Dérivées successives

Etant donné un intervalle ouvert $I$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$, si elle est dérivable en tout point de $I$. Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. Sa dérivée $f'$ peut être elle-même dérivable. On appelle alors dérivée seconde la dérivée de $f'$, et on la note $f''$. Cette fonction peut être elle-même dérivable, etc. Si $f$ est $k$ fois dérivable, on note $f^{(k)}$ sa dérivée d'ordre $k$, ou dérivée $k$-ième. Par définition, la dérivée d'ordre 0 est la fonction elle-même. Par exemple, si $n$ est un entier fixé, et $f$ est la fonction $x\mapsto x^n$,

$$\forall k=1,\ldots,n ,\; f^{(k)}(x) = n(n-1)\ldots(n-k+1)x^{n-k}$$   et$$\quad \forall k>n ,\; f^{(k)}(x) = 0\;.$$

Vous rencontrerez souvent les notations suivantes, que nous n'utiliserons pas ici.

$$f'(x) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\;,\quad f''(x) = \frac{\m... ...f}{\mathrm{d}x^2}\;,\quad f^{(n)}(x) = \frac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d}x^n}\;.$$

Définition 5   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. On dit que $f$ est de classe ${\cal C}^k$ sur $I$, ou encore $f$ est $k$ fois continûment dérivable, si elle admet une dérivée $k$-ième continue sur $I$.

On dit que $f$ est de classe ${\cal C}^\infty$ sur $I$, si elle admet des dérivées successives de tout ordre (elles sont nécessairement continues puisque dérivables). Vous pouvez retenir que :

toutes les fonctions usuelles sont de classe ${\cal C}^\infty$
sur les intervalles ouverts où elles sont définies.

Ceci concerne les fonctions polynômes, fractions rationnelles, puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus.

La formule de Leibniz, très proche de la formule du binôme de Newton, exprime la dérivée $n$-ième d'un produit à d'aide des dérivées successives des composantes.

Proposition 5   Si $f$ et $g$ sont deux fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $n$ fois dérivables sur un intervalle $I$, alors le produit $fg$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et :

$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(k)} g^{(n-k)}\;.$$ (1)

Démonstration : par récurrence sur $n$. Puisque par définition $f^{(0)}=f$, la formule est vraie pour $n=0$. Supposons qu'elle est vraie pour $n$. Si $f$ et $g$ sont dérivables $n+1$ fois sur $I$, alors pour tout $k=0,\ldots,n$, le produit $f^{(k)} g^{(n-k)}$ est dérivable et sa dérivée est :

$$(f^{(k)} g^{(n-k)})' = f^{(k+1)} g^{(n-k)}+f^{(k)} g^{(n-k+1)}\;.$$

D'après (1), $(fg)^n$ est dérivable, comme combinaison linéaire de fonctions dérivables. Sa dérivée s'écrit :

$$(fg)^{(n+1)} = \left(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(k+1)}g^{(n-k)}\right) +\left(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}g^{(n+1-k)}\right)$$

$$= \left(\sum_{h=1}^{n+1} \binom{n}{h-1} f^{(h)}g^{(n+1-h)}\right) +\left(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}g^{(n+1-k)}\right)$$

$$= f^{(n+1)}g^{(0)}+ \left(\sum_{h=1}^{n} \binom{n}{h\!-\!1} f^{(h)}g^{(n+1-h)}\right)$$

$$\hspace*{18mm} +\left(\sum_{k=1}^n \binom{n}{k} f^{(k)}g^{(n+1-k)}\right)+f^{(0)}g^{(n+1)}$$

$$= f^{(n+1)}g^{(0)}+ \left(\sum_{k=1}^n \left(\binom{n}{k\!-\!1}+\binom{n}{k}\right) f^{(k)}g^{(n+1-k)}\right)+f^{(0)}g^{(n+1)}$$

$$= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} f^{(k)} g^{(n+1-k)}\;.$$

Pour la dernière égalité, nous avons appliqué la formule du triangle de Pascal. La formule est vraie pour $n+1$, donc pour tout $n\in\mathbb{N}$, par récurrence.$\square$ À titre d'exemple, calculons la dérivée $n$-ième de $x\mapsto x^n(1+x)^2$. Posons $f : x \mapsto x^n$ et $g : x\mapsto (1+x)^2$. Alors :

$$f^{(n-2)}(x)=\frac{n!}{2} x^2 ,\; f^{(n-1)}(x)=n! x ,\; f^{(n)}(x)=n!\;,$$

et

$$g'(x)=2(1+x) ,\;g''(x)=2 ,\;$$   et$$\quad \forall k\geqslant 3 ,\; g^{(k)}(x)=0\;.$$

Par application de (1),

$$(fg)^{(n)} = n! (1+x)^2+2n n! x(1+x)+\frac{n(n-1)}{2} n! x^2\;.$$