Exercices

Exercice 1   Pour chacune des fonctions $f$ définies ci-dessous :

1. Donner une expression explicite du taux d'accroissement de $f$ en un point $a$ quelconque du domaine de définition.
2. Calculer la limite en $a$ de ce taux d'accroissement et retrouver l'expression de la dérivée de $f$ en $a$.

$$f(x)= x^2 \;;\quad f(x)=\sqrt{x} \;;\quad f(x)= x\sqrt{x}\;;$$

$$f(x)= \mathrm{e}^x \;;\quad f(x)=x\mathrm{e}^x \;;\quad f(x)=\ln(x)\;;$$

$$f(x)=\sin(x) \;;\quad f(x)=\cos(x) \;;\quad f(x)=x\sin(x)\;.$$

Exercice 2   Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert $I$. On suppose que $f$ et $g$ sont dérivables en $a\in I$ et que $g'(a)\neq 0$. Montrer que :

$$\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}\;.$$

(C'est la «Règle de l'Hôpital»).

Exercice 3   Pour chacune des applications $f$ définies ci-dessous :

1. Verifiez que $f$ est prolongeable par continuité en 0.
2. L'application prolongée est-elle dérivable en 0 ?

$$f(x)= x\vert x\vert \;;\quad f(x)=\frac{x}{1+\vert x\vert} \;;\quad f(x)= \frac{1}{1+\vert x\vert}\;;$$

$$f(x)= \cos(\sqrt{x}) \;;\quad f(x)= \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} \;;\quad f(x)= \frac{x\cos(1/x)}{\ln(\vert x\vert)}\;;$$

$$f(x)=\sqrt{x}\ln\vert x\vert \;;\quad f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-1}{\sqrt{x}} \;;\quad f(x)=\frac{\sin(x)}{\ln\vert x\vert}\;.$$

Exercice 4   Pour chacune des fonctions $f$ définies ci-dessous :

1. Préciser le domaine de définition de $f$.
2. Soit $I$ un intervalle ouvert inclus dans ${\cal D}_f$. Démontrer que $f$ est dérivable sur $I$.
3. Calculer l'expression de la dérivée de $f$.

$$f(x)= (x(x-2))^{1/3} \;;\quad f(x)= \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^3}} \;;\quad f(x)= \sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\;;$$

$$f(x)= \sqrt{(x^2+1)^3} \;;\quad f(x)= \frac{1+\sqrt{x}}{(x+1)^{1/3}} \;;\quad f(x)= \frac{(1+\sqrt{x}^2)}{1+(x+1)^{1/3}}\;;$$

$$f(x)= \sqrt{\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}} \;;\quad f(x)= \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \;;\quad f(x)= \frac{x+\ln(x)}{x-\ln(x)}\;;$$

$$f(x)= \sqrt{1+x^2\sin^2(x)} \;;\quad f(x)= \frac{\mathrm{e}^{1/x}... ...thrm{e}^{1/x}-1} \;;\quad f(x)= \ln\left(\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right)\;;$$

$$f(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2}) \;;\quad f(x)=(\cos(x))^{\sin(x)} \;;\quad f(x)= \ln\sin\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)\;.$$

Exercice 5   Pour chacune des fonctions $f$ définies ci-dessous, sur un intervalle $[a,b]$ :

1. Démontrer que $f$ est dérivable sur $]a,b[$.
2. La fonction $f$ est-elle dérivable à droite en $a$ ?
3. La fonction $f$ est-elle dérivable à gauche en $b$ ?

$$f(x)=\sqrt{x(1-x)}$$ sur $$[0,1] \;;\quad f(x)=\sqrt{(1-x^2)(1-x)}$$ sur $$[-1,1]\;;$$

$$f(x)=x^{2/3}(1-x)^{3/2}$$ sur $$[0,1] \;;\quad f(x)=(1-x^2)^{2/3}(1-x)^{1/3}$$ sur $$[-1,1]\;;$$

$$f(x)=\sqrt{x\sin(x)(1-\sin(x))}$$ sur $$[0,\pi/2]\;;$$

$$f(x)=\sqrt{(1-\cos(x))(1-\sin(x))}$$ sur $$[0,\pi/2]\;.$$

Exercice 6   Pour tout $k\in \mathbb{N}$, calculer la dérivée d'ordre $k$ des fonctions suivantes.

$$x\mapsto \frac{1}{1+x} \;;\quad x\mapsto \frac{1}{1-x} \;;\quad x\mapsto \ln(1-x^2)\;;$$

$$x\mapsto x^2 \mathrm{e}^x \;;\quad x\mapsto x^2\ln(1+x) \;;\quad x\mapsto x^2(1+x)^n\;;$$

$$x\mapsto \frac{x^2+1}{(x+1)^2} \;;\quad x\mapsto \mathrm{e}^x\sin(x) \;;\quad x\mapsto \cos^3(x)\;.$$

Exercice 7    

1. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que la fonction $f$ définie ci-dessous soit de classe ${\cal C}^1$ sur $\mathbb{R}$.
   $$f(x) = \left\{\begin{array}{ccl} \mathrm{e}^x&\mbox{si}&x\leqslant 0\\ \alpha x+\beta&\mbox{si}&x>0\;. \end{array}\right.$$

2. Déterminer les réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tels que la fonction $f$ définie ci-dessous soit de classe ${\cal C}^2$ sur $\mathbb{R}$.
   $$f(x) = \left\{\begin{array}{ccl} \mathrm{e}^x&\mbox{si}&x\leqslant 0\\ \alpha x^2+\beta x+\gamma&\mbox{si}&x>0\;. \end{array}\right.$$

3. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que la fonction $f$ définie ci-dessous soit de classe ${\cal C}^1$ sur $]0,+\infty[$.
   $$f(x) = \left\{\begin{array}{ccl} x^2\mathrm{e}^{1-x}-2&\mbox{si}&... ...slant 1\\ \alpha x \mathrm{e}^{\beta x^2}&\mbox{si}&x<1\;. \end{array}\right.$$

Exercice 8   On dit qu'une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est paire si pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=f(-x)$. On dit qu'elle est est impaire si pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=-f(-x)$. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. Montrer que si $f$ est paire alors $f'$ est impaire.
2. Montrer que si $f$ est impaire alors $f'$ est paire.

Exercice 9   Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\mathrm{e}^{-1/x^2}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$.

1. Montrer que pour tout $k\in \mathbb{N}$, $f^{(k)}(0)=0$.
2. Soit $g$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $g(x)=f(x)$ si $x>0$ et $g(x)=0$ si $x\leqslant 0$. Montrer que $g$ est de classe ${\cal C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.
3. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Soit $h$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par :
   $$h(x)=\left\{ \begin{array}{ccl} f(x-a)&\mbox{si}&x< a\\ 0&\... ...{si}&x\in[a,b]\\ f(x-b)&\mbox{si}& x> b\;. \end{array}\right.$$
   Montrer que $h$ est de classe ${\cal C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. Représenter graphiquement $h$ pour $a=1$ et $b=2$.

Exercice 10     Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Soit $f$ une fonction définie sur $[a,b]$, dérivable à gauche et à droite en tout point de $]a,b[$. On suppose que $f$ est continue à gauche en $a$, à droite en $b$ et que $f(a)=f(b)$. Montrer qu'il existe un point $c\in ]a,b[$ tel que le produit de la dérivée à gauche en $c$ par la dérivée à droite en $c$ soit négatif ou nul.

Exercice 11   Soit $f$ une fonction continue sur $[0,+\infty[$, dérivable sur $]0,+\infty[$, telle que

$$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) =f(0)\;.$$

Montrer qu'il existe $c>0$ tel que $f'(c)=0$.

Exercice 12     Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$. On suppose que $g'$ ne s'annule pas sur $]a,b[$.

1. Montrer que le théorème de Rolle s'applique à la fonction
   $$x\longmapsto (f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x)\;.$$

2. En déduire qu'il existe un point $c\in ]a,b[$ tel que :
   $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\;.$$

Exercice 13   Soit $f$ une fonction continue sur $[0,+\infty[$, dérivable sur $]0,+\infty[$, telle que $f(0)=0$. On suppose que $f'$ est croissante sur $]0,+\infty[$. Démontrer que la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par $g(x)=f(x)/x$ est croissante.

Exercice 14    

1. Etudier les variations de la fonction $x\mapsto x^5-5x+1$ sur $\mathbb{R}$. En déduire que l'équation $x^5-5x+1=0$ a trois solutions réelles.
2. Soient $a$ et $b$ deux réels et $n$ un entier naturel. Montrer que l'équation $x^n+ax+b=0$ a au plus trois solutions réelles.
3. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Montrer que l'équation $x^n+x^{n-1}+x^2+x-1=0$ a une seule solution réelle positive.
4. Soit $a$ un réel positif et $n$ un entier naturel pair. Montrer que l'équation $(x+a)^n=x^n+a^n$ admet $x=0$ pour seule solution réelle.

Exercice 15    

1. Soient $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ trois réels. On considère la fonction $f$ définie par
   $$f(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma\;.$$
   Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Déterminer le point $c\in ]a,b[$ tel que
   $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\;.$$

2. Soient $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ trois réels. On considère la fonction $f$ définie par
   $$f(x)=\alpha +\beta x+\gamma \mathrm{e}^x\;.$$
   Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Déterminer le point $c\in ]a,b[$ tel que
   $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\;.$$

Exercice 16   Utiliser le théorème des accroissements finis pour donner un majorant des réels suivants. Comparer ce majorant avec une approximation numérique à $10^{-6}$ près.

$$\sqrt{10001}-100 \;;\quad \frac{1}{0.998}-1 \;;\quad 0.001-\frac{1}{1003}\;;$$

$$\sin(3.14) \;;\quad 1-\cos(0.002) \;;\quad 1-\sin(1.57)\;;$$

$$\ln(1.001) \;;\quad \ln(2.72)-1 \;;\quad \mathrm{e}^{0.002}-1\;.$$

Exercice 17    

1. 1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$. Montrer que :
      $$\frac{1}{2\sqrt{b}}<\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}<\frac{1}{2\sqrt{a}}\;.$$

   2. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on pose :
      $$S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\;.$$
      Démontrer que pour tout $n$,
      $$S_{n+1}-1<2\sqrt{n+1}<S_n\;.$$

2. 1. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a<b$. Montrer que :
      $$\frac{1}{b}<\frac{\ln(b)-\ln(a)}{b-a}<\frac{1}{a}\;.$$

   2. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on pose :
      $$S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\;.$$
      Démontrer que pour tout $n$,
      $$S_{n+1}-1<\ln(n+1)<S_n\;.$$

Exercice 18    

1. 1. Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction exponentielle pour démontrer que :
      $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1\;.$$

   2. Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction $x\mapsto (\mathrm{e}^x-1-x)/x$ pour démontrer que :
      $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}\;.$$

2. 1. Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction logarithme pour démontrer que :
      $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1\;.$$

   2. Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction $x\mapsto (\ln(1+x)-x)/x$ pour démontrer que :
      $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=-\frac{1}{2}\;.$$

3. 1. Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction cosinus pour démontrer que :
      $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos(x)}{x}=0\;.$$

   2. Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction $x\mapsto (1-\cos(x))/x$ pour démontrer que :
      $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}\;.$$

   3. Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction $x\mapsto (\sin(x)-x)/x$ pour démontrer que :
      $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)-x}{x^2}=0\;.$$

   4. Utiliser le théorème des accroissements finis, appliqué à la fonction $x\mapsto (\sin(x)-x)/x^2$ pour démontrer que :
      $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}=-\frac{1}{6}\;.$$

Exercice 19   Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $[a,b]$ telle que $f(a)=f(b)=0$ et pour tout $x\in ]a,b[$, $f''(x)\leqslant 0$. Montrer que, pour tout $x\in [a,b]$, $f(x)\geqslant 0$.

Exercice 20   Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)\geqslant 0$, $f'(x)\geqslant 0$ et $f''(x)\geqslant 0$.

1. Montrer que si $f$ est majorée alors $f$ est constante.
2. Montrer que si $f$ n'est pas majorée, alors :
   $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\;.$$

3. Montrer que la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f(x)/x$ existe, et qu'elle est soit infinie, soit finie et strictement positive.
4. Soit $f : x\mapsto x+\sqrt{x^2+1}$. Montrer que $f$ vérifie les hypothèses de l'exercice, et calculer la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f(x)/x$.

Exercice 21   Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle ouvert $I$, dérivable en un point $c\in I$, et telle que $f'(c)=0$. Montrer que $c$ est un minimum global pour $f$ sur I :

$$\forall x\in I\;,\quad f(c)\leqslant f(x)\;.$$

Exercice 22    

1. Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle $I$. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, pour tout $x_1,\ldots,x_n\in I$,
   $$f\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right)\leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)\;.$$

2. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, et pour tout $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}^+$,
   $$\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\sqrt{x_i}\right)^2 \leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \leqslant \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2}\;.$$

3. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, et pour tout $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}^{+*}$,
   $$\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n} \leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\;.$$

4. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, et pour tout $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}^{+*}$,
   $$\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}\right)^{-1} \leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\;.$$

Exercice 23   Soient $p$ et $q$ deux réels strictement positifs tels que :

$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\;.$$

1. Montrer que, pour tout $x,y\in \mathbb{R}^{+*}$,
   $$xy\leqslant \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}\;.$$

2. Soient $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n\in\mathbb{R}^{+*}$ tels que :
   $$\sum_{i=1}^n x_i^p = \sum_{i=1}^n y_i^q=1\;.$$
   Montrer que :
   $$\sum_{i=1}^n x_iy_i\leqslant 1\;.$$

3. Soient $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n\in\mathbb{R}^{+*}$. Démontrer l'inégalité de Hölder :
   $$\sum_{i=1}^n x_iy_i\leqslant \left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{1/p} \left(\sum_{i=1}^n y_i^q\right)^{1/q}\;.$$

4. Soit $p>1$. Démontrer l'inégalité de Minkowski :
   $$\left(\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^p\right)^{1/p} \leqslant \left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{i=1}^n y_i^p\right)^{1/p}\;.$$
   (On posera $q=p/(p-1)$ et $(x_i+y_i)^p=x_i(x_i+y_i)^{p-1}+y_i(x_i+y_i)^{p-1})$.