Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels et $f$ une application de $E$ dans $F$. Soit $n$ un entier strictement positif, et $(v_1,\ldots,v_n)$ une famille de vecteurs de $E$.

1. On suppose que $(v_1,\ldots,v_n)$ est génératrice. Soit $v$ un vecteur quelconque de $E$. Montrer que la famille $(v_1,\ldots,v_n,v)$ est génératrice.
2. On suppose que $(v_1,\ldots,v_n)$ est libre. Montrer que la famille $(v_1,\ldots,v_{n-1})$ est libre.
3. On suppose que $f$ est surjective et que $(v_1,\ldots,v_n)$ est génératrice dans $E$. Montrer que $(f(v_1),\ldots,f(v_n))$ est génératrice dans $F$.
4. On suppose que $f$ est injective et que $(v_1,\ldots,v_n)$ est libre dans $E$. Montrer que $(f(v_1),\ldots,f(v_n))$ est libre dans $F$.
5. On suppose que $f$ est bijective. Montrer que $(f(v_1),\ldots,f(v_n))$ est une base de $F$ si et seulement si $(v_1,\ldots,v_n)$ est une base de $E$.

Exercice : Soient $a$ et $b$ deux réels. On considère les trois vecteurs de $\mathbb{R}^3$ suivants.

$$v_1 = (1,0,a)\;,\quad v_2 = (a,0,a)\;,\quad v_3 = (a,b,1)\;.$$

On note :

$\bullet$

$(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ : $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$, $e_3=(0,0,1)$.

$\bullet$

$f$ l'application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^3$ qui à $e_1$ associe $v_1$, à $e_2$ associe $v_2$ et à $e_3$ associe $v_3$.

1. Montrer que $(v_1,v_2,v_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ si et seulement si $ab(a-1)\neq 0$.
2. Écrire en fonction de $a$ et $b$ la matrice de $f$ dans la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$.
3. Pour $a=0$, montrer que les deux vecteurs $v_1$ et $v_3$ forment une famille libre.
4. Pour $a=0$, montrer que le noyau de $f$ est la droite vectorielle engendrée par $e_2$.
5. Pour $a=0$, donner une base de $\mathrm{Im}(f)$.
6. Pour $a=0$, vérifier que $f\circ f=f$.
7. Pour $a=0$, montrer que $(e_2,v_1,v_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$. Écrire la matrice de $f$ dans la base $(e_2,v_1,v_3)$.
8. Pour $a\neq 1$ et $b=0$, montrer que $\mathrm{Ker}(f)$ est une droite vectorielle, dont on donnera un vecteur directeur fonction de $a$.
9. Pour $a^2\neq 1$ et $b=0$, montrer que $\mathrm{Im}(f)$ est le plan vectoriel engendré par $v_1$ et $v_3$.
10. Pour $a=1$ et $b=0$, donner une base de $\mathrm{Im}(f)$ et une base de $\mathrm{Ker}(f)$.
11. Pour $a=1$ et $b=0$, vérifier que la réunion des deux bases de la question précédente forme une base de $\mathbb{R}^3$ et donner la matrice de $f$ dans cette nouvelle base.
12. Pour $a=-1$, $b=1$, montrer que l'application $f$ est bijective.
13. On considère l'application $g$ qui à $e_1$ associe $e_1-e_2$, à $e_2$ associe $2(e_1+e_3)$, et à $e_3$ associe $-e_1-e_2$. Ecrire la matrice de $g$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$.
14. Pour $a=-1$, $b=1$, écrire la matrice de l'application $g\circ f$. En déduire la matrice de l'application réciproque $f^{-1}$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$.
15. Pour $a=-1$, $b=1$, donner la matrice de l'application $f$ dans la base $(v_1,v_2,v_3)$.