Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours :  

  1. Pourquoi la commande sqrt(a^2-2*a*b+b^2) ne retourne-t-elle pas a-b ? Par quelles commandes faut-il la compléter pour obtenir a-b ?
  2. Expliquer la différence entre les deux commandes suivantes.
    sin(evalf(10^15*pi))
    evalf(sin(10^15*pi))
    
  3. On exécute la commande f:=x^2. Expliquer pourquoi la commande f(2) ne retourne pas 4. Que faudrait-il saisir pour obtenir 4 ?
  4. Expliquer la différence entre les commandes size([a$10]) et size(%{a$10%}).
  5. Expliquer la différence entre les commandes diff(x^2*y^2) et diff(X^2*Y^2). Quelle commande retourne la liste $ [2xy^2,2x^2y]$ ?

Exercice : Le but de l'exercice est d'étudier des formules «à la Machin» qui relient entre elles des combinaisons linéaires de valeurs de la fonction $ \arctan$ pour des valeurs inverses d'entiers. L'intérêt de ces formules est de fournir, par l'intermédiaire du développement en série entière de $ \arctan$, des approximations de $ \pi$.
  1. Vérifier les formules :

       pour $\displaystyle x>0   \arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}-\arctan(x)\;,
$

       pour $\displaystyle x<0   \arctan\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\pi}{2}-\arctan(x)\;.
$

  2. Soient $ a,
b, c$ trois réels strictement positifs tels que $ 1+a^2=bc$. Vérifier la formule suivante.

    $\displaystyle \arctan\left(\frac{1}{a}\right)=\arctan\left(\frac{1}{a+b}\right)+\arctan\left(\frac{1}{a+c}\right)
$

  3. Vérifier directement le cas particulier de la formule précédente obtenu pour $ b=1$ :

    $\displaystyle \arctan\left(\frac{1}{a}\right)=\arctan\left(\frac{1}{a+1}\right)
+\arctan\left(\frac{1}{a+a^2+1}\right)
$

  4. Ecrire une fonction Xcas Machin, qui prend en entrée un entier $ n$, et itère $ n$ fois la formule précédente à partir de $ a=1$. Elle retourne une liste d'entiers $ [a_j]$ de longueur $ 2^n$, telle que :

    $\displaystyle \frac{\pi}{4} = \sum_j \arctan\left(\frac{1}{a_j}\right)\;.
$

  5. Vérifier la formule obtenue avec la fonction Machin, pour $ n=3$.
  6. Pour tout entier $ n$, on note $ P_n$ le polynôme de Taylor de la fonction $ \arctan$ à l'ordre $ 2n+1$ en 0 :

    $\displaystyle P_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k} X^{2k+1}\;.
$

    Ecrire une fonction taylor_atan, qui prend en entrée un entier $ n$, et qui retourne le polynôme $ P_n$.
  7. Calculer la valeur exacte de $ s=\sum_k P_{14}(1/a_k)
$, où les $ a_k$ sont les éléments de la liste obtenue par Machin(3).
  8. Calculer la valeur approchée de $ \pi/4-s$ avec une précision de 25 décimales.
  9. Vérifier la formule de Machin :

    $\displaystyle \arctan(1)=4\arctan\left(\frac{1}{5}\right)-\arctan\left(\frac{1}{239}\right)
$

  10. On considère les deux nombres complexes

    $\displaystyle u=(1+5\mathrm{i})$   et$\displaystyle \quad v=(1+239\mathrm{i})\;.
$

    Calculer $ -4$arg$ (u)+$arg$ (v)$, ainsi que arg$ (u^{-4}v)$. En déduire :

    $\displaystyle \frac{3\pi}{4}=-4\arctan(5)+\arctan(239)\;.
$

  11. En déduire la formule de Machin.
  12. Calculer la valeur exacte de $ 4P_{14}(1/5)-P_{14}(1/239)$
  13. Calculer la valeur approchée de $ \pi/4-4P_{14}(1/5)+P_{14}(1/239)$ avec une précision de $ 25$ décimales.
  14. Vérifier la formule de Störmer :

    $\displaystyle \frac{\pi}{4}=44\arctan\left(\frac{1}{57}\right)+
7\arctan\left(\...
...-12\arctan\left(\frac{1}{682}\right)+
24\arctan\left(\frac{1}{12943}\right)\;.
$

    En utilisant l'approximation par le polynôme de Taylor $ P_{14}$, calculer la valeur approchée de la différence des deux membres avec une précision de 60 décimales.
  15. Vérifier la formule de Takano :

    $\displaystyle \frac{\pi}{4}=12\arctan\left(\frac{1}{49}\right)+
32\arctan\left(...
...-5\arctan\left(\frac{1}{239}\right)+
12\arctan\left(\frac{1}{110443}\right)\;.
$

    En utilisant l'approximation par le polynôme de Taylor $ P_{14}$, calculer la valeur approchée de la différence des deux membres avec une précision de 60 décimales.

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