Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé et comptez un point pour chaque question à laquelle vous aurez correctement répondu.

Questions de cours : Soit $I=]\alpha,\beta[$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, $J=[a,b]$ un intervalle fermé borné, et $f$ une fonction continue sur $I\times J$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. On considère la fonction $F$ définie pour tout $x\in I$ par

$$F(x) = \int_a^b f(x,t) \mathrm{d}t\;.$$

1. Donner la définition de la continuité uniforme, pour une fonction de $I\times J$ dans $\mathbb{R}$.
2. Énoncer le théorème de Heine pour une fonction de deux variables.
3. Justifier l'existence de $F(x)$. Démontrer que $F$ est continue sur $I$.
4. On suppose que la dérivée partielle $${\frac{\partial f}{\partial x}}$$ est définie et continue sur $I\times J$. Montrer que pour tout $\varepsilon >0$, il existe $\eta>0$ tel que $\vert x-x_0\vert<\eta$ entraîne, pour tout $t\in [a,b]$,
   $$\left\vert f(x,t)-f(x_0,t)- (x-x_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t)\right\vert \leqslant \vert x-x_0 \vert\frac{\varepsilon }{b-a}\;.$$

5. En déduire que $F$ est dérivable en $x_0$, de dérivée :
   $$F'(x_0) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,t) \mathrm{d}t\;.$$

Exercice 1 : On considère la suite $(u_n)$ de fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$u_n(x) = \frac{n^2-x^2}{(n^2+x^2)^2}\;.$$

1. Justifier la convergence de l'intégrale $${\int_0^{+\infty} u_n(x) \mathrm{d}x}$$.
2. Soit $a$ un réel positif ou nul. Vérifier que :
   $$\int_0^a u_n(x) \mathrm{d}x = \frac{a}{n^2+a^2}\;.$$
   (On pourra intégrer par parties $${\int_0^{a} \frac{x^2}{(n^2+x^2)^2} \mathrm{d}x\;.}$$)

   En déduire

   $$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\int_0^{+\infty} u_n(x) \mathrm{d}x\right)\;.$$

3. Montrer que la série $\sum u_n$ converge normalement sur $[0,a]$.
4. En déduire que
   $$\int_0^a \left(\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)\right) \mathrm{d}x = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a}{n^2+a^2}\;.$$

5. Démontrer l'inégalité
   $$\int_1^{+\infty} \frac{a}{x^2+a^2} \mathrm{d}x \leqslant \sum_{n... ...frac{a}{n^2+a^2} \leqslant \int_1^{+\infty} \frac{a}{x^2+a^2} \mathrm{d}x\;.$$
   En déduire que
   $$\lim_{a\to+\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a}{n^2+a^2} =\frac{\pi}{2}\;.$$

6. Comparer
   $$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\int_0^{+\infty} u_n(x) \mathrm{d}x\right)$$   et$$\quad \int_0^{+\infty} \left(\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)\right) \mathrm{d}x\;.$$
   Que pouvez-vous en conclure ?

Exercice 2 : On considère la fonction zéta de Riemann, définie sur $]1,+\infty[$ par :

$$\zeta(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x}\;.$$

On pose $${u_n(x) =\frac{1}{n^x}}$$.

1. Démontrer que la série $\sum u_n$ est normalement convergente sur tout intervalle $[a,+\infty[$, pour $a>1$. En déduire que $\zeta$ est continue sur $]1,+\infty[$.
2. Pour tout $k\geqslant 1$, calculer $u_n^{(k)}$. Démontrer que la série $\sum u_n^{(k)}$ est normalement convergente sur tout intervalle $[a,+\infty[$, pour $a>1$. En déduire que $\zeta$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]1,+\infty[$.
3. Montrer que, pour tout $x>1$,
   $$\zeta (x)-1 \leqslant \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^x} \mathrm{d}t \leqslant \zeta(x)\;.$$

4. En déduire :
   $$\lim_{x\to+\infty} \zeta(x) = 1$$   et$$\quad \lim_{x\to 1^+} (x-1)\zeta(x) = 1\;.$$

5. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on pose
   $$v_n(x) = \frac{1}{n^x} -\int_n^{n+1} \frac{1}{t^x} \mathrm{d}t\;.$$
   Montrer que pour tout $n\geqslant 1$ et pour tout $x>1$,
   $$0\leqslant x\leqslant \frac{1}{n^x}-\frac{1}{(n+1)^x}\;.$$

6. Montrer que la série $\sum v_n$ est uniformément convergente sur tout intervalle
   $[a,+\infty[$, pour $a>0$.
7. Pour tout $x>0$, on pose $\delta(x)= \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} v_n(x)}$. Montrer que la fonction $\delta$ est continue sur $]0,+\infty[$.
8. Montrer que :
   $$\delta(1) = \lim_{n\to+\infty} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\right) - \ln(n) \;.$$
   Cette valeur, approximativement égale à $0,\!577215665$ est habituellement notée $\gamma$ : c'est la constante d'Euler.
9. Déduire de ce qui précède que :
   $$\lim_{x\to 1^+}\zeta(x)-\frac{1}{x-1} = \gamma\;.$$