QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   On considère l'équation différentielle $(E) :\; 2y(t)y'(t)=1$.

$t\mapsto y(t)=\sqrt{t}$ est solution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$.

$t\mapsto y(t)=\sqrt{t-1}$ est la seule solution de $(E)$ sur $]1,+\infty[$.

$t\mapsto y(t)=\sqrt{1-t}$ est solution de $(E)$ sur $]-\infty,1[$.

Pour tout $C\in\mathbb{R}$, $(E)$ possède des solutions définies sur $]C,+\infty[$.

$(E)$ possède des solutions définies sur $\mathbb{R}$.

Question 2   On considère l'équation différentielle $(E) :\; y'(t)(1-t)=y$.

L'ensemble des solutions de $(E)$ sur $]1,+\infty$ est une droite vectorielle.

Toutes les solutions de $(E)$ sont définies sur $\mathbb{R}$.

L'équation $(E)$ possède une solution définie sur $\mathbb{R}$.

Les solutions de $(E)$ sur $]-\infty,1[ \cup ]1,+\infty[$ sont toutes de la forme $C/(1-t)$, où $C$ est une constante réelle.

L'ensemble des solutions réelles de $(E)$ sur $]-\infty,1[ \cup ]1,+\infty[$ est un espace vectoriel de dimension $1$.

Question 3   On considère l'équation différentielle $(E) :\; y^2(t)y'(t)=t^2(1-y^3)$.

L'équation $(E)$ et l'équation $y^2(t)y'(t)/(1-y^3)=t^2$ ont les mêmes solutions.

L'ensemble des solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ est une droite vectorielle.

La fonction $t\mapsto y(t)=1$ est la seule solution constante de $E$.

L'équation $(E)$ possède une unique solution définie sur $\mathbb{R}$ et telle que $y(0)=-1$.

La solution générale de $(E)$ est $1-C\mathrm{e}^{t^3}$, où $C$ est une constante réelle.

Question 4   On considère l'équation différentielle $(E) :\; y'(t)=y(t)/t^{2}+1/t^{2}$.

La fonction $t\mapsto y(t)=-1+\mathrm{e}^{-1/t}$ est solution de $(E)$ sur $\rbrack 0,+\infty\lbrack$.

La fonction $t\mapsto y(t)=1-\mathrm{e}^{-1/t}$ est solution de $(E)$ sur $\rbrack -\infty ,0\lbrack$.

La fonction $t\mapsto y(t)=2\mathrm{e}^{1/t}$ est solution de $(E)$ sur $\rbrack 0,+\infty\lbrack$.

La solution de $(E)$ sur $\rbrack 0,+\infty\lbrack$ vérifiant $y(1)=-1$ est constante.

La fonction $t\mapsto y(t)=2\mathrm{e}^{-1/t}$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.

Question 5   On considère l'équation différentielle $(E) :\; y'(t)=\displaystyle{\frac{2t-1}{t^2}}y(t)+1$.

La fonction $t\mapsto y(t)=t^2$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.

La fonction $t\mapsto y(t)=t^2(1+\mathrm{e}^{-1/t})$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.

La fonction $t\mapsto y(t)=t^2(1-\mathrm{e}^{1/t})$ est solution de $(E)$ sur $\rbrack 0,+\infty\lbrack$.

La fonction $t\mapsto y(t)=2t^2\mathrm{e}^{1/t}$ est solution de $(E)$ sur $\rbrack 0,+\infty\lbrack$.

La fonction $t\mapsto y(t)=t^2(1-\mathrm{e}^{1/t})$ est solution de l'équation sans second membre associée à $(E)$.

Question 6   On considère l'équation différentielle $(E) :\; y''(t)=6y'(t)-9y(t)$.

La fonction $t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{3t}-t\mathrm{e}^{3t}$ est l'unique solution de $(E)$ vérifiant $y(1)=0$.

La fonction $t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{3t}-t\mathrm{e}^{3t}$ est une solution de $(E)$ vérifiant $y(1)=0$.

Le réel $3$ est racine simple de l'équation caractéristique associée.

La fonction $t\mapsto y(t)=t(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{3t})$ est solution de $(E)$.

Toutes les solutions de $(E)$ sont définies sur $\mathbb{R}$.

Question 7   On considère l'équation différentielle $(E) :\; y''(t)=2y'(t)-5y(t)$.

La fonction $t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{t}\cos(2t)$ est une solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=1$.

La fonction $t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{t}$ est l'unique solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=1$.

Pour tout $\varphi\in\mathbb{R}$, $t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^t\sin(2t-\varphi)$ est solution de $(E)$.

L'équation caractéristique associée a deux racines réelles.

La fonction $t\mapsto y(t)=\mathrm{e}^{t}\sin(t)$ est solution de $(E)$.

Question 8   On considère l'équation différentielle $(E) :\; y''(t)=2y'(t)-y(t)+2\mathrm{e}^t$.

Toute fonction de la forme $t\mapsto P(t)\mathrm{e}^t$, où $P$ est un polynôme de degré $2$, est solution de $(E)$.

L'équation $(E)$ admet une infinité de solutions de la forme $t\mapsto P(t)\mathrm{e}^t$, où $P$ est un polynôme de degré $2$.

L'équation $(E)$ admet une infinité de solutions de la forme $t\mapsto P(t)\mathrm{e}^t$, où $P$ est un polynôme de degré $1$.

L'équation $(E)$ admet une solution de la forme $t\mapsto P(t)\mathrm{e}^t$, où $P$ est un polynôme de degré $3$.

L'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=y'(0)=0$ est $t\mapsto y(t)=t^2\mathrm{e}^t$.

Question 9   On considère l'équation différentielle $(E) :\; y''(t)=-4y(t)+4\cos(2t)$.

Il existe une constante $C$ telle que la fonction $t\mapsto Ct\cos(2t)$ soit solution de $(E)$.

Toute solution de $E$ est de la forme $t\mapsto y(t)=C_1t\cos(2t)+C_2t\sin(2t)$, où $C_1$ et $C_2$ sont deux constantes réelles.

La fonction $t\mapsto y(t)=t\sin(2t)$ est l'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=y'(0)=0$.

La fonction $t\mapsto y(t)=t\cos(2t)$ est l'unique solution de $(E)$ telle que $y(0)=0$ et $y'(0)=1$.

L'ensemble des solutions de $(E)$ est un plan affine.

Question 10   On considère l'équation différentielle $(E) :\; t^2y''(t)=ty'(t)-2y(t)+t$.

Si on pose $t=\mathrm{e}^x$ et $z(x)=y(t)$, alors $z$ est solution de l'équation $z''(x)=z'(x)-2z(x)+\mathrm{e}^x$.

La fonction $t\mapsto y(t)=t$ est l'unique solution de $(E)$ définie sur $\mathbb{R}$.

Si $y$ est solution de $(E)$ sur $]0,+\infty[$, alors $t\mapsto y(-t)$ est solution de $(E)$ sur $]-\infty,0[$.

L'équation $(E)$ admet une infinité de solutions définies sur $\mathbb{R}$.

L'équation $(E)$ est une équation de Bernoulli.