Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $ f$ une fonction holomorphe sur $ \mathbb{C}$. On note $ P$ et $ Q$ les deux applications de $ \mathbb{R}^2$ dans $ \mathbb{R}$ qui à $ (x,y)\in\mathbb{R}^2$ associent

$\displaystyle P(x,y)=\mathrm{Re} f(x+\mathrm{i}y)$   et$\displaystyle \quad
Q(x,y)=\mathrm{Im} f(x+\mathrm{i}y)\;.
$

Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$$ P$ et $ Q$ sont continûment différentiables.
  2. $ \square\;$$ P$ et $ Q$ sont holomorphes.
  3. $ \square\;$ $ \displaystyle{\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x}}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial y}}$
  5. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial Q}{\partial x}}$
  6. $ \square\;$ $ \displaystyle{\frac{\partial P}{\partial x}=-\frac{\partial Q}{\partial x}}$

Vrai-Faux 2   Soit $ f$ une fonction holomorphe non constante sur $ \mathbb{C}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$$ \vert f\vert^2$ est holomorphe sur $ \mathbb{C}$
  2. $ \boxtimes\;$$ f^2$ est holomorphe sur $ \mathbb{C}$
  3. $ \square\;$ $ \mathrm{Re} f+\mathrm{i}(\mathrm{Re} f)^2$ est holomorphe sur $ \mathbb{C}$
  4. $ \square\;$ $ \overline{f}^2$ est holomorphe sur $ \mathbb{C}$
  5. $ \square\;$ $ \frac{1}{f^2}$ est holomorphe sur $ \mathbb{C}$
  6. $ \square\;$ $ \frac{1}{f^2}$ est bijective sur $ \mathbb{C}$
  7. $ \boxtimes\;$il existe un ouvert de $ \mathbb{C}$ sur lequel $ f$ est bijective

Vrai-Faux 3   On note $ \gamma_1$, $ \gamma_2$ et $ \gamma_3$ les chemins définis sur $ [0,\pi]$ par :

$\displaystyle \gamma_1(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\;,\quad
\gamma_2(t)=-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}\;,\quad
\gamma_3(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(t+\pi)}\;.
$

On note $ \Gamma_1$, $ \Gamma_2$, $ \Gamma_3$ les images respectives de $ \gamma_1$, $ \gamma_2$, $ \gamma_3$. Soit $ f$ une fonction holomorphe sur $ \mathbb{C}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$$ \gamma_1$ et $ \gamma_2$ sont des chemins équivalents
  2. $ \square\;$$ \gamma_2$ et $ \gamma_3$ sont des chemins équivalents
  3. $ \boxtimes\;$ $ \Gamma_1=\Gamma_2$
  4. $ \square\;$ $ \Gamma_1=\Gamma_3$
  5. $ \square\;$ $ \displaystyle{\int_{\gamma_1} f(z) \mathrm{d}z=\int_{\gamma_3} f(z) \mathrm{d}z}$
  6. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\int_{\gamma_1} f(z) \mathrm{d}z=-\int_{\gamma_2} f(z) \mathrm{d}z}$
  7. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\int_{\gamma_1} f(z) \mathrm{d}z=-\int_{\gamma_3} f(z) \mathrm{d}z}$

Vrai-Faux 4   On note $ \gamma$ le chemin de $ [0,2\pi]$ dans $ \mathbb{C}$ qui à $ t$ associe $ \mathrm{e}^{4\mathrm{i}t}$ si $ t\in [0,\pi]$, et $ 2-\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}$ si $ t\in[\pi,2\pi]$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$L'indice de $ \gamma$ par rapport à $ 1$ vaut $ 1$
  2. $ \boxtimes\;$L'indice de $ \gamma$ par rapport à $ -1$ n'est pas défini
  3. $ \boxtimes\;$L'indice de $ \gamma$ par rapport à $ 1+\mathrm{i}$ est nul
  4. $ \square\;$L'indice de $ \gamma$ par rapport à $ 2$ vaut $ 1$
  5. $ \square\;$L'indice de $ \gamma$ par rapport à 0 vaut $ 1$
  6. $ \boxtimes\;$L'indice de $ \gamma$ par rapport à $ \frac{1+\mathrm{i}}{2}$ vaut $ 2$
  7. $ \boxtimes\;$L'indice de $ \gamma$ par rapport à $ \frac{3-\mathrm{i}}{2}$ vaut $ -1$

Vrai-Faux 5   On note $ \gamma$ le chemin de $ [0,2\pi]$ dans $ \mathbb{C}$ qui à $ t$ associe $ \mathrm{e}^{4\mathrm{i}t}$ si $ t\in [0,\pi]$, et $ 2-\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}$ si $ t\in[\pi,2\pi]$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$ $ \displaystyle{\int_\gamma \frac{1}{\omega} \mathrm{d}\omega=2}$
  2. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\int_\gamma \frac{1}{\omega} \mathrm{d}\omega=4\mathrm{i}\pi}$
  3. $ \square\;$ $ \displaystyle{\int_\gamma \frac{1}{\omega-2} \mathrm{d}\omega=2\mathrm{i}\pi}$
  4. $ \boxtimes\;$ $ \displaystyle{\int_\gamma \frac{1}{\omega+2} \mathrm{d}\omega=0}$
  5. $ \square\;$ $ \displaystyle{\int_\gamma \frac{1}{\omega-1+\mathrm{i}} \mathrm{d}\omega=2\mathrm{i}\pi}$
  6. $ \square\;$ $ \displaystyle{\int_\gamma \frac{1}{\omega-2+\mathrm{i}} \mathrm{d}\omega=0}$

Vrai-Faux 6   Pour $ a\in\mathbb{C}$ et $ r>0$, on note $ D(a,r)$ le disque ouvert de centre $ a$ et de rayon $ r$ : $ D(a,r)=\{z\in\mathbb{C} ,\;\vert z-a\vert<r\}$. On note $ f$ la fonction qui à $ z$ associe $ f(z)=\frac{1}{z^2-2z}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$La fonction $ f$ est holomorphe sur $ \mathbb{C}$
  2. $ \boxtimes\;$La fonction $ f$ est holomorphe sur $ D(1,1)$
  3. $ \boxtimes\;$La fonction $ f$ est holomorphe sur $ D(1+\mathrm{i},\sqrt{2})$
  4. $ \square\;$La fonction $ f$ est holomorphe sur $ D(\mathrm{i},\sqrt{2})$
  5. $ \boxtimes\;$La fonction $ f$ est méromorphe sur $ \mathbb{C}$
  6. $ \square\;$Le résidu de $ f$ en 0 est $ \frac{1}{2}$
  7. $ \boxtimes\;$Le résidu de $ f$ en $ 2$ est $ \frac{1}{2}$

Vrai-Faux 7   On note $ f$ la fonction qui à $ z$ associe $ f(z)=\frac{1}{2z-z^2}$. On note $ \gamma_1$, $ \gamma_2$, $ \gamma_3$ les chemins de $ [0,2\pi]$ dans $ \mathbb{C}$ qui à $ t$ associent

$\displaystyle \gamma_1(t)=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}\;;\quad
\gamma_2(t)=2-\math...
...
2-\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}t}&\mbox{si}&t\in[\pi,2\pi]\;.
\end{array}\right.
$

Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$Le résidu de $ f$ en 0 est $ -\frac{1}{2}$
  2. $ \boxtimes\;$Le résidu de $ f$ en $ 2$ est $ -\frac{1}{2}$
  3. $ \boxtimes\;$L'intégrale de $ f$ sur $ \gamma_1$ est $ 2\mathrm{i}\pi$
  4. $ \square\;$L'intégrale de $ f$ sur $ \gamma_2$ est $ -2\mathrm{i}\pi$
  5. $ \square\;$L'intégrale de $ f$ sur $ \gamma_3$ est $ -\mathrm{i}\pi$

Vrai-Faux 8   Soit $ f$ une fonction holomorphe sur $ \mathbb{C}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \boxtimes\;$Si $ \vert f\vert$ est bornée, alors $ f$ est constante.
  2. $ \square\;$Si $ \mathrm{Re} f$ est bornée, alors $ f$ est constante.
  3. $ \square\;$Si $ \mathrm{Re} f$ s'annule sur le segment $ [0,1]$, alors $ f$ est identiquement nulle.
  4. $ \boxtimes\;$Si $ \vert f\vert$ s'annule sur le segment $ [0,1]$, alors $ f$ est identiquement nulle.
  5. $ \square\;$Si $ \mathrm{Re} f$ admet un maximum, alors $ f$ est identiquement nulle.
  6. $ \boxtimes\;$Si $ \vert f\vert$ admet un maximum relatif sur le disque ouvert $ D(0,1)$, alors $ f$ est constante.
  7. $ \boxtimes\;$L'image par $ f$ du disque ouvert $ D(0,1)$ est un ouvert de $ \mathbb{C}$.

Vrai-Faux 9   Soit $ f$ une fonction holomorphe sur $ \mathbb{C}$. On note $ D(0,1)$ le disque ouvert de centre 0 et de rayon $ 1$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$Si pour tout $ t\in [0,2\pi]$, $ \vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})\vert<1$, alors $ f$ a exactement un zéro dans $ D(0,1)$.
  2. $ \square\;$Si pour tout $ t\in [0,2\pi]$, $ \vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}\vert<1$, alors $ f$ a au moins deux zéros distincts dans $ D(0,1)$.
  3. $ \boxtimes\;$Si pour tout $ t\in [0,2\pi]$, $ \vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}\vert<1$, alors $ f$ a deux zéros distncts ou bien un zéro double dans $ D(0,1)$.
  4. $ \square\;$Si pour tout $ t\in [0,2\pi]$, $ \vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}-\frac{1}{4}\vert<
\vert\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}+\frac{1}{4}\vert$, alors $ f$ ne s'annule pas dans $ D(0,1)$.
  5. $ \boxtimes\;$Si pour tout $ t\in [0,2\pi]$, $ \vert f(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})-\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}-4\vert<
\vert\mathrm{e}^{2\mathrm{i}t}+4\vert$, alors $ f$ ne s'annule pas dans $ D(0,1)$.

Vrai-Faux 10   On note $ f$ la fonction qui à $ z$ associe $ \frac{1}{\sin(\pi z)}$. On note $ \gamma$ le chemin de $ [-\frac{1}{2},\frac{11}{2}]$ dans $ \mathbb{C}$ qui à $ t$ associe $ t+\mathrm{i}\cos(\pi t)$ si $ t\in [-\frac{1}{2},\frac{5}{2}]$, $ 5-t+\mathrm{i}\cos(\pi t)$ si $ t\in [\frac{5}{2},\frac{11}{2}]$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
  1. $ \square\;$La fonction $ f$ est holomorphe sur $ \mathbb{C}$
  2. $ \boxtimes\;$La fonction $ f$ est holomorphe sur le demi-plan $ \{z\in\mathbb{C} ,\;\mathrm{Im} z>0\}$
  3. $ \boxtimes\;$La fonction $ f$ est méromorphe sur $ \mathbb{C}$
  4. $ \boxtimes\;$L'ensemble des pôles de $ f$ est $ \mathbb{Z}$
  5. $ \square\;$Pour tout $ n\in\mathbb{Z}$, le résidu de $ f$ en $ n$ est $ 1$
  6. $ \boxtimes\;$Pour tout $ n\in\mathbb{Z}$, le résidu de $ f$ en $ 2n$ est $ \frac{1}{\pi}$
  7. $ \square\;$Pour tout $ n\in\mathbb{Z}$, l'indice de $ \gamma$ en $ 2n$ est $ -1$
  8. $ \boxtimes\;$L'indice de $ \gamma$ en 0 est $ -1$
  9. $ \square\;$L'indice de $ \gamma$ en $ 1$ est $ -1$
  10. $ \square\;$L'intégrale de $ f$ sur $ \gamma$ est $ 3\mathrm{i}$
  11. $ \boxtimes\;$L'intégrale de $ f$ sur $ \gamma$ est $ -6\mathrm{i}$


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