Déterminant d'un endomorphisme

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, et $f$ un endomorphisme (application linéaire de $E$ dans $E$). Le déterminant dans une base de $E$ de l'image par $f$ de cette même base, ne dépend pas de la base choisie.

Proposition 8   Soient ${\cal B}$ et ${\cal B}'$ deux bases de $E$. Alors :

$$\mathrm{det}_{{\cal B}}(f({\cal B})) = \mathrm{det}_{{\cal B}'}(f({\cal B}'))\;.$$

Démonstration : L'application qui à un $n$-uplet de vecteurs $(v_1,\ldots,v_n)$ associe
$\mathrm{det}_{\cal B}(f(v_1),\ldots,f(v_n))$ est $n$-linéaire et alternée. D'après le théorème 2, elle est proportionnelle à l'application $\mathrm{det}_{\cal B}$. Il existe donc une constante $\lambda$ telle que

$$\mathrm{det}_{{\cal B}}(f(v_1),\ldots,f(v_n))=\lambda \mathrm{det}_{{\cal B}}(v_1,\ldots,v_n)\;.$$

Or par définition :

$$\mathrm{det}_{{\cal B}}({\cal B}) = 1\;.$$

En utilisant le cas particulier où les vecteurs $v_1,\ldots,v_n$ sont ceux de la base ${\cal B}$, la constante $\lambda$ est nécessairement $\mathrm{det}_{{\cal B}}(f({\cal B}))$. De même,

$$\mathrm{det}_{{\cal B}'}(f(v_1),\ldots,f(v_n))=\mathrm{det}_{{\cal B}'}(f({\cal B}')) \mathrm{det}_{{\cal B}'}(v_1,\ldots,v_n)\;.$$

Mais d'après la proposition 4,

$$\mathrm{det}_{{\cal B}'} = \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}({\cal B})\Big)\mathrm{det}_{{\cal B}}\;.$$

Donc

$$\mathrm{det}_{{\cal B}'}(f(v_1),\ldots,f(v_n)) = \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}({\cal B})\Big) \mathrm{det}_{{\cal B}}(f(v_1),\ldots,f(v_n))$$

$$= \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}({\cal B})\Big) \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}}(f({\cal B})\Big) \mathrm{det}_{{\cal B}}(v_1,\ldots,v_n)\;.$$

Mais aussi :

$$\mathrm{det}_{{\cal B}'}(f(v_1),\ldots,f(v_n)) = \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}(f({\cal B}'))\Big) \mathrm{det}_{{\cal B}'}(v_1,\ldots,v_n)$$

$$= \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}(f({\cal B}'))\Big) \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}({\cal B})\Big) \mathrm{det}_{{\cal B}}(v_1,\ldots,v_n)\;.$$

Il s'ensuit que

$$\mathrm{det}_{{\cal B}}(f({\cal B})) = \mathrm{det}_{{\cal B}'}(f({\cal B}'))\;.$$

$\square$ La proposition 8 permet de définir le déterminant d'un endomorphisme.

Définition 7   On appelle déterminant de l'endomorphisme $f$, et on note $\mathrm{det}(f)$ la valeur de $\mathrm{det}_{\cal B}(f({\cal B}))$, commune à toutes les bases ${\cal B}$.

Le déterminant de $f$ est donc égal au déterminant de la matrice de $f$ dans n'importe quelle base. De plus, si ${\cal B}$ est une base de $E$ et $(v_1,\ldots,v_n)$ un $n$-uplet quelconque de vecteurs de $E$ :

$$\mathrm{det}_{\cal B}(f(v_1),\ldots,f(v_n)) = \mathrm{det}(f) \mathrm{det}_{\cal B}(v_1,\ldots,v_n)\;.$$

Théorème 3   Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$. Alors :

$$\mathrm{det}(g\circ f)=\mathrm{det}(g) \mathrm{det}(f)\;.$$

Démonstration : Soit ${\cal B}$ une base de $E$. Par définition du déterminant d'un endomorphisme,

$$\mathrm{det}(g\circ f) = \mathrm{det}_{\cal B}(g(f({\cal B})))$$

$$= \mathrm{det}(g) \mathrm{det}_{\cal B}(f({\cal B}))$$

$$= \mathrm{det}(g)\mathrm{det}(f)\;.$$

$\square$ Dans le cas particulier où $f$ est un automorphisme de $E$, son déterminant est non nul (l'image par $f$ d'une base est une base). Sa composée avec l'application réciproque $f^{-1}$ est l'identité, de déterminant $1$. Donc :

$$\mathrm{det}(f^{-1}) = \frac{1}{\mathrm{det}(f)}\;.$$

La traduction en termes de matrices est la suivante.

Corollaire 2    

1. Soient $A$ et $B$ deux matrices de taille $n\times n$.
   $$\mathrm{det}(AB)=\mathrm{det}(A) \mathrm{det}(B)\;.$$

2. Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, et alors :
   $$\left\vert A^{-1}\right\vert = \frac{1}{\vert A\vert}$$