Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit un entier et $A=(a_{i,j})_{i,j=1,\ldots,n}$ une matrice de taille $n\times n$ .

Donner l'expression du déterminant de en fonction de ses coefficients.
Démontrer que le déterminant de la transposée de est égal au déterminant de .
Donner la définition des cofacteurs de .
Soit un entier tel que $1\leqslant r<n$ . Démontrer que si le rang de est strictement inférieur à alors tous les mineurs d'ordre de sont nuls.
Démontrer que si le rang de est supérieur ou égal à alors il existe un mineur d'ordre non nul.

Exercice 1 :Soit $n\geqslant 2$ un entier. Soient $a,b,x_1,\ldots,x_n$ des réels. On note la matrice de taille $n\times n$ dont la diagonale est $(x_1,\ldots,x_n)$ , les termes au-dessus sont tous égaux à , les termes au-dessous tous égaux à .

$\displaystyle A = \left(\begin{array}{ccccc} x_1&a&\ldots&\ldots&a\\ b&x_2&\dd... ...dots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&a\\ b&\ldots&\ldots&b&x_n \end{array}\right)\;.$

Dans le cas particulier où et tous les sont égaux à , montrer que $\mathrm{det}(A)=(x+(n-1)a)(x-a)^{n-1}$ .
On note la matrice de taille $n\times n$ dont tous les coefficients valent . Dans le cas général, montrer que le polynôme $\mathrm{det}(A+X J)$ est de degré en .
Calculer $\mathrm{det}(A-aJ)$ et $\mathrm{det}(A-b J)$ .
On suppose $a\neq b$ . Montrer que

$\displaystyle \mathrm{det}(A)= \frac{bP(a)-aP(b)}{b-a}\;,$
où désigne le polynôme $P(X)=(x_1-X)\ldots(x_n-X)$ .
En déduire que pour , $\mathrm{det}(A)=P(a)-aP'(a)$ .

Exercice 2 :Soit $n\geqslant 1$ un entier. Soient $(a_1,\ldots,a_n)$ et $(b_1,\ldots,b_n)$ deux éléments de $\mathbb{C}^n$ tels que

$\displaystyle \forall i,j=1,\ldots,n\;,\quad a_i+ b_j\neq 0\;.$

On appelle matrice de Cauchy et on note la matrice de taille $n\times n$ dont le coefficient d'indices est $\frac{1}{a_i+b_j}$ . On note son déterminant.

$\displaystyle D_n=\left\vert\begin{array}{ccccc} \frac{1}{a_1+b_1}&\frac{1}{a_1... ...+b_1}&\frac{1}{a_n+b_2}&\ldots&\ldots&\frac{1}{a_n+b_n} \end{array}\right\vert$

Montrer que si

$\displaystyle \exists i\neq j\;,\quad a_i=a_j$ ou $\displaystyle b_i=b_j\;,$
alors .
Montrer que

$\displaystyle D_n=\frac{1}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)} \left\vert\begin{array}{cc... ...rac{a_n+b_n}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex] 1&1&\ldots&\ldots&1 \end{array}\right\vert$
Montrer que

$\displaystyle D_n=\frac{1}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)} \left\vert\begin{array}{cc... ...a_n-a_{n-1}}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex] 1&1&\ldots&\ldots&1 \end{array}\right\vert$
Montrer que

$\displaystyle D_n=\frac{(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)}... ...ots&\frac{1}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex] 1&1&\ldots&\ldots&1 \end{array}\right\vert$
Montrer que

$\displaystyle D_n=\frac{(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)}\times$

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccccc} \frac{b_n-b_1}{(a_1+b_1)(a_1+b_n)}... ...1}+b_n)}&\frac{1}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex] 0&0&\ldots&0&1 \end{array}\right\vert$
Montrer que

$\displaystyle D_n = \frac{(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})(b_n-b_1)\cdots(b_n-b_{n-1})} {(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)(a_1+b_n)\cdots(a_{n-1}+b_n)} D_{n-1}\;.$
En déduire que

$\displaystyle D_n=\frac{\displaystyle{\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n} (a_i-a_j)(b_j-b_i)}}{\displaystyle{\prod_{1\leqslant i,j\leqslant n} (a_i+b_j)}}\;.$
On note $C_{i,j}$ le cofacteur d'indices de la matrice . On suppose que $D_n\neq 0$ . Montrer que

$\displaystyle \frac{C_{i,j}}{D_n} = \frac{(a_i+b_j)\displaystyle{\prod_{k\neq ... ...+b_j)}} {\displaystyle{\prod_{k\neq i}(a_i-a_k) \prod_{h\neq j}(b_j-b_h)}} \;.$
La matrice de Hilbert est le cas particulier de matrice Cauchy obtenu pour et . Pour , écrire la matrice de Hilbert et calculer son déterminant.
Calculer l'inverse de la matrice de Hilbert pour .