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Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $n$ un entier et $A=(a_{i,j})_{i,j=1,\ldots,n}$ une matrice de taille $n\times n$.

1. Donner l'expression du déterminant de $A$ en fonction de ses coefficients.
2. Démontrer que le déterminant de la transposée de $A$ est égal au déterminant de $A$.
3. Donner la définition des cofacteurs de $A$.
4. Soit $r$ un entier tel que $1\leqslant r<n$. Démontrer que si le rang de $A$ est strictement inférieur à $r$ alors tous les mineurs d'ordre $r$ de $A$ sont nuls.
5. Démontrer que si le rang de $A$ est supérieur ou égal à $r$ alors il existe un mineur d'ordre $r$ non nul.

Exercice 1 :Soit $n\geqslant 2$ un entier. Soient $a,b,x_1,\ldots,x_n$ des réels. On note $A$ la matrice de taille $n\times n$ dont la diagonale est $(x_1,\ldots,x_n)$, les termes au-dessus sont tous égaux à $a$, les termes au-dessous tous égaux à $b$.

$$A = \left(\begin{array}{ccccc} x_1&a&\ldots&\ldots&a\\ b&x_2&\dd... ...dots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&a\\ b&\ldots&\ldots&b&x_n \end{array}\right)\;.$$

1. Dans le cas particulier où $a=b$ et tous les $x_i$ sont égaux à $x$, montrer que $\mathrm{det}(A)=(x+(n-1)a)(x-a)^{n-1}$.
2. On note $J$ la matrice de taille $n\times n$ dont tous les coefficients valent $1$. Dans le cas général, montrer que le polynôme $\mathrm{det}(A+X J)$ est de degré $1$ en $X$.
3. Calculer $\mathrm{det}(A-aJ)$ et $\mathrm{det}(A-b J)$.
4. On suppose $a\neq b$. Montrer que
   $$\mathrm{det}(A)= \frac{bP(a)-aP(b)}{b-a}\;,$$
   où $P$ désigne le polynôme $P(X)=(x_1-X)\ldots(x_n-X)$.
5. En déduire que pour $a=b$, $\mathrm{det}(A)=P(a)-aP'(a)$.

Exercice 2 :Soit $n\geqslant 1$ un entier. Soient $(a_1,\ldots,a_n)$ et $(b_1,\ldots,b_n)$ deux éléments de $\mathbb{C}^n$ tels que

$$\forall i,j=1,\ldots,n\;,\quad a_i+ b_j\neq 0\;.$$

On appelle matrice de Cauchy et on note $A_n$ la matrice de taille $n\times n$ dont le coefficient d'indices $(i,j)$ est $\frac{1}{a_i+b_j}$. On note $D_n$ son déterminant.

$$D_n=\left\vert\begin{array}{ccccc} \frac{1}{a_1+b_1}&\frac{1}{a_1... ...+b_1}&\frac{1}{a_n+b_2}&\ldots&\ldots&\frac{1}{a_n+b_n} \end{array}\right\vert$$

1. Montrer que si
   $$\exists i\neq j\;,\quad a_i=a_j$$ ou $$b_i=b_j\;,$$
   alors $D_n=0$.
2. Montrer que
   $$D_n=\frac{1}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)} \left\vert\begin{array}{cc... ...rac{a_n+b_n}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex] 1&1&\ldots&\ldots&1 \end{array}\right\vert$$

3. Montrer que
   $$D_n=\frac{1}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)} \left\vert\begin{array}{cc... ...a_n-a_{n-1}}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex] 1&1&\ldots&\ldots&1 \end{array}\right\vert$$

4. Montrer que
   $$D_n=\frac{(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)}... ...ots&\frac{1}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex] 1&1&\ldots&\ldots&1 \end{array}\right\vert$$

5. Montrer que
   $$D_n=\frac{(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})}{(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)}\times$$
   $$\left\vert\begin{array}{ccccc} \frac{b_n-b_1}{(a_1+b_1)(a_1+b_n)}... ...1}+b_n)}&\frac{1}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex] 0&0&\ldots&0&1 \end{array}\right\vert$$

6. Montrer que
   $$D_n = \frac{(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})(b_n-b_1)\cdots(b_n-b_{n-1})} {(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)(a_1+b_n)\cdots(a_{n-1}+b_n)} D_{n-1}\;.$$

7. En déduire que
   $$D_n=\frac{\displaystyle{\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n} (a_i-a_j)(b_j-b_i)}}{\displaystyle{\prod_{1\leqslant i,j\leqslant n} (a_i+b_j)}}\;.$$

8. On note $C_{i,j}$ le cofacteur d'indices $(i,j)$ de la matrice $A_n$. On suppose que $D_n\neq 0$. Montrer que
   $$\frac{C_{i,j}}{D_n} = \frac{(a_i+b_j)\displaystyle{\prod_{k\neq ... ...+b_j)}} {\displaystyle{\prod_{k\neq i}(a_i-a_k) \prod_{h\neq j}(b_j-b_h)}} \;.$$

9. La matrice de Hilbert est le cas particulier de matrice Cauchy obtenu pour $a_i=i$ et $b_j=j-1$. Pour $n=4$, écrire la matrice de Hilbert et calculer son déterminant.
10. Calculer l'inverse de la matrice de Hilbert pour $n=4$.