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Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.



Questions de cours :  

  1. Démontrer que l'ensemble des solutions sur $ \mathbb{R}$ de l'équation différentielle
    $ y'(t)+2ty(t)=0$ est :

    $\displaystyle \Big\{ t\mapsto C\mathrm{e}^{-t^2} ,\;C\in\mathbb{R} \Big\}\;.
$

  2. Soit $ y_0$ un réel. Démontrer que l'équation différentielle $ y'(t)+2ty(t)=0$ admet une unique solution telle que $ y(0)=y_0$, et donner l'expression de cette solution en fonction de $ y_0$.
  3. Vérifier que l'équation différentielle $ y'(t)+2ty(t)=2t$ admet la fonction constante $ t\mapsto 1$ comme solution. En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.
  4. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle
    $ y(t)y'(t)+ty^2(t)=t$ sur $ \mathbb{R}$.
  5. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle
    $ y(t)y'(t)+ty^2(t)=t$ sur $ ]-1,1[ $.


Exercice 1 : Le but de l'exercice est d'étudier les solutions de l'équation différentielle $ (E)$ suivante.

$\displaystyle (E)\qquad 2t(1+t)y'(t)+(1+t)y(t)=1\;.
$

  1. Soit $ I$ un intervalle ouvert de $ \mathbb{R}$, contenant $ -1$. Montrer que $ (E)$ n'admet pas de solution sur $ I$.
  2. On considère l'équation $ (E_1) :\;2ty'(t)+y(t)=0$. Montrer que l'ensemble des solutions de $ (E_1)$ sur $ ]0,+\infty[$ est :

    $\displaystyle \left\{ t\mapsto \frac{C}{\sqrt{t}} ,\;C\in\mathbb{R} \right\}\;.
$

  3. Montrer que $ y$ est solution de $ (E_1)$ sur $ ]0,+\infty[$ si et seulement si $ t\mapsto y(-t)$ est solution de $ (E_1)$ sur $ ]-\infty,0[ $. En déduire l'ensemble des solutions de $ (E_1)$ sur $ ]-\infty,0[$, puis l'ensemble des solutions de $ (E_1)$ sur $ \mathbb{R}^*$.
  4. Utiliser la méthode de variation de la constante pour démontrer que la solution générale de $ (E)$ sur $ ]0,+\infty[$ est :

    $\displaystyle \frac{\arctan(\sqrt{t})}{\sqrt{t}}
+\frac{C}{\sqrt{t}} ,\;C\in\mathbb{R}\;.
$

  5. Utiliser la méthode de variation de la constante pour démontrer que la solution générale de $ (E)$ sur $ ]-\infty, -1[$ et sur $ ]-1,0[$ est :

    $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{-t}}\ln
\left\vert\frac{1+\sqrt{-t}}{1-\sqrt{-t}}\right\vert
+\frac{C}{\sqrt{-t}} ,\;C\in\mathbb{R}\;.
$

  6. Montrer que :

    $\displaystyle \lim_{t\to 0^-}\frac{1}{2\sqrt{-t}}\ln
\left\vert\frac{1+\sqrt{-t...
...\sqrt{-t}}\right\vert
=
\lim_{t\to 0^+}\frac{\arctan(\sqrt{t})}{\sqrt{t}}=1\;.
$

  7. Soit $ y_0$ la fonction de $ ]-1,+\infty[$ dans $ \mathbb{R}$ définie par :

    $\displaystyle y(t)=\left\{\begin{array}{lcl}
\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{-t}}...
...\arctan(\sqrt{t})}{\sqrt{t}}}
&\mbox{si}&x\in]0,+\infty[\;.
\end{array}\right.
$

    Démontrer que $ y_0$ est continue sur $ ]-1,+\infty[ $. On admettra que $ y_0$ est continûment dérivable. Montrer qu'elle est l'unique solution de $ (E)$ sur $ ]-1,+\infty[ $.


Exercice 2 : Le but de l'exercice est de déterminer la solution générale de l'équation différentielle $ (E)$ suivante.

$\displaystyle (E)\qquad y''(t)-4y'(t)+4y(t)=(t^2+1)\mathrm{e}^t+2\mathrm{e}^{2t}\;.
$

  1. Déterminer l'ensemble des solutions sur $ \mathbb{R}$ de l'équation sans second membre $ y''(t)-4y'(t)+4y(t)=0$.
  2. Déterminer les trois réels $ a,b,c$ tels que $ t\mapsto
(at^2+bt+c)\mathrm{e}^t$ est solution de l'équation $ y''(t)-4y'(t)+4y(t)=(t^2+1)\mathrm{e}^t$.
  3. Déterminer le réel $ \alpha$ tel que $ t\mapsto
\alpha t^2\mathrm{e}^{2t}$ est solution de l'équation $ y''(t)-4y'(t)+4y(t)=2\mathrm{e}^{2t}$.
  4. Déduire des questions précédentes la solution générale de $ (E)$.


Exercice 3 : Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $ (E)$ suivante.

$\displaystyle (E)\qquad y'(t)+3y(t)+y^2(t)+2=0\;.
$

  1. Vérifier que $ (E)$ admet deux solutions constantes que l'on déterminera.
  2. Soit $ y$ une solution de $ (E)$. On pose $ z(t)=1/(y(t)+1)$. Montrer que $ z(t)$ est solution de l'équation différentielle $ z'(t)-z(t)-1=0$.
  3. En déduire la solution générale de $ (E)$.
  4. Soit $ y$ une solution de $ (E)$. On pose $ u(t)=1/(y(t)+2)$. Montrer que $ u(t)$ est solution de l'équation différentielle $ u'(t)+u(t)-1=0$. En déduire la solution générale de $ (E)$ et retrouver le résultat de la question précédente.



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