Applications linéaires

Une application entre deux espaces vectoriels est dite linéaire si elle respecte les deux opérations définissant la structure.

Définition 8 Soient et deux espaces vectoriels et une application de dans . On dit que est une application linéaire si

$\begin{displaymath}\begin{array}{llcl} \forall v,w\in E&\quad f(v+ w)&=&f(v)+f(w... ...bda\in\mathbb{R}&\quad f(\lambda v)&=&\lambda f(v) \end{array}\end{displaymath}$

(2)

Une application linéaire

dans

envoie nécessairement le vecteur nul de

sur le vecteur nul de

. Elle envoie l'opposé de

sur l'opposé de

. La proposition suivante se démontre facilement, dans le style du théorème 3.

Proposition 8 Soient et deux espaces vectoriels, et une application de dans . Les trois affirmations suivantes sont équivalentes.

est une application linéaire.
$\displaystyle \forall v,w\in E ,\;\forall \lambda,\mu\in\mathbb{R}\;,\quad f(\lambda v+\mu w) = \lambda f(v)+\mu f(w)\;.$
Pour tout $n\geqslant 1$ ,

$\displaystyle \forall v_1,\ldots,v_n\in E ,\;\forall \lambda_1,\ldots,\lambda_... ...quad f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i\right) = \sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i)$

D'une application entre deux ensembles munis d'une structure (groupes, anneaux, etc.) qui respecte les structures, on dit qu'elle est un morphisme.

Définition 9 Soient et deux espaces vectoriels et une application de dans . On dit que l'application est un :

$\bullet$: morphisme si elle est linéaire,
$\bullet$: isomorphisme si elle est linéaire et bijective,
$\bullet$: endomorphisme si elle est linéaire et ,
$\bullet$: automorphisme si elle est linéaire, bijective et .

Voici quelques exemples d'applications linéaires.

$\bullet$: de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{R}^2$ : $z\longmapsto ($ ReIm
$\bullet$: de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ : $z\longmapsto \overline{z}$
$\bullet$: de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ : $(x,y)\longmapsto (x+y,2x+3y)$
$\bullet$: de ${\cal M}_{n,n}(\mathbb{R})$ dans ${\cal M}_{n,n}(\mathbb{R})$ : $A\longmapsto {^t\!A}$
$\bullet$: de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}^2$ : $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto (u_0,u_1)$
$\bullet$: de $\mathbb{R}[X]$ dans $\mathbb{R}$ : $P(X)\longmapsto P(0)$
$\bullet$: de $\mathbb{R}[X]$ dans $\mathbb{R}^2$ : $P(X)\longmapsto (P(0),P'(1))$
$\bullet$: de $\mathbb{R}[X]$ dans $\mathbb{R}[X]$ : $P(X)\longmapsto (X+1)P'(X)$
$\bullet$: de l'espace vectoriel des suites convergentes, dans $\mathbb{R}$ : $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto \lim u_n$
$\bullet$: de l'espace vectoriel des fonctions continûment dérivables, dans l'espace vectoriel des fonctions continues : $f\longmapsto f'$
$\bullet$: de l'espace vectoriel des fonctions continues sur , dans $\mathbb{R}$ : $f\longmapsto \int_a^b f(x) dx$

Le fait qu'une application linéaire respecte les combinaisons linéaires entraîne qu'elle respecte aussi les sous-espaces vectoriels, au sens suivant.

Théorème 6 Soient et deux espaces vectoriels, et une application linéaire de dans .

Soit un sous-espace vectoriel de . Alors

$\displaystyle f(A)=\{ f(v) ,\; v\in A \}\;,$
est un sous-espace vectoriel de .
Soit un sous-espace vectoriel de . Alors

$\displaystyle f^{-1}(B)=\{ v\in E ,\; f(v)\in B \}\;,$
est un sous-espace vectoriel de .

L'ensemble des images par une application linéaire des éléments d'un espace vectoriel est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée (point 1). L'ensemble des éléments de l'espace de départ dont l'image par une application linéaire est dans un sous-espace de l'espace d'arrivée, est un sous-espace de l'espace de départ (point 2).

Attention à la notation $f^{-1}(B)$ : elle a un sens même si l'application n'est pas bijective et donc même si l'application réciproque $f^{-1}$ n'existe pas. Démonstration : Pour montrer qu'un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel, il suffit de vérifier qu'il est non vide, et que toute combinaison linéaire de deux de ses vecteurs reste dans l'ensemble (théorème 3). Rappelons que tout sous-espace vectoriel contient au moins le vecteur nul, et que si est linéaire alors . Donc le vecteur nul de appartient à et celui de appartient à $f^{-1}(B)$ . Les deux ensembles et $f^{-1}(B)$ sont donc non vides.

Deux vecteurs quelconques de s'écrivent , où $v,v'\in A$ . Etant donnés deux réels $\lambda$ et $\mu$ , $\lambda f(v)+\mu f(v')$ est l'image par de $\lambda v+\mu v'$ qui est un vecteur de .
Si et sont tels que et appartiennent à , alors $f(\lambda v+\mu v') = \lambda f(v)+\mu f(v')\in B$ . Donc $\lambda v+\mu v'\in f^{-1}(B)$ .

$\square$ Parmi les cas particuliers du théorème 6, l'image et le noyau jouent un rôle important.

Définition 10 Soient deux espaces vectoriels et une application linéaire de dans . On appelle

image de et on note Im le sous-espace vectoriel de :

Im $\displaystyle (f)=f(E)=\{ f(v) ,\;v\in E \}\;.$
noyau de et on note Ker le sous-espace vectoriel de :

Ker $\displaystyle (f)=f^{-1}(\{0\})=\{ v\in E ,\;f(v)=0 \}\;.$

La notation Ker vient de l'allemand, où noyau se dit «Kern».

Proposition 9 Soient et deux espaces vectoriels et une application linéaire de dans . L'application est

surjective si et seulement si Im
injective si et seulement si Ker $(f)=\{0\}$

Démonstration : La caractérisation de la surjectivité est une simple traduction des définitions. Celle de l'injectivité utilise la linéarité. Soient

deux éléments de

$\displaystyle f(v)=f(w)\;\Longleftrightarrow\;f(v-w)=0 \;\Longleftrightarrow\; (v-w)\in$ Ker $\displaystyle (f)$

Par définition,

est injective si et seulement si

implique

, donc si et seulement si $(v-w)\in$ Ker

implique

, d'où le résultat. $\square$ Considérons la dérivation des polynômes. C'est l'application

de $\mathbb{R}[X]$ dans $\mathbb{R}[X]$ qui à un polynôme associe son polynôme dérivé.

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} &D&\\ \mathbb{R}[X]&\longrightarrow&\mat... ...)& \longmapsto& P'(X)=a_1+2a_2X+\cdots+na_nX^{n-1}. \end{array}\end{displaymath}$

C'est une application linéaire. L'image de

est $\mathbb{R}[X]$ tout entier (

est surjective), le noyau de

est l'ensemble des polynômes constants (

n'est pas injective). Une telle situation, où l'espace de départ et l'image sont les mêmes tandis que le noyau est non nul, est impossible entre espaces vectoriels de dimension finie. Reprenons l'exemple de la dérivation des polynômes, mais cette fois-ci vue comme une application de l'espace $\mathbb{R}_n[X]$ des polynômes de degré $\leqslant n$ dans lui-même. L'espace est de dimension

, et la base canonique est $(1,X,\ldots,X^n)$ . L'application

envoie ces

polynômes, respectivement sur $0,1,\ldots,nX^{n-1}$ . Ils engendrent l'espace vectoriel des polynômes de degré

, qui est de dimension

. Le noyau de

est $\mathbb{R}_0[X]$ , et l'image de

est $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ . En dimension finie, la dimension de l'espace de départ est la somme de la dimension de l'image et de la dimension du noyau : c'est le théorème du rang.

Théorème 7 Soient et deux espaces vectoriels et une application linéaire de dans . Si est de dimension finie, il en est de même pour Im et Ker et :