Corrigé du devoir

Questions de cours : 

1. L'expression du déterminant de $A$ en fonction de ses coefficients est
   $$\vert A\vert = \sum_{s\in{\cal S}_n} \varepsilon (s) \prod_{j=1}^n a_{s(j),j}\;,$$
   où $\varepsilon (s)$ désigne la signature de la permutation $s$.
2. Reprenons la formule de la question précédente.
   $$\vert A\vert = \sum_{s\in{\cal S}_n} \varepsilon (s) \prod_{j=1}^n a_{s(j),j}\;.$$
   Nous pouvons réindicer le produit correspondant à la permutation $s$ :
   $$\prod_{j=1}^n a_{s(j),j}= \prod_{i=1}^n a_{i,s^{-1}(i)}\;.$$
   De plus la signature d'une permutation est égale à celle de son inverse (car $\varepsilon$ est un homomorphisme de groupe).
   $$\vert A\vert = \sum_{s\in{\cal S}_n} \varepsilon (s^{-1}) \prod_{i=1}^n a_{i,s^{-1}(i)}\;.$$
   Réindiçons alors la somme :
   $$\vert A\vert = \sum_{s\in{\cal S}_n} \varepsilon (s) \prod_{i=1}^n a_{i,s(i)}=\vert{^t\!A}\vert\;.$$

3. Soient $i$ et $j$ deux entiers compris entre $1$ et $n$. On appelle cofacteur d'indices $i$ et $j$ et on note $A_{i,j}$ le produit par $(-1)^{i+j}$ du mineur d'ordre $n-1$ obtenu en supprimant la $i$-ième ligne et la $j$-ième colonne de $A$.
   $$A_{i,j} = (-1)^{i+j} \vert(a_{h,k})_{h\neq i,k\neq j}\vert\;.$$

4. Considérons une famille de $r$ vecteurs colonnes de $A$, et supposons qu'elle soit liée. Au moins un des vecteurs est combinaison linéaire des autres : sans perte de généralité, nous pouvons supposer que c'est le dernier. Considérons un mineur d'ordre $r$ extrait de $A$, en choisissant les $r$ colonnes de la famille considérée, et $r$ lignes quelconques. Dans ce mineur, la dernière colonne est combinaison linéaire des autres et donc le mineur est nul. Ce qui précède vaut pour toute famille de $r$ vecteurs colonnes, donc tous les mineurs d'ordre $r$ sont nuls.
5. Si le rang de $A$ est supérieur ou égal à $r$ alors il existe une famille libre de $r$ vecteurs colonnes. Choisissons $r$ vecteurs colonnes formant une famille libre, et considérons la matrice $n\times r$ de ces $r$ vecteurs colonnes, qui est donc de rang $r$. Les vecteurs lignes forment une matrice de $n$ vecteurs de $\mathbb{R}^r$. Or une matrice et sa transposée ont même rang. La famille des $n$ vecteurs lignes est encore de rang $r$. On peut donc en extraire une famille libre de $r$ vecteurs. Les coordonnées de ces $r$ vecteurs forment une matrice $r\times r$ de rang $r$, extraite de la matrice $A$. Son déterminant est un mineur de taille $r$ et il est non nul.

Exercice 1 : 

1. Nous devons calculer le déterminant 
   $$D=\left\vert\begin{array}{ccccc} x&a&\ldots&\ldots&a\\ a&x&\ddot... ...ts\\ \vdots&&\ddots&\ddots&a\\ a&\ldots&\ldots&a&x \end{array}\right\vert\;.$$
   La somme des éléments de chaque ligne est égale à $x+(n-1)a$. Ajoutons les colonnes d'indices $2$ à $n$ à la première, et mettons $x+(n-1)a$ en facteur.
   $$D=(x+(n-1)a)\left\vert\begin{array}{ccccc} 1&a&\ldots&\ldots&a ... ...s\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&a\\ 1&a&\ldots&a&x \end{array}\right\vert\;.$$
   Soustrayons alors la première ligne de chacune des autres.
   $$D=(x+(n-1)a)\left\vert\begin{array}{ccccc} 1&a&\ldots&\ldots&a ... ...\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&\ldots&0&x-a \end{array}\right\vert\;.$$
   Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des coefficients diagonaux, donc $D=(x+(n-1)a)(x-a)^{n-1}$.
2. On ne change pas la valeur de $\mathrm{det}(A+X J)$ si on soustrait la première ligne à chacune des autres. Si on fait cela, le terme en $X$ disparaît des lignes d'indices $2$ à $n$, et la première ligne reste $(x_1+X,a+X,\ldots,a+X)$. En développant suivant la première ligne :
   $$\mathrm{det}(A+X J)=(x_1+X)B_{1,1}+(a+X)\sum_{j=2}^n B_{1,j}\;,$$
   où les $B_{i,j}$ sont des cofacteurs extraits des lignes $2$ à $n$, qui ne contiennent donc pas $X$. D'où le résultat.
3. Les matrices $A-aJ$ et $A-bJ$ sont diagonales. Leur déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
   $$\mathrm{det}(A-aJ)= \prod_{i=1}^n (x_i-a)$$   et$$\quad \mathrm{det}(A-b J)= \prod_{i=1}^n (x_i-b)\;.$$

4. D'après la question 2, $\mathrm{det}(A-XJ)$ est un polynôme de degré $1$ en $X$, disons $\alpha X+\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels. Par la question précédente, nous connaissons sa valeur en $-a$ et $-b$ :
   $$-\alpha a +\beta = \prod_{i=1}^n (x_i-a)$$   et$$-\alpha b +\beta = \prod_{i=1}^n (x_i-b)$$
   Le déterminant de $A$ est la valeur de ce polynôme en $X=0$, à savoir $\beta$. En éliminant $\alpha$ entre les deux équations on obtient : $\beta(b-a) = bP(a)-aP(b)$, où $P$ désigne le polynôme $P(X)=(x_1-X)\ldots(x_n-X)$. Si $a\neq b$,
   $$\beta = \mathrm{det}(A)= \frac{bP(a)-aP(b)}{b-a}\;,$$

5. Pour $a, x_1,\ldots,x_n$ fixés, la fonction qui à $b$ associe $\mathrm{det}(A)$ est une fonction polynomiale, donc continue. Sa valeur en $b=a$ est la limite de l'expression trouvée à question précédente lorsque $b$ tend vers $a$.
   $$\lim_{b\to a} \frac{bP(a)-aP(b)}{b-a} = \lim_{b\to a} \frac{(b-a)P(a)-a(P(b)-P(a))}{b-a} =P(a)-aP'(a)\;.$$

Exercice 2 : 

1. Si $a_i=a_j$, les deux lignes d'indices $i$ et $j$ sont identiques, donc le déterminant est nul. De même, si $b_i=b_j$, les deux colonnes d'indices $i$ et $j$ sont identiques et le déterminant est nul.
2. Si on multiplie la $j$-ième colonne du déterminant par $a_n+b_j$, le déterminant est multiplié par $a_n+b_j$, ce qui donne le résultat annoncé.
3. Le coefficient d'indices $(i,j)$ trouvé à la question précédente est :
   $$\frac{a_n+b_j}{a_i+b_j} = \frac{a_n-a_i+a_i+b_j}{a_i+b_j} = \frac{a_n-a_i}{a_i+b_j} +1\;.$$
   On vérifie donc le résultat annoncé en soustrayant la dernière ligne aux précédentes.
4. Dans le déterminant de la question précédente, on peut mettre en facteur $(a_n-a_i)$ dans tous les termes de la $i$-ième ligne, ce qui conduit au résultat demandé.
5. Dans le déterminant de la question précédente, soustrayons la dernière colonne à chacune des précédentes. Pour $i,j=1,\ldots,n-1$, le terme d'indices $(i,j)$ devient :
   $$\frac{1}{a_i+b_j}-\frac{1}{a_i+b_n} = \frac{a_i+b_n-a_i-b_j} {(a_i+b_j)(a_i+b_n)} =\frac{b_n-b_j} {(a_i+b_j)(a_i+b_n)}\;,$$
   d'où le résultat.
6. Dans le déterminant de la question précédente, le terme $(b_n-b_j)$ est en facteur dans tous les coefficients de la $j$-ième colonne, et le terme $\frac{1}{a_i+b_n}$ est en facteur dans tous les termes de la $i$-ième ligne. Donc :
   $$D_n = \frac{(a_n-a_1)\cdots(a_n-a_{n-1})(b_n-b_1)\cdots(b_n-b_{n-1})} {(a_n+b_1)\cdots(a_n+b_n)(a_1+b_n)\cdots(a_{n-1}+b_n)}\times$$
   $$\left\vert\begin{array}{ccccc} \frac{1}{a_1+b_1}&\frac{1}{a_1+b_2... ...s&\ldots&\frac{1}{a_{n-1}+b_n} [1.5ex] 0&0&\ldots&0&1 \end{array}\right\vert$$
   Or si on développe ce dernier déterminant selon la dernière ligne, on trouve le déterminant de Cauchy d'ordre $n-1$, correspondant aux vecteurs $(a_1,\ldots,a_{n-1})$ et $(b_1,\ldots,b_{n-1})$, noté $D_{n-1}$.
7. Pour $n=1$, $D_1=\frac{1}{a_1+b_1}$. Supposons la formule vraie pour $D_{n-1}$. D'après la question précédente,
   $$D_n=\frac{\displaystyle{\prod_{1\leqslant i< n} (a_n-a_i)(b_n-b_... ...)(b_j-b_i)}}{\displaystyle{\prod_{1\leqslant i,j\leqslant n-1} (a_i+b_j)}}\;,$$
   soit
   $$D_n=\frac{\displaystyle{\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n} (a_i-a_j)(b_j-b_i)}}{\displaystyle{\prod_{1\leqslant i,j\leqslant n} (a_i+b_j)}}\;.$$

8. Le cofacteur d'indices $(i,j)$ de la matrice $A_n$ est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$. Ce faisant, on obtient la matrice de Cauchy de taille $n-1\times n-1$, associée aux vecteurs
   $$(a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1}\ldots,a_n)$$   et$$\quad (b_1,\ldots,b_{j-1},b_{j+1}\ldots,a_n)\;.$$
   Le cofacteur est donné par la formule de la question précédente, dont on supprime tous les facteurs contenant $a_i$ et tous les facteurs contenant $b_j$, et que l'on pultiplie par $(-1)^{i+j}$. Le rapport $\frac{C_{i,j}}{D_n}$ ne conserve donc que les facteurs contenant $a_i$ et $b_j$. Les termes en $a_i-a_k$ sont affectés du signe $+$ si $k<i$, $-$ si $k>i$, idem pour les termes en $b_j-b_h$. D'où le résultat.
9. Pour $n=4$, la matrice de Hilbert est :
   $$H_4=\left(\begin{array}{cccc} 1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{... ... [1.5ex] \frac{1}{4}&\frac{1}{5}&\frac{1}{6}&\frac{1}{7} \end{array}\right)\;.$$
   D'après la question 7, son déterminant est
   $$\frac{3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot 1} {4\cdot 5\cdot 6\cdot... ...dot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{6048000}\;.$$

10. En utilisant le résultat de la question 8, on obtient :
    $$H_4^{-1} = \left(\begin{array}{cccc} 16&-120&240&-140\\ -120&120... ...700&1680\\ 240&-2700&6480&-4200\\ -140&1680&-4200&2800 \end{array}\right)\;.$$