Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie sur un intervalle ouvert $I$. Soit $a$ un point de $I$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si $f$ est dérivable en $a$, alors le taux d'accroissement de $f$ en $a$ est prolongeable par continuité en $a$.
2. $\square\;$ Si $f$ est dérivable en $a\in I$, alors $f$ est continue sur un intervalle ouvert contenant $a$.
3. $\boxtimes\;$ Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.
4. $\boxtimes\;$ Si $f$ est dérivable à gauche en $a$, alors $f$ est continue à gauche en $a$.
5. $\square\;$ Si $f$ est dérivable à gauche et à droite en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$.
6. $\square\;$ Si la dérivée de $f$ en $a$ est nulle, alors la tangente à la courbe représentative de $f$ en $a$ est verticale.
7. $\boxtimes\;$ Si la tangente à la courbe représentative de $f$ en $a$ est verticale, alors $f$ n'est pas dérivable en $a$.

Vrai-Faux 2   Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, dérivables sur un intervalle ouvert $I$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ La dérivée de $f+g$ est la somme des dérivées de $f$ et de $g$.
2. $\square\;$ La dérivée de $fg$ est le produit des dérivées de $f$ et de $g$.
3. $\boxtimes\;$ Le quotient $f/g$ est dérivable en tout point où $g$ ne s'annule pas.
4. $\boxtimes\;$ La fonction $x\mapsto \exp(f(x)g(x))$ est dérivable sur $I$.
5. $\square\;$ La fonction $x\mapsto f(\exp(x))$ est toujours dérivable sur $I$.

Vrai-Faux 3   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, définie sur un intervalle ouvert $I$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si $f$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $I$, alors $f'$ est continue sur $I$.
2. $\square\;$ Si $f'$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est de classe ${\cal C}^2$ sur $I$.
3. $\boxtimes\;$ Si $f'$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $I$.
4. $\boxtimes\;$ Si $f$ est de classe ${\cal C}^\infty$ sur $I$ alors ses dérivées successives sont toutes continues sur $I$.
5. $\square\;$ Si $f$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $I$, alors $\vert f\vert$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $I$.
6. $\boxtimes\;$ Si $f$ est de classe ${\cal C}^0$ sur $I$, alors $\vert f\vert$ est de classe ${\cal C}^0$ sur $I$.
7. $\boxtimes\;$ Si $f$ est de classe ${\cal C}^\infty$ sur $I$, alors $x\mapsto \mathrm{e}^{f(x)}$ est aussi de classe ${\cal C}^\infty$ sur $I$.

Vrai-Faux 4   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, dérivable sur un intervalle ouvert $I$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si la dérivée de $f$ s'annule en un point de $I$, alors ce point est un extremum local pour $f$.
2. $\boxtimes\;$ Si $f$ prend la même valeur en deux points distincts, alors la dérivée de $f$ s'annule entre ces deux points.
3. $\square\;$ Si $f$ admet un maximum local, alors $f$ admet un maximum global.
4. $\boxtimes\;$ Si $f$ admet un maximum local, alors la dérivée de $f$ s'annule en ce point.
5. $\boxtimes\;$ Si la dérivée de $f$ est positive ou nulle sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
6. $\boxtimes\;$ Si la dérivée de $f$ est strictement positive sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
7. $\square\;$ Si $f$ est strictement croissante sur $I$, alors sa dérivée est strictement positive sur $I$.
8. $\boxtimes\;$ Si $x$ et $y$ sont deux points distincts tels que $f(y)-f(x)=y-x$, alors il existe $c\in ]x,y[$ tel que $f'(c)=1$.

Vrai-Faux 5   Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, définie sur un intervalle ouvert $I$. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. $\boxtimes\;$ Si $f$ est convexe sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.
2. $\boxtimes\;$ Si $f$ est convexe sur $I$, alors $f$ est dérivable à droite en tout point de $I$.
3. $\square\;$ Si $f$ est convexe sur $I$, alors $f$ est dérivable en tout point de $I$.
4. $\boxtimes\;$ Si $f$ est convexe et dérivable sur $I$, alors la dérivée de $f$ est croissante sur $I$.
5. $\square\;$ Si $f$ et convexe et dérivable sur $I$, alors $f$ est deux fois dérivable sur $I$.
6. $\boxtimes\;$ Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$, et si sa dérivée seconde est positive, alors $f$ est convexe sur $I$.
7. $\square\;$ Si $f$ est convexe et deux fois dérivable sur $I$, alors sa dérivée seconde ne s'annule pas sur $I$.