QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   La signature de la permutation proposée est $+1$.

$\left(\begin{array}{cccccc} 1&2&3&4&5&6 1&3&2&4&6&5 \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccccc} 1&2&3&4&5&6 3&2&6&1&5&4 \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccccc} 1&2&3&4&5&6 4&5&3&6&2&1 \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccccc} 1&2&3&4&5&6 3&5&2&4&6&1 \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cccccc} 1&2&3&4&5&6 3&5&6&2&1&4 \end{array}\right)$

Question 2   Soient $v_1,v_2,v_3,v_4$ 4 vecteurs quelconques de $\mathbb{R}^4$. On note $\mathrm{det}$ le déterminant dans la base canonique de $\mathbb{R}^4$.

$\mathrm{det}(2v_1+3v_2,v_2,v_3,v_4)=6 \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$

Si $v_1+v_2=v_3+v_4$ alors $\mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)=0$

$\mathrm{det}(2v_1+3v_2,v_2,v_3,2v_4-3v_3)=4 \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$

$\mathrm{det}(v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4+v_1)=4 \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$

$\mathrm{det}(v_1+v_2,v_2-v_1,v_3+v_4,v_3-v_4)=2 \mathrm{det}(v_1,v_2,v_3,v_4)$

Question 3   Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On considère un $n$-uplet de vecteurs de $\mathbb{R}^n$.

Si on remplace le premier vecteur par la somme de tous les autres, le déterminant est inchangé.

Si on soustrait au dernier vecteur la somme de tous les autres, le déterminant est inchangé.

Si on multiplie par $3$ chacun des vecteurs, le déterminant est multiplié par $3$.

Si on ajoute au dernier vecteur la somme de tous les vecteurs, le déterminant est inchangé.

Si on soustrait au premier vecteur la somme de tous les vecteurs, le déterminant s'annule.

Question 4   Soit $A$ une matrice carrée de taille $n\times n$ ( $n\geqslant 2$).

$\vert{^t\!A}\vert=(-1)^n \vert A\vert$

Si $A$ est triangulaire par blocs, son déterminant est le produit des coefficients diagonaux.

Si on ajoute à la première ligne de $A$ la somme de toutes les autres, le déterminant est inchangé.

Si une des lignes de $A$ est combinaison linéaire des autres, alors $\vert A\vert=0$.

Si on ajoute à la première ligne le double de la seconde, le déterminant est doublé.

Question 5   Soient $r$ et $n$ deux entiers tels que $1\leqslant r<n$. Soit $A$ une matrice carrée de taille $n\times n$.

$A$ est de rang $n$ si et seulement si son déterminant est non nul.

$A$ est de rang $r$ si et seulement si tous les mineurs d'ordre $r$ sont non nuls.

Si $A$ est de rang strictement supérieur à $r$ alors tous les mineurs d'ordre $r$ sont non nuls.

Si au moins un des mineurs d'ordre $r$ est non nul, alors $A$ est de rang au moins égal à $r$.

Si tous les mineurs d'ordre $r$ sont nuls, alors $A$ est de rang $r-1$.

Question 6   On considère le déterminant $${D=\left\vert\begin{array}{ccc} 1&2&1 0&3&2 1&2&0 \end{array}\right\vert}$$

En développant selon la première colonne, $D=\left\vert\begin{array}{cc}3&2 2&0\end{array}\right\vert -\left\vert\begin{array}{cc}2&1 3&2\end{array}\right\vert$

En développant selon la dernière ligne, $D=\left\vert\begin{array}{cc}2&1 3&2\end{array}\right\vert -\left\vert\begin{array}{cc}1&1 0&2\end{array}\right\vert$

En remplaçant la troisième ligne par la première moins la troisième :
$${D=\left\vert\begin{array}{ccc} 1&2&1 0&3&2 0&0&1 \end{array}\right\vert}$$

En permutant les colonnes : $${D=-\left\vert\begin{array}{ccc} 2&1&1 3&2&0 2&0&1 \end{array}\right\vert}$$

Par la règle de Sarrus : $D=0+0+4-3-4+0$

Question 7   On considère le système linéaire

$$\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllcl} x+&2y+&z&=&2 &3y+&2z&=&3 x+&2y&&=&1 \end{array}\right.}$$

On note $D$ le déterminant du système.

$${x=\frac{1}{D}\left\vert\begin{array}{ccc} 2&2&1 3&3&2 1&2&0 \end{array}\right\vert}$$

$${y=-\frac{1}{D}\left\vert\begin{array}{ccc} 2&1&1 3&0&2 1&1&0 \end{array}\right\vert}$$

$${z=-\frac{1}{D}\left\vert\begin{array}{ccc} 1&2&2 0&3&3 1&2&1 \end{array}\right\vert}$$

$${x=\frac{1}{D}\left\vert\begin{array}{ccc} 2&2&1 0&0&1 0&1&0 \end{array}\right\vert}$$

$${y=\frac{1}{D}\left\vert\begin{array}{ccc} 1&2&1 0&3&2 0&1&1 \end{array}\right\vert}$$

Question 8   Soit $A=(a_{i,j})_{i,j=1,\ldots,n}$ une matrice de taille $n\times n$ ( $n\geqslant 2$). Pour $i,j\in\{1,\ldots,n\}$, on note $A_{i,j}$ le cofacteur d'indices $i$ et $j$.

Si $i\neq j$ alors $${\sum_{k=1}^n a_{i,k}A_{k,j}=0}$$

$${\sum_{k=1}^n A_{i,k}a_{k,i}=\vert A\vert}$$

Si $i\neq j$ alors $${\sum_{k=1}^n A_{i,k}a_{j,k}=0}$$

$${\sum_{k=1}^n a_{i,k}A_{i,k}=\vert A\vert}$$

Si $i\neq j$ alors $${\sum_{k=1}^n a_{k,i}A_{i,k}=0}$$

Question 9   Soit $a$ et $b$ deux réels. On considère le déterminant $${D=\left\vert\begin{array}{ccc} a&b&b b&a&b b&b&a \end{array}\right\vert}$$.

$D$ est un polynôme de degré 3 en $b$

$D$ est nul si et seulement si $a=b$

Si $a=2b$, alors $D=0$

$D=(a+2b)(a-b)$

$D$ est multiple de $(a-b)^2$.

Question 10   Soient $a,b,c$ trois réels. On considère le déterminant $${D=\left\vert\begin{array}{ccc} 1&1&1 a&b&c a^2&b^2&c^2 \end{array}\right\vert}$$.

$D$ est un polynôme de degré $2$ en $a$

Si $a=-b$ alors $D=0$

Si $a=1$ alors $D=0$

$a^2-b^2$ divise $D$

$D=(a-b)(b-c)(c-a)$