QCM

QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1 Soit un espace vectoriel.

$\framebox{A}$: Si un sous-ensemble de contient la somme d'une famille finie quelconque de ses éléments, alors c'est un espace vectoriel.
$\framebox{B}$: Si un sous-ensemble de est un espace vectoriel, alors il contient l'opposé de tout vecteur de .
$\framebox{C}$: L'intersection de deux sous-espaces vectoriels de est toujours un sous-espace vectoriel de .
$\framebox{D}$: Si un sous-ensemble de contient tous les plans vectoriels engendrés par deux quelconques de ses vecteurs, alors c'est un sous-espace vectoriel de .
$\framebox{E}$: La réunion de deux sous-espaces vectoriels de est toujours un sous-espace vectoriel de .

Question 2

$\framebox{A}$: L'ensemble $\{ (x,y,z) ,\;x^2+y^2=1 \}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .
$\framebox{B}$: L'ensemble $\{ (x,y,z) ,\;x^2+y^2=0 \}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .
$\framebox{C}$: L'ensemble $\{ (x,y,z) ,\;x^2=y^2 \}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .
$\framebox{D}$: L'ensemble $\{ (x,y,z) ,\;x=y \}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .
$\framebox{E}$: L'ensemble $\{ (x,y,z) ,\;x=y=1 \}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Question 3 Dans $\mathbb{R}^3$ :

$\framebox{A}$: est une famille génératrice.
$\framebox{B}$: est une famille génératrice.
$\framebox{C}$: est une famille génératrice.
$\framebox{D}$: est une famille génératrice.
$\framebox{E}$: est une famille génératrice.

Question 4 Dans $\mathbb{R}^3$ :

$\framebox{A}$: est une famille libre.
$\framebox{B}$: est une famille libre.
$\framebox{C}$: est une famille libre.
$\framebox{D}$: est une famille libre.
$\framebox{E}$: est une famille libre.

Question 5 Dans $\mathbb{R}^4$ :

$\framebox{A}$: Toute famille libre de 4 vecteurs est une base.
$\framebox{B}$: Si on ajoute un vecteur quelconque à une base, on obtient une famille génératrice.
$\framebox{C}$: Si on ajoute un vecteur quelconque à une famille libre de trois vecteurs, on obtient une base.
$\framebox{D}$: Si une famille de vecteurs contient le vecteur nul, elle n'est pas génératrice.
$\framebox{E}$: Toute famille de trois vecteurs non nuls est libre.

Question 6 Dans $\mathbb{R}^4$ :

$\framebox{A}$: Si une famille de 4 vecteurs est de rang 3, alors 2 au moins des vecteurs de la famille sont colinéaires.
$\framebox{B}$: Si une famille de 3 vecteurs est de rang 3, alors elle est libre.
$\framebox{C}$: Si une famille de 3 vecteurs est de rang 1, alors tous ses vecteurs sont colinéaires à un même vecteur.
$\framebox{D}$: Si une famille de 5 vecteurs est de rang 4, alors toute sous-famille de 4 vecteurs est une base.
$\framebox{E}$: Si une famille de 3 vecteurs est de rang 2, alors on peut la compléter par un vecteur de manière à obtenir une base.

Question 7

$\framebox{A}$: L'application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$ , qui à associe $\vert x+y+z\vert$ est linéaire.
$\framebox{B}$: L'application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ , qui à associe est linéaire.
$\framebox{C}$: L'application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$ , qui à associe est linéaire.
$\framebox{D}$: L'application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ , qui à associe est linéaire.
$\framebox{E}$: L'application de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ , qui à associe est linéaire.

Question 8 On considère l'application , de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ , qui à associe .

$\framebox{A}$: L'application est injective.
$\framebox{B}$: Le noyau de est un plan vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .
$\framebox{C}$: L'application est surjective.
$\framebox{D}$: L'image de est la droite vectorielle engendrée par le vecteur .
$\framebox{E}$: Le noyau de est la droite vectorielle engendrée par le vecteur .

Question 9 Soit une application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^4$ .

$\framebox{A}$: Si le noyau de est une droite vectorielle, alors l'image de est un plan vectoriel.
$\framebox{B}$: Si le noyau de est un plan vectoriel, alors l'image de est un plan vectoriel.
$\framebox{C}$: Si le noyau de est réduit à $\{0\}$ , alors est surjective.
$\framebox{D}$: Si est injective, alors l'image de est un sous-espace de dimension 3 dans $\mathbb{R}^4$ .
$\framebox{E}$: Si l'image de est réduite à $\{0\}$ , alors est injective.

Question 10 Soit l'application de $\mathbb{R}^4$ dans $\mathbb{R}^3$ dont la matrice relative aux bases canoniques de $\mathbb{R}^4$ et $\mathbb{R}^3$ est la matrice suivante.

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc} 1&2&1&0\\ 0&0&1&1\\ 1&2&1&0 \end{array}\right)\;.$

$\framebox{A}$: L'application est injective.
$\framebox{B}$: L'image de est engendrée par les vecteurs et .
$\framebox{C}$: Le noyau de est un plan vectoriel.
$\framebox{D}$: L'image de est engendrée par les vecteurs et .
$\framebox{E}$: Le noyau de est engendré par les vecteurs et .

$\framebox{\rotatebox{180}{Réponses~: 1--CD~2--BD~3--AD~4--BE~5--AB~6--BC~7--CD~8--CE~9--AD~10--BC}}$

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