Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :  

1. Démontrer que l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle
   $y'(t)+2ty(t)=0$ est :
   $$\Big\{ t\mapsto C\mathrm{e}^{-t^2} ,\;C\in\mathbb{R} \Big\}\;.$$

2. Soit $y_0$ un réel. Démontrer que l'équation différentielle $y'(t)+2ty(t)=0$ admet une unique solution telle que $y(0)=y_0$, et donner l'expression de cette solution en fonction de $y_0$.
3. Vérifier que l'équation différentielle $y'(t)+2ty(t)=2t$ admet la fonction constante $t\mapsto 1$ comme solution. En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.
4. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle
   $y(t)y'(t)+ty^2(t)=t$ sur $\mathbb{R}$.
5. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle
   $y(t)y'(t)+ty^2(t)=t$ sur $]-1,1[$.

Exercice 1 : Le but de l'exercice est d'étudier les solutions de l'équation différentielle $(E)$ suivante.

$$(E)\qquad 2t(1+t)y'(t)+(1+t)y(t)=1\;.$$

1. Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, contenant $-1$. Montrer que $(E)$ n'admet pas de solution sur $I$.
2. On considère l'équation $(E_1) :\;2ty'(t)+y(t)=0$. Montrer que l'ensemble des solutions de $(E_1)$ sur $]0,+\infty[$ est :
   $$\left\{ t\mapsto \frac{C}{\sqrt{t}} ,\;C\in\mathbb{R} \right\}\;.$$

3. Montrer que $y$ est solution de $(E_1)$ sur $]0,+\infty[$ si et seulement si $t\mapsto y(-t)$ est solution de $(E_1)$ sur $]-\infty,0[$. En déduire l'ensemble des solutions de $(E_1)$ sur $]-\infty,0[$, puis l'ensemble des solutions de $(E_1)$ sur $\mathbb{R}^*$.
4. Utiliser la méthode de variation de la constante pour démontrer que la solution générale de $(E)$ sur $]0,+\infty[$ est :
   $$\frac{\arctan(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} +\frac{C}{\sqrt{t}} ,\;C\in\mathbb{R}\;.$$

5. Utiliser la méthode de variation de la constante pour démontrer que la solution générale de $(E)$ sur $]-\infty, -1[$ et sur $]-1,0[$ est :
   $$\frac{1}{2\sqrt{-t}}\ln \left\vert\frac{1+\sqrt{-t}}{1-\sqrt{-t}}\right\vert +\frac{C}{\sqrt{-t}} ,\;C\in\mathbb{R}\;.$$

6. Montrer que :
   $$\lim_{t\to 0^-}\frac{1}{2\sqrt{-t}}\ln \left\vert\frac{1+\sqrt{-t... ...\sqrt{-t}}\right\vert = \lim_{t\to 0^+}\frac{\arctan(\sqrt{t})}{\sqrt{t}}=1\;.$$

7. Soit $y_0$ la fonction de $]-1,+\infty[$ dans $\mathbb{R}$ définie par :
   $$y(t)=\left\{\begin{array}{lcl} \displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{-t}}... ...\arctan(\sqrt{t})}{\sqrt{t}}} &\mbox{si}&x\in]0,+\infty[\;. \end{array}\right.$$
   Démontrer que $y_0$ est continue sur $]-1,+\infty[$. On admettra que $y_0$ est continûment dérivable. Montrer qu'elle est l'unique solution de $(E)$ sur $]-1,+\infty[$.

Exercice 2 : Le but de l'exercice est de déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$ suivante.

$$(E)\qquad y''(t)-4y'(t)+4y(t)=(t^2+1)\mathrm{e}^t+2\mathrm{e}^{2t}\;.$$

1. Déterminer l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation sans second membre $y''(t)-4y'(t)+4y(t)=0$.
2. Déterminer les trois réels $a,b,c$ tels que $t\mapsto (at^2+bt+c)\mathrm{e}^t$ est solution de l'équation $y''(t)-4y'(t)+4y(t)=(t^2+1)\mathrm{e}^t$.
3. Déterminer le réel $\alpha$ tel que $t\mapsto \alpha t^2\mathrm{e}^{2t}$ est solution de l'équation $y''(t)-4y'(t)+4y(t)=2\mathrm{e}^{2t}$.
4. Déduire des questions précédentes la solution générale de $(E)$.

Exercice 3 : Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ suivante.

$$(E)\qquad y'(t)+3y(t)+y^2(t)+2=0\;.$$

1. Vérifier que $(E)$ admet deux solutions constantes que l'on déterminera.
2. Soit $y$ une solution de $(E)$. On pose $z(t)=1/(y(t)+1)$. Montrer que $z(t)$ est solution de l'équation différentielle $z'(t)-z(t)-1=0$.
3. En déduire la solution générale de $(E)$.
4. Soit $y$ une solution de $(E)$. On pose $u(t)=1/(y(t)+2)$. Montrer que $u(t)$ est solution de l'équation différentielle $u'(t)+u(t)-1=0$. En déduire la solution générale de $(E)$ et retrouver le résultat de la question précédente.