Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.


Questions de cours : Soit $ f$ une fonction définie sur $ \mathbb{R}$, à valeurs dans $ \mathbb{R}$. Soit $ a$ un point de $ \mathbb{R}$.

  1. Qu'appelle-t-on taux d'accroissement de $ f$ en $ a$ ?
  2. Quand dit-on que la fonction $ f$ est dérivable en $ a$ ?
  3. Démontrer que $ f$ est dérivable en $ a$ si et seulement si, au voisinage de 0 :

    $\displaystyle f(a+h) = f(a)+hf'(a)+o(h)\;.
$

  4. Quand dit-on que $ f$ est convexe sur $ \mathbb{R}$ ?
  5. Si $ f$ est convexe sur $ \mathbb{R}$, que peut-on dire du taux d'accroissement de $ f$ en $ a$ ? Que peut-on dire de la dérivée de $ f$ en $ a$ ?

Exercice 1 : On admettra dans cet exercice les limites suivantes.

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} =
\lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^x}{x} =
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1\;.
$

  1. Démontrer que :

    $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} =0\;.
$

  2. Soit $ a$ un réel quelconque. Démontrer que la fonction $ x\mapsto
\sin(x)$ est dérivable en $ a$, et que sa dérivée est $ \cos(a)$.
  3. Soit $ a$ un réel quelconque. Démontrer que la fonction $ x\mapsto
\cos(x)$ est dérivable en $ a$, et que sa dérivée est $ -\sin(a)$.
  4. Soit $ a$ un réel quelconque. Démontrer que la fonction $ x\mapsto \mathrm{e}^x$ est dérivable en $ a$, et que sa dérivée est $ \mathrm{e}^a$.
  5. Soit $ a$ un réel strictement positif. Démontrer que la fonction $ x\mapsto \ln(x)$ est dérivable en $ a$, et que sa dérivée est $ 1/a$.

Exercice 2 : Soit $ f$ la fonction de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ qui à $ x$ associe :

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{x-1}{x+1}\right\vert\;.
$

  1. Déterminer le domaine de définition de $ f$, noté $ {\cal D}_f$. Montrer que $ f$ est dérivable sur $ {\cal D}_f$ et calculer sa dérivée. Montrer que $ f$ est strictement croissante sur $ ]-\infty,-1[$ et sur $ ]1,+\infty[ $, strictement décroissante sur $ ]-1,1[ $.
  2. Calculer la dérivée seconde de $ f$. Montrer que $ f$ est convexe sur $ ]-\infty,-1[$ et sur $ ]-1,0] $, concave sur $ [0,1[$ et sur $ ]1,+\infty[ $.
  3. Soit $ a$ un réel. Soit $ \varphi_a$ la fonction qui à $ x\neq a$ associe $ 1/(x-a)$. Démontrer que la dérivée $ n$-ième de $ \varphi_a$ est la fonction définie par :

    $\displaystyle \forall x\neq a\;,\quad \varphi_a^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n
n!}{(x-a)^{n+1}}\;.
$

  4. En déduire la dérivée $ n$-ième de $ f$, pour tout entier $ n\geqslant 1$.
  5. Pour tout $ x\in{\cal D}_f$, on pose $ g(x)=xf(x)$. Calculer la dérivée seconde de $ g$. En déduire que $ g$ est concave sur tout intervalle inclus dans $ {\cal D}_f$.
  6. Montrer que $ g$ admet un maximum global en 0. Vérifier que $ g'(0)=0$ et $ g'(0)<0$.
  7. Pour tout entier $ n\geqslant 2$, donner l'expression de la dérivée $ n$-ième de $ g$ en fonction de $ n$.

Exercice 3 : Soit $ f$ une fonction de $ ]0,+\infty[$ dans $ \mathbb{R}$, dérivable sur $ ]0,+\infty[ $.
  1. On suppose que $ f'(x)$ tend vers 0 quand $ x$ tend vers $ +\infty$. Montrer que :

    $\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists A>0\;,\quad
(x> A)
\;\Longrightarrow\; \left\vert\frac{f(x)-f(A)}{x-A} \right\vert\leqslant
\varepsilon \;.
$

  2. En déduire que :

    $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=0\;.
$

  3. Soit $ l$ un réel. On suppose que $ f'(x)$ tend vers $ l$ quand $ x$ tend vers $ +\infty$. Montrer que :

    $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=l\;.
$

    (Indication : considérer la fonction $ x\mapsto f(x)-lx$).


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