Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. Soit $a$ un point de $\mathbb{R}$.

1. Qu'appelle-t-on taux d'accroissement de $f$ en $a$ ?
2. Quand dit-on que la fonction $f$ est dérivable en $a$ ?
3. Démontrer que $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si, au voisinage de 0 :
   $$f(a+h) = f(a)+hf'(a)+o(h)\;.$$

4. Quand dit-on que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ?
5. Si $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, que peut-on dire du taux d'accroissement de $f$ en $a$ ? Que peut-on dire de la dérivée de $f$ en $a$ ?

Exercice 1 : On admettra dans cet exercice les limites suivantes.

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1\;.$$

1. Démontrer que :
   $$\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} =0\;.$$

2. Soit $a$ un réel quelconque. Démontrer que la fonction $x\mapsto \sin(x)$ est dérivable en $a$, et que sa dérivée est $\cos(a)$.
3. Soit $a$ un réel quelconque. Démontrer que la fonction $x\mapsto \cos(x)$ est dérivable en $a$, et que sa dérivée est $-\sin(a)$.
4. Soit $a$ un réel quelconque. Démontrer que la fonction $x\mapsto \mathrm{e}^x$ est dérivable en $a$, et que sa dérivée est $\mathrm{e}^a$.
5. Soit $a$ un réel strictement positif. Démontrer que la fonction $x\mapsto \ln(x)$ est dérivable en $a$, et que sa dérivée est $1/a$.

Exercice 2 : Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à $x$ associe :

$$f(x)=\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{x-1}{x+1}\right\vert\;.$$

1. Déterminer le domaine de définition de $f$, noté ${\cal D}_f$. Montrer que $f$ est dérivable sur ${\cal D}_f$ et calculer sa dérivée. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,-1[$ et sur $]1,+\infty[$, strictement décroissante sur $]-1,1[$.
2. Calculer la dérivée seconde de $f$. Montrer que $f$ est convexe sur $]-\infty,-1[$ et sur $]-1,0]$, concave sur $[0,1[$ et sur $]1,+\infty[$.
3. Soit $a$ un réel. Soit $\varphi_a$ la fonction qui à $x\neq a$ associe $1/(x-a)$. Démontrer que la dérivée $n$-ième de $\varphi_a$ est la fonction définie par :
   $$\forall x\neq a\;,\quad \varphi_a^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}\;.$$

4. En déduire la dérivée $n$-ième de $f$, pour tout entier $n\geqslant 1$.
5. Pour tout $x\in{\cal D}_f$, on pose $g(x)=xf(x)$. Calculer la dérivée seconde de $g$. En déduire que $g$ est concave sur tout intervalle inclus dans ${\cal D}_f$.
6. Montrer que $g$ admet un maximum global en 0. Vérifier que $g'(0)=0$ et $g'(0)<0$.
7. Pour tout entier $n\geqslant 2$, donner l'expression de la dérivée $n$-ième de $g$ en fonction de $n$.

Exercice 3 : Soit $f$ une fonction de $]0,+\infty[$ dans $\mathbb{R}$, dérivable sur $]0,+\infty[$.

1. On suppose que $f'(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$. Montrer que :
   $$\forall \varepsilon >0 ,\;\exists A>0\;,\quad (x> A) \;\Longrightarrow\; \left\vert\frac{f(x)-f(A)}{x-A} \right\vert\leqslant \varepsilon \;.$$

2. En déduire que :
   $$\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=0\;.$$

3. Soit $l$ un réel. On suppose que $f'(x)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Montrer que :
   $$\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=l\;.$$
   (Indication : considérer la fonction $x\mapsto f(x)-lx$).