Dimension finie

La théorie de la dimension, qui est traitée dans un autre chapitre, est supposée connue. Nous rappelons ici quelques uns des principaux résultats.

Définition 7   Soit $E$ un espace vectoriel contenant des vecteurs non nuls. On dit que $E$ est finiment engendré s'il est engendré par une famille finie de vecteurs. Soit $(v_1,\ldots,v_n)$ un $n$-uplet de vecteurs de $E$. On dit que $(v_1,\ldots,v_n)$ est une base de $E$ si c'est à la fois une famille génératrice et libre.

Le résultat le plus important est le théorème suivant.

Théorème 4   Dans un espace vectoriel contenant des vecteurs non nuls, finiment engendré, il existe des bases et toutes les bases ont le même nombre d'éléments.

Ceci permet d'appeler dimension de l'espace, le cardinal commun de toutes les bases. On convient de dire que l'espace contenant uniquement le vecteur nul, est de dimension 0. Les coordonnées d'un vecteur sont définies grâce au résultat suivant.

Théorème 5   Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $(u_1,\ldots,u_n)$ une base de $E$. Pour tout $x\in E$, il existe un unique $n$-uplet de réels $(x_1,\ldots,x_n)$ tel que

$$v= \sum_{i=1}^nx_i u_i$$

Les réels $x_1,\ldots,x_n$ sont les coordonnées de $v$ dans la base $(u_1,\ldots,u_n)$. Considérons par exemple l'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 3. C'est un espace vectoriel de dimension 4, dont la base la plus naturelle (base canonique) est :

$$\big( 1 , X , X^2 , X^3 \big)$$

Dans cette base, les coordonnées du polynôme $2-X^2+X^3$ sont $(2,0,-1,1)$. Considérons maintenant une nouvelle famille.

$$\big( 1 , (1+X) , (1+X+X^2) , (1+X+X^2+X^3) \big)$$

C'est une famille de polynômes de degrés distincts, donc par la proposition 5, c'est une famille libre. Dans un espace de dimension $4$, une famille libre de $4$ éléments est forcément génératrice : c'est une base. Le polynôme $2-X^2+X^3$ s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire des éléments de cette nouvelle base :

$$2-X^2+X^3 = 2(1)+1(1+X)+-2(1+X+X^2)+1(1+X+X^2+X^3)$$

Les coordonnées de $2-X^2+X^3$ dans la nouvelle base sont donc $(2,1,-2,1)$. Dans un espace vectoriel de dimension finie, tout sous-espace est lui-même de dimension finie, inférieure ou égale à celle de l'espace. Le théorème de la base incomplète dit que dans un espace vectoriel de dimension finie, toute famille libre peut être complétée en une base de l'espace. On en déduit immédiatement l'existence de supplémentaires.

Proposition 6   Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Il existe un sous-espace vectoriel $G$ tel que $F\oplus G=E$. De plus :

   dim$$(E)=$$   dim$$(F)+$$dim$$(G)$$

Démonstration : Soit $(b_1,\ldots,b_k)$ une base de $F$. Le théorème de la base incomplète affirme qu'il existe des vecteurs $c_1,\ldots,c_{n-k}$ tels que :

$$\big( b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_{n-k} \big)$$

soit une base de $E$. Soit $G$ l'espace engendré par $(c_1,\ldots,c_{n-k})$. Tout vecteur de $E$ s'écrit :

$$v=\sum_{i=1}^k \lambda_i b_i+\sum_{j=1}^{n-k}\mu_j c_j$$

La première somme est un vecteur de $F$, la seconde un vecteur de $G$, donc $E=F+G$. Il reste à vérifier que l'intersection est réduite au seul vecteur nul. Si

$$\sum_{i=1}^k \lambda_i b_i = \sum_{j=1}^{n-k}\mu_j c_j\;,$$

alors nécessairement tous les coefficients $\lambda_i$ et $\mu_j$ sont nuls, car $(b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_{n-k})$ est une famille libre. D'où le résultat.$\square$ La proposition suivante relie la dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels à celles des composants.

Proposition 7   Soit $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels, de dimensions finies.

   dim$$(F+G) =$$   dim$$(F)+$$dim$$(G)-$$   dim$$(F\cap G)$$

Démonstration : Choisissons un supplémentaire $G'$ de $F\cap G$ dans $G$. La somme de $F$ et $G'$ est directe, car $G'\cap F=G'\cap (F\cap G)= \{0\}$. Donc :

$$F+G=F\oplus G'\;,$$

Or dim$(G')=$dim$(G)-$dim$(F\cap G)$. Donc :

   dim$$(F+G) =$$dim$$(F)+$$dim$$(G')=$$   dim$$(F)+$$dim$$(G)-$$dim$$(F\cap G)\;.$$

$\square$