Formules de Taylor

Le résultat de base, le seul que vous ayez vraiment besoin de retenir, dit que sous les hypothèses de la définition 1, le reste de Taylor $ R_n$ est négligeable devant $ x^n$ au voisinage de 0, donc la fonction admet un développement limité, dont la partie polynomiale est son polynôme de Taylor d'ordre $ n$. C'est le théorème de Taylor-Young.

Théorème 2   Soient $ I$ un intervalle ouvert contenant 0, et $ n$ un entier. Soit $ f$ une fonction dérivable $ n-1$ fois sur $ I$, et dont la dérivée $ n$-ième en 0 existe. Soit $ R_n$ son reste de Taylor d'ordre $ n$ en 0 :

$\displaystyle R_n(x)=f(x)-\left(
f(0)+\frac{f'(0)}{1!} x+\frac{f''(0)}{2!} x^2+\cdots+
\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\right)\;.
$

Au voisinage de 0, $ R_n$ est négligeable devant $ x^n$ :

$\displaystyle R_n(x)=o(x^n)\;.
$

Démonstration : c'est une récurrence assez simple. Pour $ n=1$, le résultat est une autre manière d'exprimer la dérivabilité de $ f$ en 0. En effet,

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(0)\;,
$

équivaut à :

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}-f'(0)
=
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)-xf'(0)}{x}=0\;.
$

Par définition, ceci signifie que $ f(x)-f(0)-(x-0)f'(0)$ est négligeable devant $ x$ au voisinage de 0 :

$\displaystyle f(x)-f(0)-xf'(0)=R_1(x)=o(x)\;.
$

Supposons maintenant que le résultat soit vrai à l'ordre $ n-1$. Si $ f$ vérifie les hypothèses à l'ordre $ n$, alors $ f'$ les vérifie à l'ordre $ n-1$. Or, le polynôme de Taylor d'ordre $ n-1$ de $ f'$ est exactement $ P'_n(x)$.

$\displaystyle f'(0)+\frac{f''(0)x}{1!}+\cdots+\frac{f^{'(n-1)}(0)x^{n-1}}{(n-1)...
...rac{f'(0)x}{1!}+\frac{f''(0)x^2}{2!}+
\cdots+\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}\right)'.
$

L'hypothèse de récurrence entraîne que :

$\displaystyle R'_n(x)=f'(x)-P'_n(x)=o(x^{n-1})\;.
$

En revenant aux définitions, ceci signifie que pour tout $ \varepsilon >0$, il existe $ \eta>0$ tel que :

$\displaystyle \vert x\vert\leqslant\eta \;\Longrightarrow\;
\left\vert\frac{R'_n(x)}{x^{n-1}}\right\vert\leqslant\varepsilon \;.
$

Fixons $ x$ dans l'intervalle $ ]0,\eta]$ et appliquons le théorème des accroissement finis à $ R_n(x)$, sur l'intervalle $ [0,x]$ :

$\displaystyle \exists c\in ]0,x[\;,\quad
\frac{R_n(x)}{x}=R'_n(c)\;.
$

Alors :

$\displaystyle \left\vert\frac{R_n(x)}{x^{n}}\right\vert
=
\left\vert\frac{R'_n(...
...eqslant\
\left\vert\frac{R'_n(c)}{c^{n-1}}\right\vert\leqslant\varepsilon \;.
$

Le raisonnement est le même pour $ x\in [-\eta,0[ $. Nous avons donc montré que $ R_n(x)$ est négligeable devant $ x^n$. D'où le résultat, par récurrence.$ \square$ La plupart des fonctions que vous aurez à manipuler sont indéfiniment dérivables sur leur domaine de définition. Elles admettent donc des développements limités à tout ordre.

Corollaire 1   Soit $ f$ une fonction de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$, indéfiniment dérivable sur un intervalle ouvert $ I$ contenant 0. Pour tout entier $ n$, $ f$ admet un développement limité d'ordre $ n$ en 0. Soit $ R_n$ son reste de Taylor d'ordre $ n$. Au voisinage de 0,

$\displaystyle R_n(x) \sim \frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!} x^{n+1}\;.
$

Démonstration : D'après le théorème 2, $ f$ admet un développement limité aux ordres $ n$ et $ n+1$, pour tout $ n$. Or :

$\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!} x^{n+1}+R_{n+1}(x)\;.
$

Comme $ R_{n+1}(x)$ est négligeable devant $ x^{n+1}$, le rapport de $ R_n(x)$ à $ \frac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}x^{n+1}$ tend vers $ 1$. D'où le résultat.$ \square$ Moyennant une hypothèse à peine plus forte que celle du théorème 2, on peut donner un résultat plus précis sur le reste de Taylor $ R_n$ : la formule de Taylor avec reste intégral.

Théorème 3   Soit $ n$ un entier et $ I$ un intervalle ouvert contenant 0. Soit $ f$ une fonction de classe $ {\cal C}^{n+1}$ sur $ I$ (c'est-à-dire $ n+1$ fois dérivable, de dérivée $ (n+1)$-ième continue). Soit $ R_n$ son reste de Taylor d'ordre $ n$ en 0.

$\displaystyle R_n(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\;.$ (3)

Démonstration : c'est encore une récurrence. Pour $ n=0$, la formule est le théorème fondamental de l'Analyse :

$\displaystyle f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t) \mathrm{d}t\;.
$

Pour $ n$ quelconque, posons :

$\displaystyle I_n = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\;,
$

et intégrons par parties.
$\displaystyle I_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{\left[\frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n)}(t)\right]_0^x
+\int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(t) \mathrm{d}t}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle{-\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n+I_{n-1}\;.}$  

Si on suppose la formule vraie à l'ordre $ n\!-\!1$, alors $ I_{n-1}=R_{n-1}(x)$, or :

$\displaystyle R_{n-1}(x)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n +R_{n}(x)\;,
$

donc $ R_n(x)=I_n$ : le résultat est vrai à l'ordre $ n$. Il est donc vrai pour tout $ n$, par récurrence.$ \square$

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