Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire.
Les 10 questions sont indépendantes.
Pour chaque question 5 affirmations sont proposées,
parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses.
Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez
vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies
sont cochées rapporte 2 points.
Question 1Soit un espace vectoriel.
Si un sous-ensemble de
contient la somme d'une famille finie quelconque de
ses éléments, alors c'est un espace vectoriel.
Si un sous-ensemble de est un espace vectoriel, alors il contient
l'opposé de tout vecteur de .
L'intersection de deux sous-espaces vectoriels de
est toujours un sous-espace vectoriel de .
Si un sous-ensemble de contient tous les plans vectoriels
engendrés par deux quelconques de ses vecteurs, alors c'est un
sous-espace vectoriel de .
La réunion de deux sous-espaces vectoriels de est toujours
un sous-espace vectoriel de .
Question 2
L'ensemble
est un sous-espace vectoriel de
.
L'ensemble
est un sous-espace vectoriel de
.
L'ensemble
est un sous-espace vectoriel de
.
L'ensemble
est un sous-espace vectoriel de
.
L'ensemble
est un sous-espace vectoriel de
.
Question 3Dans
:
est une famille génératrice.
est une famille génératrice.
est une famille génératrice.
est une famille génératrice.
est une famille génératrice.
Question 4Dans
:
est une famille libre.
est une famille libre.
est une famille libre.
est une famille libre.
est une famille libre.
Question 5Dans
:
Toute famille libre de 4 vecteurs est une base.
Si on ajoute un vecteur quelconque à une base, on obtient une
famille génératrice.
Si on ajoute un vecteur quelconque à une famille libre de trois
vecteurs, on obtient une base.
Si une famille de vecteurs contient le vecteur nul, elle n'est pas
génératrice.
Toute famille de trois vecteurs non nuls est libre.
Question 6Dans
:
Si une famille de 4 vecteurs est de rang 3, alors 2 au moins des
vecteurs de la famille sont colinéaires.
Si une famille de 3 vecteurs est de rang 3, alors elle est libre.
Si une famille de 3 vecteurs est de rang 1, alors tous ses vecteurs
sont colinéaires à un même vecteur.
Si une famille de 5 vecteurs est de rang 4, alors toute sous-famille
de 4 vecteurs est une base.
Si une famille de 3 vecteurs est de rang 2, alors on peut la
compléter par un vecteur de manière à obtenir une base.
Question 7
L'application de
dans
, qui à associe
est linéaire.
L'application de
dans
, qui à associe
est linéaire.
L'application de
dans
, qui à associe
est linéaire.
L'application de
dans
, qui à associe
est linéaire.
L'application de
dans
, qui à associe
est linéaire.
Question 8On considère l'application , de
dans
, qui à
associe .
L'application est injective.
Le noyau de est un plan vectoriel de
.
L'application est surjective.
L'image de est la droite vectorielle engendrée par le vecteur
.
Le noyau de est la droite vectorielle engendrée par le vecteur
.
Question 9Soit une application linéaire de
dans
.
Si le noyau de est une droite vectorielle, alors l'image de
est un plan vectoriel.
Si le noyau de est un plan vectoriel, alors l'image de
est un plan vectoriel.
Si le noyau de est réduit à , alors est
surjective.
Si est injective, alors l'image de est un sous-espace de
dimension 3 dans
.
Si l'image de est réduite à , alors est injective.
Question 10Soit l'application de
dans
dont la matrice
relative aux bases canoniques de
et
est la matrice
suivante.