Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit une fonction définie sur $\mathbb{R}$ , à valeurs dans $\mathbb{R}$ . Soit un point de $\mathbb{R}$ .

Qu'appelle-t-on taux d'accroissement de en ?
Quand dit-on que la fonction est dérivable en ?
Démontrer que est dérivable en si et seulement si, au voisinage de 0 :

$\displaystyle f(a+h) = f(a)+hf'(a)+o(h)\;.$
Quand dit-on que est convexe sur $\mathbb{R}$ ?
Si est convexe sur $\mathbb{R}$ , que peut-on dire du taux d'accroissement de en ? Que peut-on dire de la dérivée de en ?

Exercice 1 : On admettra dans cet exercice les limites suivantes.

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1\;.$

Démontrer que :

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} =0\;.$
Soit un réel quelconque. Démontrer que la fonction $x\mapsto \sin(x)$ est dérivable en , et que sa dérivée est $\cos(a)$ .
Soit un réel quelconque. Démontrer que la fonction $x\mapsto \cos(x)$ est dérivable en , et que sa dérivée est $-\sin(a)$ .
Soit un réel quelconque. Démontrer que la fonction $x\mapsto \mathrm{e}^x$ est dérivable en , et que sa dérivée est $\mathrm{e}^a$ .
Soit un réel strictement positif. Démontrer que la fonction $x\mapsto \ln(x)$ est dérivable en , et que sa dérivée est .

Exercice 2 : Soit

la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui à

associe :

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{x-1}{x+1}\right\vert\;.$

Déterminer le domaine de définition de , noté ${\cal D}_f$ . Montrer que est dérivable sur ${\cal D}_f$ et calculer sa dérivée. Montrer que est strictement croissante sur $]-\infty,-1[$ et sur $]1,+\infty[$ , strictement décroissante sur .
Calculer la dérivée seconde de . Montrer que est convexe sur $]-\infty,-1[$ et sur , concave sur et sur $]1,+\infty[$ .
Soit un réel. Soit $\varphi_a$ la fonction qui à $x\neq a$ associe . Démontrer que la dérivée -ième de $\varphi_a$ est la fonction définie par :

$\displaystyle \forall x\neq a\;,\quad \varphi_a^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}\;.$
En déduire la dérivée -ième de , pour tout entier $n\geqslant 1$ .
Pour tout $x\in{\cal D}_f$ , on pose . Calculer la dérivée seconde de . En déduire que est concave sur tout intervalle inclus dans ${\cal D}_f$ .
Montrer que admet un maximum global en 0. Vérifier que et .
Pour tout entier $n\geqslant 2$ , donner l'expression de la dérivée -ième de en fonction de .

Exercice 3 : Soit

une fonction de $]0,+\infty[$ dans $\mathbb{R}$ , dérivable sur $]0,+\infty[$ .

On suppose que tend vers 0 quand tend vers $+\infty$ . Montrer que :

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists A>0\;,\quad (x> A) \;\Longrightarrow\; \left\vert\frac{f(x)-f(A)}{x-A} \right\vert\leqslant \varepsilon \;.$
En déduire que :

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=0\;.$
Soit un réel. On suppose que tend vers quand tend vers $+\infty$ . Montrer que :

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=l\;.$
(Indication : considérer la fonction $x\mapsto f(x)-lx$ ).