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QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1   Pour la double suite proposée, la convergence de $ (u_{n,m})_{n\in\mathbb{N}}$ est uniforme en $ m$.
\framebox{A}
$ \displaystyle{u_{n,m}=m+\frac{1}{n+1}}$
\framebox{B}
$ \displaystyle{u_{n,m}=m\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}$
\framebox{C}
$ \displaystyle{u_{n,m}=\frac{1}{m+1}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}$
\framebox{D}
$ \displaystyle{u_{n,m}=\frac{1}{m+1}\left(1+\frac{m^2}{n}\right)}$
\framebox{E}
$ \displaystyle{u_{n,m}=\left(1+\frac{m}{n}\right)}$

Question 2   Pour la suite de fonctions proposée, la convergence de $ (f_n(x))_{n\in\mathbb{N}}$ est uniforme en $ x$ sur $ [0,+\infty]$.
\framebox{A}
$ \displaystyle{f_n(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{n}}$
\framebox{B}
$ \displaystyle{f_n(x)=\mathrm{e}^{-nx}}$
\framebox{C}
$ \displaystyle{f_n(x)=\frac{\mathrm{e}^{-\frac{x}{n}}}{n}}$
\framebox{D}
$ \displaystyle{f_n(x)=\mathrm{e}^{-\frac{x}{n}}}$
\framebox{E}
$ \displaystyle{f_n(x)=nx\mathrm{e}^{-nx}}$

Question 3   Soit $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $ [0,1]$ dans $ \mathbb{R}$.
\framebox{A}
Si pour tout $ x\in(0,1]$, $ f_n(x)$ converge vers $ f(x)$, alors $ f(x)$ est continue en $ \frac{1}{2}$.
\framebox{B}
Si $ f_n(x)$ converge vers $ f(x)$ uniformément sur $ [\frac{1}{4},\frac{3}{4}]$, alors $ f(x)$ est continue en $ \frac{1}{2}$.
\framebox{C}
Si pour tout $ \varepsilon \in]0,\frac{1}{2}[$, $ f_n(x)$ converge vers $ f(x)$ uniformément sur $ [\varepsilon ,1-\varepsilon ]$, alors $ f$ est continue en 0.
\framebox{D}
Si pour tout $ \varepsilon \in]0,\frac{1}{2}[$, $ f_n(x)$ converge vers $ f(x)$ uniformément sur $ [\varepsilon ,1-\varepsilon ]$, alors l'intégrale de $ f$ sur $ ]0,1[$ est la limite des intégrales des $ f_n$ sur $ [0,1]$..
\framebox{E}
Si $ f_n(x)$ converge vers $ f(x)$ uniformément sur $ [0,1]$, alors $ f(x)$ est dérivable en $ \frac{1}{2}$.

Question 4   Soit $ (f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $ \mathbb{R}^+$ dans $ \mathbb{R}$. On suppose que pour tout $ A>0$, $ f_n(x)$ converge vers $ f(x)$ uniformément sur $ [0,A]$. Vous pouvez en déduire l'affirmation proposée.
\framebox{A}
$ f$ est continue sur $ \mathbb{R}^+$.
\framebox{B}
$ f$ est dérivable à droite en 0.
\framebox{C}
$ f_n$ converge vers $ f$ uniformément sur $ \mathbb{R}^+$.
\framebox{D}
Si $ f_n$ et $ f$ sont dérivables en $ 1$, alors $ f'(1)$ est la limite de $ f'_n(1)$ quand $ n$ tend vers l'infini.
\framebox{E}
La primitive de $ f_n$ nulle en 0 converge vers la primitive de $ f$ nulle en zéro.

Question 5   L'application proposée est uniformément continue sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{A}
$ x\longmapsto \mathrm{e}^{-x^2}$
\framebox{B}
$ x\longmapsto \mathrm{e}^{-x}$
\framebox{C}
$ x\longmapsto x\cos^2(x)$
\framebox{D}
$ x\longmapsto (1+x^2)\sin(x)$
\framebox{E}
$ x\longmapsto \ln(1+x^2)$

Question 6   Pour tout $ x\in\mathbb{R}$, on pose $ u_n(x)=nx^n$.
\framebox{A}
La série $ \sum u_n(x)$ converge normalement sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{B}
La somme de la série $ \sum u_n(x)$ est continue en $ 1$.
\framebox{C}
La série $ \sum u_n(x)$ converge normalement sur $ [-r,r]$, pour tout $ r\in]0,1[$.
\framebox{D}
La somme de la série $ \sum u_n(x)$ est dérivable sur $ ]-1,1[$.
\framebox{E}
La somme des intégrales de $ u_n$ sur $ [-1,1]$ converge.

Question 7   Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $ ]0,1[$ dans $ \mathbb{R}$. On suppose que pour tout $ x\in]0,1[$ la série $ \sum u_n(x)$ converge et on note $ s(x)$ sa somme :

$\displaystyle \forall x\in]0,1[\;,\quad \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x) = s(x)\;. $

Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
\framebox{A}
Si pour tout $ \varepsilon \in]0,\frac{1}{2}[$, la série $ \sum u_n(x)$ est normalement convergente sur $ ]\varepsilon ,1-\varepsilon [$, alors $ s$ est continue sur $ ]0,1[$.
\framebox{B}
Si les $ u_n$ sont dérivables sur $ ]0,1($, et si pour tout $ \varepsilon \in]0,\frac{1}{2}[$ la série $ \sum u_n(x)$ est normalement convergente sur $ [\varepsilon ,1-\varepsilon ]$, alors $ s$ est dérivable sur $ ]-1,1[$.
\framebox{C}
Si pour tout $ \varepsilon \in]0,\frac{1}{2}[$, la série $ \sum u_n(x)$ est normalement convergente sur $ ]\varepsilon ,1-\varepsilon [$, alors elle est uniformément convergente sur $ ]0,1[$.
\framebox{D}
Si $ s(x)$ est continue sur $ [0,1]$ alors la série $ \sum u_n$ converge uniformément sur $ [0,1]$.
\framebox{E}
Si pour tout $ \varepsilon \in]0,\frac{1}{2}[$, la série $ \sum u_n(x)$ est normalement convergente sur $ ]\varepsilon ,1-\varepsilon [$, alors l'intégrale de $ s$ sur $ [0,1]$ est la somme des int{egrales des $ u_n$ sur $ [0,1]$.

Question 8   Soit $ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions définies et continues sur $ [0,1]$, à valeurs dans $ \mathbb{R}^+$, convergeant simplement vers 0 sur $ [0,1]$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
\framebox{A}
La série $ \sum \cos(n\pi x) a_n(x)$ converge simplement, pour tout $ x\in[0,1]$.
\framebox{B}
Si la série $ \sum (-1)^n a_n$ converge simplement sur $ [0,1]$, alors elle converge uniformément.
\framebox{C}
Si pour tout $ x\in[0,1]$, la suite $ (a_n(x))$ est décroissante, alors la série
$ \sum (-1)^n a_n(x)$ converge uniformément.
\framebox{D}
Si pour tout $ x\in[-1,1]$, la suite $ (a_n(x))$ est décroissante, alors la somme de la série $ \sum \sin(n\pi x) a_n(x)$ est intégrable sur $ [0,1]$.
\framebox{E}
Si pour tout $ x\in[-1,1]$, la suite $ (a_n(x))$ est décroissante, alors la somme de la série $ \sum (-1)^n a_n(x)$ est dérivable sur $ [0,1]$.

Question 9   Pour $ x\in\mathbb{R}$ et $ t\in[0,\pi]$, on note $ f(x,t)=\ln(1+\sin^2(tx))$ et $ F(x)$ l'intégrale $ \displaystyle{F(x)=\int_0^\pi f(x,t) \mathrm{d}t}$. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?
\framebox{A}
La fonction $ F$ est continue sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{B}
La fonction $ F$ est périodique de période $ 2\pi$.
\framebox{C}
La dérivée de $ F$ est $ \displaystyle{F'(x)= \int_0^\pi \frac{\sin(2tx)}{1+\sin^2(tx)} \mathrm{d}t}$.
\framebox{D}
$ F$ est deux fois continûment dérivable sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{E}
L'intégrale de $ F$ sur $ [0,1]$ est égale à $ \displaystyle{\int_0^1\left(\int_0^{\pi} \ln(1+\sin^2(tx)) \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}t}$.

Question 10   Pour $ x\in\mathbb{R}^{+*}$ et $ t\in\mathbb{R}$, on note $ f(x,t)=\mathrm{e}^{-xt^2}$ et $ F(x)$ l'intégrale $ \displaystyle{F(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,t) \mathrm{d}t}$.
\framebox{A}
Pour tout $ \varepsilon >0$, l'intégrale d{efinissant $ F$ converge normalement sur $ [\varepsilon ,+\infty[$.
\framebox{B}
$ F$ est continue en 0.
\framebox{C}
$ F$ est dérivable sur $ ]0,+\infty($.
\framebox{D}
L'intégrale de $ F$ sur $ [0,+\infty[$ converge.
\framebox{E}
La dérivée de $ F$ en $ x=1$ est $ \displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}(-2t)\mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t}$.

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses : 1-AC 2-AC 3-BD 4-AE 5-AE 6-CD 7-AE 8-CD 9-AD 10-AC}}


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