Opérations sur les développements limités

Nous allons traduire sur les développements limités les opérations habituelles sur les fonctions (somme, produit, composition, dérivation, intégration). Ces résultats permettent de calculer les développements limités de toutes les fonctions que vous rencontrerez, à condition de connaître un petit nombre de développements, ceux des fonctions les plus courantes.

Théorème 4   Soient $n$ un entier et $I$ un intervalle ouvert contenant 0. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $I$, admettant chacune un développement limité d'ordre $n$ en 0.

$$f(x)=P_n(x)+o(x^n)$$   et$$\quad g(x)=Q_n(x)+o(x^n)\;.$$

1. somme : $f+g$ admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est la somme de ceux de $f$ et $g$.
2. produit : $fg$ admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux à $n$ dans le produit $P_nQ_n$.
3. composition : si $g(0)=0$, alors $f\circ g$ admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux à $n$ dans le polynôme composé $P_n\circ Q_n$.

Démonstration : Rappelons que si $r$ et $s$ sont deux fonctions négligeables devant $x^n$, alors leur somme, ainsi que leurs produits par des fonctions bornées sont encore négligeables devant $x^n$. En particulier :

$$f(x)+g(x)=\Big(P_n(x)+o(x^n)\Big)+\Big(Q_n(x)+o(x^n)\Big) =P_n(x)+Q_n(x)+o(x^n)\;.$$

Pour le produit, il suffit d'écrire :

$$f(x)g(x)=\Big(P_n(x)+o(x^n)\Big)\Big(Q_n(x)+o(x^n)\Big) =P_n(x)Q_n(x)+o(x^n)\;.$$

Si on note $A_n$ le polynôme formé des termes de degré au plus $n$ dans $P_nQ_n$, alors $P_n(x)Q_n(x)-A_n(x)=o(x^n)$. On a bien :

$$f(x)g(x)=A_n(x)+o(x^n)\;.$$

Le raisonnement est analogue pour la composition.$\square$ Par exemple, avec

$$f(x)=1-x-x^2+o(x^2)$$   et$$\quad g(x)=2x+x^2+o(x^2)\;,$$

on obtient :

$$f(x)+g(x)=1+x+o(x^2)\;,\quad f(x)g(x)=2x-x^2+o(x^2)\;,\quad f\circ g(x)=1-2x-5x^2+o(x^2).$$

En règle générale, il faut toujours commencer un calcul avec des développement limités qui soient tous au moins de l'ordre final souhaité, quitte à ne pas calculer en cours de route les termes négligeables. Il peut être nécessaire de partir d'un ordre supérieur à l'ordre souhaité, nous en verrons des exemples.

Théorème 5   Soient $n$ un entier et $I$ un intervalle ouvert contenant 0. Soit $f$ une fonction $n-1$ fois dérivable sur $I$, dont la dérivée $n$-ième en 0 existe. Soit $P_n$ son polynôme de Taylor d'ordre $n$, et $R_n$ le reste.

$$f(x)=P_n(x)+R_n(x)\;,\quad R_n(x)=o(x^n)\;.$$

1. dérivation : la dérivée $f'$ admet un développement limité d'ordre $n-1$ en 0, dont le polynôme de Taylor est la dérivée de celui de $f$.
   $$f'(x)=P'_n(x)+o(x^{n-1})\;.$$

2. intégration : toute primitive de $f$ admet un développement limité d'ordre $n+1$ en 0, dont le polynôme de Taylor est une primitive de celui de $f$.

Par exemple, si $f(x)=1-x+x^2+o(x^2)$, et $F$ est une primitive de $f$, alors :

$$f'(x)=-1+2x+o(x)$$   et$$\quad F(x)=F(0)+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\;.$$

Démonstration : Pour la dérivation, c'est une observation que nous avons déjà utilisée dans la démonstration du théorème de Taylor-Young (théorème 2). L'intégration est la même observation, appliquée à la primitive.$\square$ Dans la section suivante, nous mettrons en pratique ces résultats pour calculer les développements limités des fonctions usuelles.