Il y a souvent plusieurs manières d'obtenir le même résultat en
Xcas. On s'efforcera de choisir les solutions les plus compactes.
Exercice 1
Vérifier les identités suivantes.
-
-
-
-
-
-
Exercice 2
Transformer la fraction rationnelle
en les fractions suivantes
Exercice 3
Transformer la fraction rationnelle
en les fractions suivantes
Exercice 4
On considère les fonctions
définies par
Pour chacune de ces fonctions :
- Calculer une primitive
.
- Calculer
et montrer que
après simplifications.
Exercice 5
On considère les intégrales définies
suivantes.
Pour chacune de ces intégrales :
- Calculer la valeur exacte, puis approchée de l'intégrale
.
- Pour
, puis
, et
pour tout
, on pose
, et
.
Calculer la valeur approchée de l'intégrale
par la
méthode des rectangles à gauche :
- Même question avec la méthode des trapèzes :
Exercice 7
On considère l'équation
comme une
équation en
.
- Représenter graphiquement la solution
en fonction de
à l'aide
de la fonction
plotimplicit
.
- Calculer les trois solutions de l'équation, en utilisant
rootof
pour la première, en éliminant la première avec quo
et en
trouvant les deux dernières solutions en résolvant l'équation
du second degré (utiliser coeff
pour calculer le discriminant
de l'équation).
- Représenter graphiquement chacune des
trois racines sur le même graphique avec une couleur
différente, et pour les valeurs de
telles que ces solutions soient réelles (on pourra utiliser
resultant
pour trouver les valeurs de
pour lesquelles
l'équation possède une racine multiple en
, ces valeurs
sont les bornes possibles des intervalles en
où chacune des
racines sont réelles).
- Donner la valeur des
solutions pour
.
Exercice 8
On considère les limites suivantes.
Pour chacune d'entre elles :
- Donner sa valeur exacte.
- Trouver une valeur de
telle que la distance de
à la
limite soit inférieure à
.
Exercice 9
Représenter les fonctions
suivantes, en choisissant l'intervalle
des abscisses et des ordonnées, de façon à obtenir
la représentation la plus informative possible.
.
-
.
-
.
-
.
-
.
Exercice 10
On considère la fonction
.
- Vérifier que cette fonction prend des valeurs négatives sur
. Représenter la fonction sur l'intervalle
.
- Déterminer
tel que Xcas donne une représentation
correcte de la fonction sur l'intervalle
.
Exercice 11
- Représenter la fonction
sur l'intervalle
.
Sur ce graphique, tracer aussi les représentations
des polynômes de Taylor de cette fonction en
, aux ordres
.
- Même question pour l'intervalle
.
- Représenter la fonction
sur l'intervalle
. Sur
le même graphique, superposer les représentations
des polynômes de Taylor de cette fonction en
, aux ordres
.
Exercice 12
Superposer les représentations suivantes sur le même graphique,
allant de 0 à
en abscisse et en ordonnée.
- La première bissectrice (
).
- Le graphe de la fonction
.
- La tangente à la fonction
au point
.
- Un segment vertical allant de l'axe des
au
point d'intersection de la fonction
et de
la première bissectrice, et
un segment horizontal allant de ce point d'intersection
à l'axe des
.
- Les chaînes de caractères
"point fixe" et "tangente", positionnées sur le
graphique.
Exercice 13
Le but de l'exercice est de représenter sur un même graphique
des familles de fonctions. On choisira le nombre de courbes, l'intervalle
de représentation, les échelles en
et
ainsi que le
pas de discrétisation des abscisses, de façon à obtenir
la représentation la plus informative possible.
- Fonctions
, pour
allant de
à
.
- Fonctions
, pour
allant de
à
.
- Fonctions
, pour
allant de 0 à
.
Exercice 14
Pour chacune des courbes paramétrées suivantes, on choisira un
intervalle de valeurs du paramètre
assurant une représentation complète et suffisamment lisse.
Exercice 15
Le but de l'exercice est de visualiser de différentes manières
la surface définie par
. Ouvrir une fenêtre
de géométrie 3-d.
- Choisir un domaine de représentation et les pas de discrétisation,
de manière à obtenir une représentation informative
avec
plotfunc
.
- Créer un paramètre
modifiable à la souris
avec la fonction assume
.
Représenter la courbe définie par
, puis faites
varier le paramètre à la souris.
- Créer un paramètre
modifiable à la souris.
Représenter la courbe définie par
, puis faites
varier le paramètre à la souris.
Exercice 16
Le but de l'exercice est de visualiser un cône de différentes
manières.
- Représenter la surface d'équation
.
- Représenter la surface paramétrée définie par :
- En choisisant une valeur de
suffisamment grande, représenter la courbe
paramétrée définie par :
- Représenter la famille de courbes paramétrées définies par :
- Représenter le même cône en utilisant la fonction
cone
.
Exercice 17
- Engendrer une liste
de
entiers au hasard entre
et
.
- Vérifier que l'ensemble des valeurs de
est contenu dans
.
- Extraire de la liste
toutes les valeurs
.
- Pour tout
, compter combien de valeurs de la liste
sont égales à
.
Exercice 19
Écrire (sans utiliser de boucle) les séquences suivantes :
- Nombres de
à
par pas de
.
- Nombres de
à
par pas de
.
- Carrés des
premiers entiers.
- Nombres de la forme
pour
.
- 10 "0" suivis de 10 "1".
- 3 "0" suivis de 3 "1", suivis de 3 "2",...,
suivis de 3 "9".
- "1", suivi de 1 "0", suivi de "2", suivi de 2 "0",...
, suivi de "8", suivi de 8 zéros, suivi de "9".
"
" suivi de
"
", suivis de
"
",...,
suivis de
"
".
Exercice 21
- Écrire la matrice carrée
d'ordre
, telle que
si
et
si
, où
et
sont des variables.
- Calculer et factoriser le polynôme caractéristique de
.
- Déterminer une matrice orthogonale
telle que
soit
une matrice diagonale.
- Utiliser la question précédente pour définir la fonction
qui à un entier
associe la matrice
.
- Calculer
, pour
en effectuant les produits
matriciels, et vérifier que la fonction définie à la question
précédente donne bien le même résultat.
Exercice 23
Écrire les fonctions suivantes, sans utiliser de boucle.
- La fonction
prend en entrée un entier
et deux réels
et retourne
la matrice
dont les termes diagonaux valent
, tous les autres
termes étant égaux à
.
- La fonction
prend en entrée un entier
et trois réels
et retourne
la matrice
dont les termes diagonaux
sont égaux à
, les termes
égaux à
et
termes
égaux à
, pour
(les autres
termes sont nuls).
- La fonction
prend en entrée un entier
et retourne en sortie
la matrice
définie par
(matrice de Hilbert).
Comparer le temps d'exécution de votre fonction avec celui de
la fonction hilbert
.
- La fonction
prend en entrée un vecteur
et retourne en sortie la matrice
définie par
(matrice de Vandermonde).
Comparer le temps d'exécution de votre fonction avec celui de
la fonction vandermonde
.
- La fonction
prend en entrée un vecteur
et retourne en sortie la matrice
définie par
(matrice de Toeplitz).
Exercice 24
Écrire les fonctions suivantes. Toutes prennent en entrée une fonction
(de
dans
), et trois valeurs
,
et
(supposées telles que
).
derive
:
Elle calcule et représente graphiquement
la dérivée de
sur l'intervalle
. Elle retourne la
valeur de
.
tangente
:
Elle représente la fonction
sur l'intervalle
, elle
superpose sur le même graphique la tangente à
au point
, et
retourne l'équation de cette tangente comme un polynôme du premier
degré.
araignee
:
Elle représente la fonction
sur l'intervalle
,
ainsi que la droite d'équation
(première bissectrice).
Elle calcule et retourne les
premiers itérés de
en
(
). Elle représente la suite de
segments, alternativement verticaux et horizontaux, permettant de visualiser
les itérations : segments joignant
,
,
,
,
, ...
(comparer avec la fonction plotseq
).
newton_graph
:
Elle représente la fonction
sur l'intervalle
.
Elle calcule et retourne les dix premiers itérés de la suite définie
à partir de
par la méthode de Newton :
,
... Les valeurs de la dérivée sont
approchées. La fonction représente sur le même graphique les
segments permettant de visualiser les itérations : segments joignant
,
,
,
,
,
,...
(comparer avec la fonction newton
)
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