Déterminant d'un endomorphisme

Soit un espace vectoriel de dimension , et un endomorphisme (application linéaire de dans ). Le déterminant dans une base de de l'image par de cette même base, ne dépend pas de la base choisie.

Proposition 8 Soient ${\cal B}$ et ${\cal B}'$ deux bases de . Alors :

$\displaystyle \mathrm{det}_{{\cal B}}(f({\cal B})) = \mathrm{det}_{{\cal B}'}(f({\cal B}'))\;.$

Démonstration : L'application qui à un -uplet de vecteurs $(v_1,\ldots,v_n)$ associe
$\mathrm{det}_{\cal B}(f(v_1),\ldots,f(v_n))$ est -linéaire et alternée. D'après le théorème 2, elle est proportionnelle à l'application $\mathrm{det}_{\cal B}$ . Il existe donc une constante $\lambda$ telle que

$\displaystyle \mathrm{det}_{{\cal B}}(f(v_1),\ldots,f(v_n))=\lambda \mathrm{det}_{{\cal B}}(v_1,\ldots,v_n)\;.$

Or par définition :

$\displaystyle \mathrm{det}_{{\cal B}}({\cal B}) = 1\;.$

En utilisant le cas particulier où les vecteurs $v_1,\ldots,v_n$ sont ceux de la base ${\cal B}$ , la constante $\lambda$ est nécessairement $\mathrm{det}_{{\cal B}}(f({\cal B}))$ . De même,

$\displaystyle \mathrm{det}_{{\cal B}'}(f(v_1),\ldots,f(v_n))=\mathrm{det}_{{\cal B}'}(f({\cal B}')) \mathrm{det}_{{\cal B}'}(v_1,\ldots,v_n)\;.$

Mais d'après la proposition 4,

$\displaystyle \mathrm{det}_{{\cal B}'} = \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}({\cal B})\Big)\mathrm{det}_{{\cal B}}\;.$

Donc

$\displaystyle \mathrm{det}_{{\cal B}'}(f(v_1),\ldots,f(v_n))$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}({\cal B})\Big) \mathrm{det}_{{\cal B}}(f(v_1),\ldots,f(v_n))$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}({\cal B})\Big) \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}}(f({\cal B})\Big) \mathrm{det}_{{\cal B}}(v_1,\ldots,v_n)\;.$

Mais aussi :

$\displaystyle \mathrm{det}_{{\cal B}'}(f(v_1),\ldots,f(v_n))$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}(f({\cal B}'))\Big) \mathrm{det}_{{\cal B}'}(v_1,\ldots,v_n)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}(f({\cal B}'))\Big) \Big(\mathrm{det}_{{\cal B}'}({\cal B})\Big) \mathrm{det}_{{\cal B}}(v_1,\ldots,v_n)\;.$

Il s'ensuit que

$\displaystyle \mathrm{det}_{{\cal B}}(f({\cal B})) = \mathrm{det}_{{\cal B}'}(f({\cal B}'))\;.$

$\square$ La proposition 8 permet de définir le déterminant d'un endomorphisme.

Définition 7 On appelle déterminant de l'endomorphisme , et on note $\mathrm{det}(f)$ la valeur de $\mathrm{det}_{\cal B}(f({\cal B}))$ , commune à toutes les bases ${\cal B}$ .

Le déterminant de est donc égal au déterminant de la matrice de dans n'importe quelle base. De plus, si ${\cal B}$ est une base de et $(v_1,\ldots,v_n)$ un -uplet quelconque de vecteurs de :

$\displaystyle \mathrm{det}_{\cal B}(f(v_1),\ldots,f(v_n)) = \mathrm{det}(f) \mathrm{det}_{\cal B}(v_1,\ldots,v_n)\;.$

Théorème 3 Soient et deux endomorphismes de . Alors :

$\displaystyle \mathrm{det}(g\circ f)=\mathrm{det}(g) \mathrm{det}(f)\;.$

Démonstration : Soit ${\cal B}$ une base de . Par définition du déterminant d'un endomorphisme,

$\displaystyle \mathrm{det}(g\circ f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \mathrm{det}_{\cal B}(g(f({\cal B})))$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \mathrm{det}(g) \mathrm{det}_{\cal B}(f({\cal B}))$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \mathrm{det}(g)\mathrm{det}(f)\;.$

$\square$ Dans le cas particulier où est un automorphisme de , son déterminant est non nul (l'image par d'une base est une base). Sa composée avec l'application réciproque $f^{-1}$ est l'identité, de déterminant . Donc :

$\displaystyle \mathrm{det}(f^{-1}) = \frac{1}{\mathrm{det}(f)}\;.$

La traduction en termes de matrices est la suivante.

Corollaire 2

Soient et deux matrices de taille $n\times n$ .

$\displaystyle \mathrm{det}(AB)=\mathrm{det}(A) \mathrm{det}(B)\;.$
Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, et alors :

$\displaystyle \left\vert A^{-1}\right\vert = \frac{1}{\vert A\vert}$