Formules de Taylor

Le résultat de base, le seul que vous ayez vraiment besoin de retenir, dit que sous les hypothèses de la définition 1, le reste de Taylor $R_n$ est négligeable devant $x^n$ au voisinage de 0, donc la fonction admet un développement limité, dont la partie polynomiale est son polynôme de Taylor d'ordre $n$. C'est le théorème de Taylor-Young.

Théorème 2   Soient $I$ un intervalle ouvert contenant 0, et $n$ un entier. Soit $f$ une fonction dérivable $n-1$ fois sur $I$, et dont la dérivée $n$-ième en 0 existe. Soit $R_n$ son reste de Taylor d'ordre $n$ en 0 :

$$R_n(x)=f(x)-\left( f(0)+\frac{f'(0)}{1!} x+\frac{f''(0)}{2!} x^2+\cdots+ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\right)\;.$$

Au voisinage de 0, $R_n$ est négligeable devant $x^n$ :

$$R_n(x)=o(x^n)\;.$$

Démonstration : c'est une récurrence assez simple. Pour $n=1$, le résultat est une autre manière d'exprimer la dérivabilité de $f$ en 0. En effet,

$$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)\;,$$

équivaut à :

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}-f'(0) = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)-xf'(0)}{x}=0\;.$$

Par définition, ceci signifie que $f(x)-f(0)-(x-0)f'(0)$ est négligeable devant $x$ au voisinage de 0 :

$$f(x)-f(0)-xf'(0)=R_1(x)=o(x)\;.$$

Supposons maintenant que le résultat soit vrai à l'ordre $n-1$. Si $f$ vérifie les hypothèses à l'ordre $n$, alors $f'$ les vérifie à l'ordre $n-1$. Or, le polynôme de Taylor d'ordre $n-1$ de $f'$ est exactement $P'_n(x)$.

$$f'(0)+\frac{f''(0)x}{1!}+\cdots+\frac{f^{'(n-1)}(0)x^{n-1}}{(n-1)... ...rac{f'(0)x}{1!}+\frac{f''(0)x^2}{2!}+ \cdots+\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}\right)'.$$

L'hypothèse de récurrence entraîne que :

$$R'_n(x)=f'(x)-P'_n(x)=o(x^{n-1})\;.$$

En revenant aux définitions, ceci signifie que pour tout $\varepsilon >0$, il existe $\eta>0$ tel que :

$$\vert x\vert\leqslant\eta \;\Longrightarrow\; \left\vert\frac{R'_n(x)}{x^{n-1}}\right\vert\leqslant\varepsilon \;.$$

Fixons $x$ dans l'intervalle $]0,\eta]$ et appliquons le théorème des accroissement finis à $R_n(x)$, sur l'intervalle $[0,x]$ :

$$\exists c\in ]0,x[\;,\quad \frac{R_n(x)}{x}=R'_n(c)\;.$$

Alors :

$$\left\vert\frac{R_n(x)}{x^{n}}\right\vert = \left\vert\frac{R'_n(... ...eqslant\ \left\vert\frac{R'_n(c)}{c^{n-1}}\right\vert\leqslant\varepsilon \;.$$

Le raisonnement est le même pour $x\in [-\eta,0[$. Nous avons donc montré que $R_n(x)$ est négligeable devant $x^n$. D'où le résultat, par récurrence.$\square$ La plupart des fonctions que vous aurez à manipuler sont indéfiniment dérivables sur leur domaine de définition. Elles admettent donc des développements limités à tout ordre.

Corollaire 1   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, indéfiniment dérivable sur un intervalle ouvert $I$ contenant 0. Pour tout entier $n$, $f$ admet un développement limité d'ordre $n$ en 0. Soit $R_n$ son reste de Taylor d'ordre $n$. Au voisinage de 0,

$$R_n(x) \sim \frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!} x^{n+1}\;.$$

Démonstration : D'après le théorème 2, $f$ admet un développement limité aux ordres $n$ et $n+1$, pour tout $n$. Or :

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!} x^{n+1}+R_{n+1}(x)\;.$$

Comme $R_{n+1}(x)$ est négligeable devant $x^{n+1}$, le rapport de $R_n(x)$ à $\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}x^{n+1}$ tend vers $1$. D'où le résultat.$\square$ Moyennant une hypothèse à peine plus forte que celle du théorème 2, on peut donner un résultat plus précis sur le reste de Taylor $R_n$ : la formule de Taylor avec reste intégral.

Théorème 3   Soit $n$ un entier et $I$ un intervalle ouvert contenant 0. Soit $f$ une fonction de classe ${\cal C}^{n+1}$ sur $I$ (c'est-à-dire $n+1$ fois dérivable, de dérivée $(n+1)$-ième continue). Soit $R_n$ son reste de Taylor d'ordre $n$ en 0.

$$R_n(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\;.$$ (3)

Démonstration : c'est encore une récurrence. Pour $n=0$, la formule est le théorème fondamental de l'Analyse :

$$f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t) \mathrm{d}t\;.$$

Pour $n$ quelconque, posons :

$$I_n = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\;,$$

et intégrons par parties.

$$I_n = \displaystyle{\left[\frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n)}(t)\right]_0^x +\int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(t) \mathrm{d}t}$$

$$= \displaystyle{-\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n+I_{n-1}\;.}$$

Si on suppose la formule vraie à l'ordre $n\!-\!1$, alors $I_{n-1}=R_{n-1}(x)$, or :

$$R_{n-1}(x)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n +R_{n}(x)\;,$$

donc $R_n(x)=I_n$ : le résultat est vrai à l'ordre $n$. Il est donc vrai pour tout $n$, par récurrence.$\square$