux zéros distncts ou bien un zéro double dans $D(0,1)$.
4. $\square\;$Si pour tout $t\in [0,2\pi]$, $\vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}-\frac{1}{4}\vert< \vert\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}+\frac{1}{4}\vert$, alors $f$ ne s'annule pas dans $D(0,1)$.
5. $\boxtimes\;$Si pour tout $t\in [0,2\pi]$, $\vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}-4\vert< \vert\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}+4\vert$, alors $f$ ne s'annule pas dans $D(0,1)$.

Vrai-Faux 10   On note $f$ la fonction qui à $z$ associe $\frac{1}{\sin(\pi z)}$. On note $\gamma$ le chemin de $[-\frac{1}{2},\frac{11}{2}]$ dans $\mathbb{C}$ qui à $t$ associe $t+\mathrm{i}\cos(\pi t)$ si $t\in [-\frac{1}{2},\frac{5}{2}]$, $5-t+\mathrm{i}\cos(\pi t)$ si $t\in [\frac{5}{2},\frac{11}{2}]$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$La fonction $f$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$
2. $\boxtimes\;$La fonction $f$ est holomorphe sur le demi-plan $\{z\in\mathbb{C} ,\;\mathrm{Im} z>0\}$
3. $\boxtimes\;$La fonction $f$ est méromorphe sur $\mathbb{C}$
4. $\boxtimes\;$L'ensemble des pôles de $f$ est $\mathbb{Z}$
5. $\square\;$Pour tout $n\in\mathbb{Z}$, le résidu de $f$ en $n$ est $1$
6. $\boxtimes\;$Pour tout $n\in\mathbb{Z}$, le résidu de $f$ en $2n$ est $\frac{1}{\pi}$
7. $\square\;$Pour tout $n\in\mathbb{Z}$, l'indice de $\gamma$ en $2n$ est $-1$
8. $\boxtimes\;$L'indice de $\gamma$ en 0 est $-1$
9. $\square\;$L'indice de $\gamma$ en $1$ est $-1$
10. $\square\;$L'intégrale de $f$ sur $\gamma$ est $3\mathrm{i}$
11. $\boxtimes\;$L'intégrale de $f$ sur $\gamma$ est $-6\mathrm{i}$