Exercices

Il y a souvent plusieurs manières d'obtenir le même résultat en Xcas. On s'efforcera de choisir les solutions les plus compactes.

Exercice 1   Vérifier les identités suivantes.

1. $(2^{1/3}+4^{1/3})^3-6(2^{1/3}+4^{1/3})=6$
2. $\pi /4 = 4\arctan(1/5)-\arctan(1/239)$
3. $\sin(5x) = 5\sin(x)-20\sin^3(x)+15\sin^5(x)$
4. $(\tan(x)+\tan(y))\cos(x)\cos(y) = \sin(x+y)$
5. $\cos^6(x)+\sin^6(x) = 1-3\sin^2(x)\cos^2(x)$
6. $\ln(\tan(x/2+\pi/4)) = \arg\sinh(\tan(x))$

Exercice 2   Transformer la fraction rationnelle

$$\frac{x^4+x^3-4x^2-4x}{x^4+x^3-x^2-x}$$

en les fractions suivantes

$$\frac{(x+2)(x+1)(x-2)}{x^3+x^2-x-1} \;,\quad \frac{x^4+x^3-4x^2-4x}{x(x-1)(x+1)^2} \;,\quad \frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)(x+1)}\;,$$

$$\frac{x^2}{(x-1)(x+1)}-4\frac{1}{(x-1)(x+1)}\;.$$

Exercice 3   Transformer la fraction rationnelle

$$2\frac{x^3-yx^2-yx+y^2}{x^3-yx^2-x+y}$$

en les fractions suivantes

$$2\frac{x^2-y}{x^2-1} \;,\quad 2\frac{x^2-y}{(x-1)(x+1)} \;,$$

$$2-\frac{y-1}{x-1}+\frac{y-1}{x+1} \;,\quad 2-2\frac{y-1}{x^2-1}\;.$$

Exercice 4   On considère les fonctions $f$ définies par

$$f(x) = \sqrt{\mathrm{e}^x-1} \;,\quad f(x) = \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} \;,$$

$$f(x) = \frac{1}{1+\sin(x)+\cos(x)} \;,\quad f(x) = \frac{\ln(x)}{x(x^2+1)^2} \;.$$

Pour chacune de ces fonctions :

1. Calculer une primitive $F$.
2. Calculer $F'(x)$ et montrer que $F'(x)=f(x)$ après simplifications.

Exercice 5   On considère les intégrales définies $I=\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ suivantes.

$$\int_{-2}^{-1}\frac{1}{x} \mathrm{d}x ,\; \int_0^1 x\arctan(x) \mathrm{d}x ,$$

$$\int_0^{\pi/2} \sqrt{\cos(x)} \mathrm{d}x ,\; \int_0^{\pi/2} x^4\sin(x)\cos(x) \mathrm{d}x\;.$$

Pour chacune de ces intégrales :

1. Calculer la valeur exacte, puis approchée de l'intégrale $I$.
2. Pour $n=100$, puis $n=1000$, et pour tout $j=0,\ldots,n$, on pose $x_j=a+j(b-a)/n$, et $y_j=f(x_j)$. Calculer la valeur approchée de l'intégrale $I$ par la méthode des rectangles à gauche :
   $$I_r = \sum_{j=0}^{n-1} f(x_j)(x_{j+1}-x_j)\;.$$

3. Même question avec la méthode des trapèzes :
   $$I_t = \sum_{j=0}^{n-1} \frac{1}{2}(f(x_j)+f(x_{j+1}))(x_{j+1}-x_j)\;.$$

Exercice 6   On considère la fonction $f$ qui au couple $(x,y)$ associe $f(x,y)=\cos(xy)$.

1. On pose $x_0=y_0=\pi/4$. Définir la fonction qui à $(u,v,t)$ associe
   $$f(x_0+ut,y_0+vt)\;.$$

2. Définir la fonction $g$ qui à $t$ associe la dérivée partielle par rapport à $t$ de la fonction précédente (dérivée directionnelle).
3. Calculer le gradient de la fonction $f$ au point $(x_0,y_0)$, puis le produit scalaire de ce gradient avec le vecteur $(u,v)$. Donner ce résultat en fonction de $g$.

Exercice 7   On considère l'équation $x^3-(a-1)x^2+a^2x-a^3=0$ comme une équation en $x$.

1. Représenter graphiquement la solution $x$ en fonction de $a$ à l'aide de la fonction
   plotimplicit.
2. Calculer les trois solutions de l'équation, en utilisant rootof pour la première, en éliminant la première avec quo et en trouvant les deux dernières solutions en résolvant l'équation du second degré (utiliser coeff pour calculer le discriminant de l'équation).
3. Représenter graphiquement chacune des trois racines sur le même graphique avec une couleur différente, et pour les valeurs de $a$ telles que ces solutions soient réelles (on pourra utiliser resultant pour trouver les valeurs de $a$ pour lesquelles l'équation possède une racine multiple en $x$, ces valeurs sont les bornes possibles des intervalles en $a$ où chacune des racines sont réelles).
4. Donner la valeur des solutions pour $a=0,1,2$.

Exercice 8   On considère les limites suivantes.

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} ,\; \lim_{x\rightarrow ... ...htarrow +\infty} (1+1/x)^{x} ,\; \lim_{x\rightarrow +\infty} (2^x+3^x)^{1/x}$$

Pour chacune d'entre elles :

1. Donner sa valeur exacte.
2. Trouver une valeur de $x$ telle que la distance de $f(x)$ à la limite soit inférieure à $10^{-3}$.

Exercice 9   Représenter les fonctions $f$ suivantes, en choisissant l'intervalle des abscisses et des ordonnées, de façon à obtenir la représentation la plus informative possible.

1. $f(x)=1/x$.
2. $f(x)=\mathrm{e}^x$.
3. $f(x)=1/\sin(x)$.
4. $f(x)=x/\sin(x)$.
5. $f(x)=\sin(x)/x$.

Exercice 10   On considère la fonction $f(x)=3x^2+1+\frac{1}{\pi^4}\ln((\pi-x)^2)$.

1. Vérifier que cette fonction prend des valeurs négatives sur $\mathbb{R}^+$. Représenter la fonction sur l'intervalle $[0,5]$.
2. Déterminer $\epsilon >0$ tel que Xcas donne une représentation correcte de la fonction sur l'intervalle $[\pi-\epsilon,\pi+\epsilon]$.

Exercice 11    

1. Représenter la fonction $\exp(x)$ sur l'intervalle $[-1,1]$. Sur ce graphique, tracer aussi les représentations des polynômes de Taylor de cette fonction en $x=0$, aux ordres $1,2,3,4$.
2. Même question pour l'intervalle $[1,2]$.
3. Représenter la fonction $\sin(x)$ sur l'intervalle $[-\pi,\pi]$. Sur le même graphique, superposer les représentations des polynômes de Taylor de cette fonction en $x=0$, aux ordres $1,3,5$.

Exercice 12   Superposer les représentations suivantes sur le même graphique, allant de 0 à $1$ en abscisse et en ordonnée.

1. La première bissectrice ($y=x$).
2. Le graphe de la fonction $f : \;x\mapsto 1/6+x/3+x^2/2$.
3. La tangente à la fonction $f$ au point $x=1$.
4. Un segment vertical allant de l'axe des $x$ au point d'intersection de la fonction $f$ et de la première bissectrice, et un segment horizontal allant de ce point d'intersection à l'axe des $y$.
5. Les chaînes de caractères "point fixe" et "tangente", positionnées sur le graphique.

Exercice 13   Le but de l'exercice est de représenter sur un même graphique des familles de fonctions. On choisira le nombre de courbes, l'intervalle de représentation, les échelles en $x$ et $y$ ainsi que le pas de discrétisation des abscisses, de façon à obtenir la représentation la plus informative possible.

1. Fonctions $f_a(x) = x^a\mathrm{e}^{-x}$, pour $a$ allant de $-1$ à $1$.
2. Fonctions $f_a(x)=1/(x-a)^2$, pour $a$ allant de $-1$ à $1$.
3. Fonctions $f_a(x)=\sin(ax)$, pour $a$ allant de 0 à $2$.

Exercice 14   Pour chacune des courbes paramétrées suivantes, on choisira un intervalle de valeurs du paramètre assurant une représentation complète et suffisamment lisse.

1. $$\left\{ \begin{array}{lcl} x(t)&=& \sin(t)\\ y(t)&=& \cos^3(t) \end{array}\right.$$

2. $$\left\{ \begin{array}{lcl} x(t)&=& \sin(4 t)\\ y(t)&=& \cos^3(6 t) \end{array}\right.$$

3. $$\left\{ \begin{array}{lcl} x(t)&=& \sin(132 t)\\ y(t)&=& \cos^3(126 t) \end{array}\right.$$

Exercice 15   Le but de l'exercice est de visualiser de différentes manières la surface définie par $z=f(x,y)=x y^2$. Ouvrir une fenêtre de géométrie 3-d.

1. Choisir un domaine de représentation et les pas de discrétisation, de manière à obtenir une représentation informative avec plotfunc.
2. Créer un paramètre $a$ modifiable à la souris avec la fonction assume. Représenter la courbe définie par $z=f(a,y)$, puis faites varier le paramètre à la souris.
3. Créer un paramètre $b$ modifiable à la souris. Représenter la courbe définie par $z=f(x,b)$, puis faites varier le paramètre à la souris.

Exercice 16   Le but de l'exercice est de visualiser un cône de différentes manières.

1. Représenter la surface d'équation $z=1-\sqrt{x^2+y^2}$.
2. Représenter la surface paramétrée définie par :
   $$\left\{ \begin{array}{lcl} x(u,v)&=& u \cos(v)\\ y(u,v)&=& u \sin(v)\\ z(u,v)&=& 1-u\;. \end{array}\right.$$

3. En choisisant une valeur de $a$ suffisamment grande, représenter la courbe paramétrée définie par :
   $$\left\{ \begin{array}{lcl} x(t)&=& t \cos(a t)\\ y(t)&=& t \sin(a t)\\ z(t)&=& 1-t\;. \end{array}\right.$$

4. Représenter la famille de courbes paramétrées définies par :
   $$\left\{ \begin{array}{lcl} x(t)&=& a \cos(t)\\ y(t)&=& a \sin(t)\\ z(t)&=& 1-a\;. \end{array}\right.$$

5. Représenter le même cône en utilisant la fonction cone.

Exercice 17    

1. Engendrer une liste $l$ de $100$ entiers au hasard entre $1$ et $9$.
2. Vérifier que l'ensemble des valeurs de $l$ est contenu dans $\{1,\ldots,9\}$.
3. Extraire de la liste $l$ toutes les valeurs $\geqslant 5$.
4. Pour tout $k=1,\ldots,9$, compter combien de valeurs de la liste $l$ sont égales à $k$.

Exercice 18   Si $x$ est un réel, la fraction continue à l'ordre $n$ de $x$ est une liste $[a_0,\ldots,a_n]$ d'entiers, dont le premier terme $a_0$ est la partie entière de $x$. Pour tout $n\geqslant 0$, $a_n$ est la partie entière de l'inverse de la partie décimale de $a_{n-1}$. La liste $[a_0,\ldots,a_n]$ est associée au rationnel

$$u_n = a_0+\frac{1}{\displaystyle{a_1+ \frac{1}{\displaystyle{a_2+\frac{1}{\ddots+\displaystyle{\frac{1}{a_n}}}}}}}$$

Pour $x\in\{\pi,\sqrt{2}, \mathrm{e}\}$ et $n\in \{5,10\}$ :

1. Calculer $[a_0,\ldots,a_n]$.
2. Comparer votre résultat avec celui que donne la fonction dfc de Xcas.
3. Calculer $u_n$, et donner la valeur numérique de $x-u_n$.

Exercice 19   Écrire (sans utiliser de boucle) les séquences suivantes :

1. Nombres de $1$ à $3$ par pas de $0.1$.
2. Nombres de $3$ à $1$ par pas de $-0.1$.
3. Carrés des $10$ premiers entiers.
4. Nombres de la forme $(-1)^n n^2$ pour $n=1,\ldots,10$.
5. 10 "0" suivis de 10 "1".
6. 3 "0" suivis de 3 "1", suivis de 3 "2",..., suivis de 3 "9".
7. "1", suivi de 1 "0", suivi de "2", suivi de 2 "0",... , suivi de "8", suivi de 8 zéros, suivi de "9".
8. $1$ "$1$" suivi de $2$ "$2$", suivis de $3$ "$3$",..., suivis de $9$ "$9$".

Exercice 20    

1. Définir les polynômes de degré 6 suivants.
   1. polynôme dont les racines sont les entiers de $1$ à $6$.
   2. polynôme dont les racines sont 0 (racine triple), $1$ (racine double) et $2$ (racine simple).
   3. polynôme $(x^2-1)^3$.
   4. polynôme $x^6-1$.

2. Écrire (sans utiliser la fonction companion) la matrice compagnon $A$ associée à chacun de ces polynômes. On rappelle que la matrice compagnon associée au polynôme :
   $$P=x^d+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots+a_1x+a_0\;,$$
   est :

   $$A = \left( \begin{array}{cccccc} 0&1&0&\ldots&&0\ \vdots&\ddots&... ...s&0\ 0&\ldots&&\ldots&0&1\ -a_0&-a_1&&\ldots&&-a_{d-1} \end{array} \right)\;.$$

   
   

3. Calculer les valeurs propres de la matrice $A$.
4. Calculer le polynôme caractéristique de $A$.

Exercice 21    

1. Écrire la matrice carrée $A$ d'ordre $4$, telle que $a_{j,k}=a$ si $j=k$ et $a_{j,k}=b$ si $j \neq k$, où $a$ et $b$ sont des variables.
2. Calculer et factoriser le polynôme caractéristique de $A$.
3. Déterminer une matrice orthogonale $P$ telle que ${^t\!P} A P$ soit une matrice diagonale.
4. Utiliser la question précédente pour définir la fonction qui à un entier $n$ associe la matrice $A^n$.
5. Calculer $A^k$, pour $k=1,\ldots,6$ en effectuant les produits matriciels, et vérifier que la fonction définie à la question précédente donne bien le même résultat.

Exercice 22    

1. Écrire la matrice carrée $N$ d'ordre $6$, telle que $n_{j,k}=1$ si $k=j+1$ et $n_{j,k}=0$ si $k \neq j+1$.
2. Calculer $N^p$, pour $p=1,\ldots,6$.
3. Écrire la matrice $A=xI+N$, où $x$ est une variable.
4. Calculer $A^p$, pour $p=1,\ldots,6$.
5. Calculer $\exp(At)$ en fonction de $x$ et $t$ :
   $$\exp(At) = I+\sum_{p=1}^\infty \frac{t^p}{p!} A^p\;.$$

Exercice 23   Écrire les fonctions suivantes, sans utiliser de boucle.

1. La fonction $f$ prend en entrée un entier $n$ et deux réels $a, b$ et retourne la matrice $A$ dont les termes diagonaux valent $a$, tous les autres termes étant égaux à $b$.
2. La fonction $g$ prend en entrée un entier $n$ et trois réels $a, b, c$ et retourne la matrice $A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$ dont les termes diagonaux sont égaux à $a$, les termes $a_{j,j+1}$ égaux à $b$ et termes $a_{j+1,j}$ égaux à $c$, pour $j=1,\ldots,n-1$ (les autres termes sont nuls).
3. La fonction $H$ prend en entrée un entier $n$ et retourne en sortie la matrice $A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$ définie par $a_{j,k} = 1/(j+k+1)$ (matrice de Hilbert). Comparer le temps d'exécution de votre fonction avec celui de la fonction hilbert.
4. La fonction $V$ prend en entrée un vecteur $x=(x_j)_{j=1,\ldots,n}$ et retourne en sortie la matrice $A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$ définie par $a_{j,k} = x_k^{j-1}$ (matrice de Vandermonde). Comparer le temps d'exécution de votre fonction avec celui de la fonction vandermonde.
5. La fonction $T$ prend en entrée un vecteur $x=(x_j)_{j=1,\ldots,n}$ et retourne en sortie la matrice $A=(a_{j,k})_{j,k=1,\ldots,n}$ définie par $a_{j,k} = x_{\vert j-k\vert+1}$ (matrice de Toeplitz).

Exercice 24   Écrire les fonctions suivantes. Toutes prennent en entrée une fonction $f$ (de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$), et trois valeurs $x_{min}$, $x_0$ et $x_{max}$ (supposées telles que $x_{min}\leqslant x_0 \leqslant x_{max}$).

1. derive : Elle calcule et représente graphiquement la dérivée de $f$ sur l'intervalle $[x_{min},x_{max}]$. Elle retourne la valeur de $f'(x_0)$.
2. tangente : Elle représente la fonction $f$ sur l'intervalle $[x_{min},x_{max}]$, elle superpose sur le même graphique la tangente à $f$ au point $x_0$, et retourne l'équation de cette tangente comme un polynôme du premier degré.
3. araignee : Elle représente la fonction $f$ sur l'intervalle $[x_{min},x_{max}]$, ainsi que la droite d'équation $y=x$ (première bissectrice). Elle calcule et retourne les $10$ premiers itérés de $f$ en $x_0$ ( $x_1=f(x_0), x_2=f\circ f(x_0), \ldots$). Elle représente la suite de segments, alternativement verticaux et horizontaux, permettant de visualiser les itérations : segments joignant $(x_0,0)$, $(x_0,x_1)$, $(x_1,x_1)$, $(x_1,x_2)$, $(x_2,x_2)$, ... (comparer avec la fonction plotseq).
4. newton_graph : Elle représente la fonction $f$ sur l'intervalle $[x_{min},x_{max}]$. Elle calcule et retourne les dix premiers itérés de la suite définie à partir de $x_0$ par la méthode de Newton : $x_1=x_0 -f(x_0)/f'(x_0)$, $x_2=x_1 - f(x_1)/f'(x_1)$ ...  Les valeurs de la dérivée sont approchées. La fonction représente sur le même graphique les segments permettant de visualiser les itérations : segments joignant $(x_0,0)$, $(x_0,f(x_0))$, $(x_1,0)$, $(x_1,f(x_1))$, $(x_2,0)$, $(x_2,f(x_2))$,... (comparer avec la fonction newton)

Exercice 25   On note $D$ le carré unité : $D=]0,1[^2$. Soit $\Phi$ l'application définie sur $D$ par

$$\Phi(x,y) = (z(x,y),t(x,y))= \left(\frac{x}{1+y} , \frac{y}{1+x}\right)\;.$$

1. Calculer l'inverse de l'application $\Phi$.
2. Déterminer et représenter graphiquement l'image par $\Phi$ du domaine $D$: $\Delta=\Phi(D)$.
3. Soit $A(x,y)$ la matrice jacobienne de $\Phi$ en un point $(x,y)$ de $D$, et $B(z,t)$ la matrice jacobienne de $\Phi^{-1}$ en un point $(x,y)$ de $\Delta$. Calculer ces deux matrices, vérifier que $B(\Phi(x,y))$ et $A(x,y)$ sont inverses l'une de l'autre.
4. Soit $J(z,t)$ le déterminant de la matrice $B$. Calculer et simplifier $J(z,t)$.
5. Calculer
   $$I_1=\iint_D \left( \frac{1+x+y}{(1+x)(1+y)} \right)^3 \mathrm{d}x\mathrm{d}y\;.$$

6. Calculer
   $$I_2=\iint_\Delta (1+z)(1+t) \mathrm{d}z\mathrm{d}t\;,$$
   et vérifier que $I_1=I_2$.