Corrigé du devoir

Questions de cours :  

1. Le taux d'accroissement de $f$ en $a$ est l'application notée $\tau_a$, qui à $x\in\mathbb{R}\setminus\{a\}$ associe :
   $$\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\;.$$

2. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement de $f$ en $a$ admet une limite finie en $a$. Cette limite est la dérivée de $f$ en $a$.
   $$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\;.$$

3. Le taux d'accroissement $\tau_a(x)$ admet $f'(a)$ pour limite en $a$ si et seulement si :
   $$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)-hf'(a)}{h}=0\;.$$
   Par définition, ceci équivaut à dire que $f(a+h)-f(a)-hf'(a)$ est négligeable devant $h$, au voisinage de 0 :
   $$f(a+h)-f(a)-hf'(a)=o(h)\;.$$

4. On dit que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ si :
   $$\forall x,y\in\mathbb{R} ,\;\forall \lambda\in[0,1]\;,\quad f(\lambda x+(1-\lambda) y)\leqslant\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\;.$$

5. Si $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, alors le taux d'accroissement de $f$ en $a$ est une fonction croissante sur $\mathbb{R}\setminus\{a\}$. Comme une fonction croissante admet une limite à gauche et à droite en tout point, la dérivée à gauche et la dérivée à droite de $f$ en $a$ existent. Mais elles ne sont pas forcément égales et $f$ n'est pas forcément dérivable en $a$.

Exercice 1 :  

1. Exprimons $\cos(x)-1$ à l'aide de $\sin(x/2)$.
   $$\frac{\cos(x)-1}{x}=\frac{-2\sin^2(x/2)}{x} =-\frac{x}{2} \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2}\;.$$
   Or :
   $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\;\Longrightarrow\; \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2(x/2)}{(x/2)^2} = 1\;.$$
   Donc :
   $$\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)-1}{x}= \lim_{x\to 0} -\frac{x}{2}=0\;.$$

2. Écrivons le taux d'accroissement en $a$, évalué en $a+h$ :
   

   $$\tau_a(a+h) = \displaystyle{\frac{\sin(a+h)-\sin(a)}{h}}$$

   $$= \displaystyle{ \frac{1}{h}\big( \sin(a)\cos(h)+\cos(a)\sin(h)-\sin(a) \big)}$$

   $$= \displaystyle{ \sin(a)\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(a)\frac{\sin(h)}{h}}\;.$$

   
   On sait que :
   $$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0$$   et$$\quad \lim_{h\to 0} \frac{\sin(h)}{h}=1\;.$$
   Donc :
   $$\lim_{h\to 0} \tau_a(a+h)=\cos(a)\;.$$

3. Écrivons le taux d'accroissement en $a$, évalué en $a+h$ :
   

   $$\tau_a(a+h) = \displaystyle{\frac{\cos(a+h)-\cos(a)}{h}}$$

   $$= \displaystyle{ \frac{1}{h}\big( \cos(a)\cos(h)-\sin(a)\sin(h)-\cos(a) \big)}$$

   $$= \displaystyle{ \cos(a)\frac{\cos(h)-1}{h}-\sin(a)\frac{\sin(h)}{h}}\;.$$

   
   On en déduit :
   $$\lim_{h\to 0} \tau_a(a+h)=-\sin(a)\;.$$

4. Écrivons le taux d'accroissement en $a$, évalué en $a+h$ :
   $$\tau_a(a+h)=\frac{\mathrm{e}^{a+h}-\mathrm{e}^a}{h} =\mathrm{e}^a \frac{\mathrm{e}^h-1}{h}\;.$$
   On sait que :
   $$\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{e}^h-1}{h}=1\;.$$
   Donc :
   $$\lim_{h\to 0} \tau_a(a+h)=\mathrm{e}^a\;.$$

5. Écrivons le taux d'accroissement en $a$, évalué en $a+h$ :
   $$\tau_a(a+h)=\frac{\ln(a+h)-\ln(a)}{h} =\frac{\ln(1+h/a)}{h}=\frac{1}{a} \frac{\ln(1+h/a)}{h/a}\;.$$
   On sait que :
   $$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$$   donc$$\quad \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+h/a)}{h/a}=1\;.$$
   Donc :
   $$\lim_{h\to 0} \tau_a(a+h)=\frac{1}{a}\;.$$

Exercice 2 :  

1. Exprimons $f(x)$ sous la forme :
   $$f(x)=\frac{1}{2}\big( \ln\vert x-1\vert-\ln\vert x+1\vert \big)\;.$$
   La fonction $y\mapsto \ln\vert y\vert$ est définie pour tout $y\neq 0$, donc $f(x)$ est défini pour tout $x$ différent de $-1$ et de $1$.
   $${\cal D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\;.$$
   La fonction $y\mapsto \ln\vert y\vert$ est dérivable pour tout $x\neq 0$ et sa dérivée est $y\mapsto 1/y$. Les fonctions $x\mapsto \vert x-1\vert$ et $x\mapsto \vert x+1\vert$ sont dérivables respectivement sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ et $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ (comme fonctions polynômes). Donc $f$ est dérivable, comme combinaison linéaire de deux fonctions qui sont elles mêmes composées de deux fonctions dérivables. On trouve :
   $$f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right) =\frac{1}{x^2-1}\;.$$
   Pour $x$ dans $]-\infty,-1[$ ou $]1,+\infty[$, $x^2+1>0$, donc $f'(x)>0$, donc $f$ est strictement croissante sur ces intervalles. Pour $x$ dans $]-1,1[$, $x^2-1<0$, donc $f'(x)<0$, donc $f$ est strictement décroissante sur $]-1,1[$.
2. On trouve :
   $$f''(x)=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\;.$$
   La dérivée seconde de $f$ est positive pour $x<0$, négative pour $x>0$. Donc $f$ est convexe sur $]-\infty,-1[$ et sur $]-1,0]$, concave sur $[0,1[$ et sur $]1,+\infty[$.
3. Démontration par récurrence. La formule est vraie pour $n=0$ :
   $$\varphi_a^{(0)}(x)=\frac{1}{x-a}=\frac{(-1)^0 0!}{(x-a)^1}\;.$$
   Supposons-la vraie pour $n$. Alors :
   $$\varphi_a^{(n+1)}(x)=(\varphi_a^{(n)})'(x) =-(n+1)\frac{(-1)^nn!}{(x-a)^{n+2}} =\frac{(-1)^{n+1}(n+1)!}{(x-a)^{n+2}}\;.$$
   La formule est vraie pour $n+1$, elle est donc vraie pour tout $n$.
4. Pour $n\geqslant 1$, la dérivée $n$-ième de $f$ est la dérivée $(n-1)$-ième de $f'$. Or :
   $$f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\;.$$
   Par linéarité, on en déduit :
   $$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x-1)^{n}} -\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+1)^{n}}\right)\;.$$

5. On obtient :
   $$g'(x)=xf'(x)+f(x)$$   et$$\quad g''(x)=xf''(x)+2f'(x)\;.$$
   En utilisant les expressions des questions 1 et 2 :
   $$g''(x)=-\frac{2x^2}{(x^2-1)^2}+\frac{2}{x^2-1}=\frac{-2}{(x^2-1)^2}\;.$$
   La dérivée seconde de $g$ est négative en tout point où elle est définie, donc $g$ est concave sur tout intervalle inclus dans ${\cal D}_f$.
6. La fonction $f$ est croissante sur $]-\infty,-1[$. Or la limite de $f$ en $-\infty$ est nulle. Donc $f$ est positive sur $]-\infty,-1[$. La fonction $f$ est décroissante sur $]-1,0[$. Or $f(0)=0$. Donc $f$ est positive sur $]-1,1[$. Donc $g(x)=xf(x)$ est négative pour tout $x$ négatif.

   On montre de la même façon que $g$ est négative sur $[0,1[$ et sur $]1,+\infty[$ (ou bien en remarquant que pour tout $x\in{\cal D}_f$, $g(-x)=g(x)$). Donc :

   $$\forall x\in{\cal D}_f\;,\quad g(x)\leqslant 0=g(0)\;.$$
   Donc $g$ admet bien un maximum global en 0. On constate que :
   $$g'(0)=0f'(0)+f(0)=0$$   et$$\quad g''(0)=\frac{-2}{(0-1)^2}=-2\;.$$
   (Ceci entraîne que 0 est un maximum local, mais ne permet pas d'affirmer que c'est un maximum global).
7. En utilisant la formule de Leibniz :
   

   $$g^{(n)}(x) = xf^{(n)}(x)+nf^{(n-1)}(x)$$

   $$= \displaystyle{ \frac{1}{2} \left(\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!x}{(x-1)^{n}} -\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!x}{(x+1)^{n}}\right)}$$

   $$\hspace*{1cm}\displaystyle{+ \frac{1}{2} \left(\frac{(-1)^{n-2}n(n-2)!}{(x-1)^{n-1}} -\frac{(-1)^{n-2}n(n-2)!}{(x+1)^{n-1}}\right)\;.}$$

   
   

Exercice 3 :  

1. Par hypothèse, il existe $A$ tel que pour tout $x> A$, $\vert f'(x)\vert\leqslant \varepsilon$. Par le théorème des accroissements finis, pour tout $x> A$, il existe $c\in ]A,x[$ tel que :
   $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c)\;.$$
   Puisque $c>A$, on a bien :
   $$\left\vert\frac{f(x)-f(A)}{x-A}\right\vert=\vert f'(c)\vert\leqslant \varepsilon \;.$$

2. Soit $\varepsilon >0$. Fixons $A$ tel que pour tout $x> A$,
   $$\left\vert\frac{f(x)-f(A)}{x-A}\right\vert\leqslant \frac{\varepsilon }{4}\;.$$
   Pour $x> A$, écrivons :
   $$\left\vert\frac{f(x)}{x}\right\vert=\frac{x-A}{x}\left\vert\frac{... ...{f(x)-f(A)}{x-A}\right\vert +\left\vert\frac{f(A)}{x-A}\right\vert\right)\;.$$
   Or :
   $$\lim_{x\to +\infty} \frac{f(A)}{x-A}=0$$   et$$\quad \lim_{x\to +\infty} \frac{x-A}{x}=1\;.$$
   Il existe $A_1$ tel que pour tout $x>A_1$ :
   $$\left\vert\frac{f(A)}{x-A}\right\vert\leqslant\frac{\varepsilon }{4}\;.$$
   D'autre part, il existe $A_2$ tel que pour tout $x>A_2$ :
   $$0<\frac{x-A}{x}\leqslant 2\;.$$
   Pour tout $x>\max\{A,A_1,A_2\}$, on a donc :
   $$\left\vert\frac{f(x)}{x}\right\vert\leqslant 2\left(\frac{\varepsilon }{4}+\frac{\varepsilon }{4}\right)=\varepsilon \;.$$
   D'où le résultat.
3. Soit $g$ la fonction qui à $x$ associe $f(x)-lx$ : elle est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $g'(x)=f(x)-l$. Donc $g'(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty$. D'après la question précédente, on a :
   $$\lim_{x\to +\infty} \frac{g(x)}{x}= \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)-lx}{x}= \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}-l=0\;.$$
   Donc :
   $$\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=l\;.$$