Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours :  

1. Pourquoi la commande sqrt(a^2-2*a*b+b^2) ne retourne-t-elle pas a-b ? Par quelles commandes faut-il la compléter pour obtenir a-b ?
2. Expliquer la différence entre les deux commandes suivantes.

   sin(evalf(10^15*pi))
   evalf(sin(10^15*pi))
   

3. On exécute la commande f:=x^2. Expliquer pourquoi la commande f(2) ne retourne pas 4. Que faudrait-il saisir pour obtenir 4 ?
4. Expliquer la différence entre les commandes size([a$10]) et size(%{a$10%}).
5. Expliquer la différence entre les commandes diff(x^2*y^2) et diff(X^2*Y^2). Quelle commande retourne la liste $[2xy^2,2x^2y]$ ?

Exercice : Le but de l'exercice est d'étudier des formules «à la Machin» qui relient entre elles des combinaisons linéaires de valeurs de la fonction $\arctan$ pour des valeurs inverses d'entiers. L'intérêt de ces formules est de fournir, par l'intermédiaire du développement en série entière de $\arctan$, des approximations de $\pi$.

1. Vérifier les formules :
      pour $$x>0 \arctan\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}-\arctan(x)\;,$$
      pour $$x<0 \arctan\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\pi}{2}-\arctan(x)\;.$$

2. Soient $a, b, c$ trois réels strictement positifs tels que $1+a^2=bc$. Vérifier la formule suivante.
   $$\arctan\left(\frac{1}{a}\right)=\arctan\left(\frac{1}{a+b}\right)+\arctan\left(\frac{1}{a+c}\right)$$

3. Vérifier directement le cas particulier de la formule précédente obtenu pour $b=1$ :
   $$\arctan\left(\frac{1}{a}\right)=\arctan\left(\frac{1}{a+1}\right) +\arctan\left(\frac{1}{a+a^2+1}\right)$$

4. Ecrire une fonction Xcas Machin, qui prend en entrée un entier $n$, et itère $n$ fois la formule précédente à partir de $a=1$. Elle retourne une liste d'entiers $[a_j]$ de longueur $2^n$, telle que :
   $$\frac{\pi}{4} = \sum_j \arctan\left(\frac{1}{a_j}\right)\;.$$

5. Vérifier la formule obtenue avec la fonction Machin, pour $n=3$.
6. Pour tout entier $n$, on note $P_n$ le polynôme de Taylor de la fonction $\arctan$ à l'ordre $2n+1$ en 0 :
   $$P_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k} X^{2k+1}\;.$$
   Ecrire une fonction taylor_atan, qui prend en entrée un entier $n$, et qui retourne le polynôme $P_n$.
7. Calculer la valeur exacte de $s=\sum_k P_{14}(1/a_k)$, où les $a_k$ sont les éléments de la liste obtenue par Machin(3).
8. Calculer la valeur approchée de $\pi/4-s$ avec une précision de 25 décimales.
9. Vérifier la formule de Machin :
   $$\arctan(1)=4\arctan\left(\frac{1}{5}\right)-\arctan\left(\frac{1}{239}\right)$$

10. On considère les deux nombres complexes
    $$u=(1+5\mathrm{i})$$   et$$\quad v=(1+239\mathrm{i})\;.$$
    Calculer $-4$arg$(u)+$arg$(v)$, ainsi que arg$(u^{-4}v)$. En déduire :
    $$\frac{3\pi}{4}=-4\arctan(5)+\arctan(239)\;.$$

11. En déduire la formule de Machin.
12. Calculer la valeur exacte de $4P_{14}(1/5)-P_{14}(1/239)$
13. Calculer la valeur approchée de $\pi/4-4P_{14}(1/5)+P_{14}(1/239)$ avec une précision de $25$ décimales.
14. Vérifier la formule de Störmer :
    $$\frac{\pi}{4}=44\arctan\left(\frac{1}{57}\right)+ 7\arctan\left(\... ...-12\arctan\left(\frac{1}{682}\right)+ 24\arctan\left(\frac{1}{12943}\right)\;.$$
    En utilisant l'approximation par le polynôme de Taylor $P_{14}$, calculer la valeur approchée de la différence des deux membres avec une précision de 60 décimales.
15. Vérifier la formule de Takano :
    $$\frac{\pi}{4}=12\arctan\left(\frac{1}{49}\right)+ 32\arctan\left(... ...-5\arctan\left(\frac{1}{239}\right)+ 12\arctan\left(\frac{1}{110443}\right)\;.$$
    En utilisant l'approximation par le polynôme de Taylor $P_{14}$, calculer la valeur approchée de la différence des deux membres avec une précision de 60 décimales.